江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学试卷 第 1页，共 4 页 灌南县 2024～2025 学年度第一学期期中调研考试 高二数学试题 注意事项： 1.考试时间 120分钟，试卷总分 150分。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.请用 2B铅笔和 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.过点�( 3, 1)且倾斜角为 90°的直线方程为( ) A. � =− 3 B. � =− 1 C. � = 3 D. � = 1 2.若抛物线�2 = 2�上的一点�到坐标原点�的距离为 3，则点�到该抛物线焦点的距离 为( ) A. 3 2 B. 1 C. 2 D. 3 3.已知直线过点(1,2)，且在�轴与�轴上的截距互为相反数，则直线�的方程为( ) A. � − � + 1 = 0 B. � + � − 3 = 0 C. 2� − � = 0 或� − � + 1 = 0 D. 2� − � = 0 或� + � − 3 = 0 4.椭圆�: � 2 �2 + �2 �2 = 1(� > � > 0)左右焦点分别为�1，�2，焦距为 2，直线�经过�2交椭圆于�， �两点，若△ ���1的周长为 12，则椭圆标准方程为( ) A. � 2 3 + � 2 = 1 B. � 2 4 + � 2 = 1 C. � 2 9 + �2 5 = 1 D. �2 9 + �2 8 = 1 5.已知动直线� = �� − 1 + � � ∈ � 与圆�: �2 + �2 − 2� + 4� − 4 = 0(圆心为�)交于点�, �， 则弦��最短时，����的面积为( ) A. 2 2 B. 4 2 C. ​ 5 D. 2 5 6.已知直线 3� − 4� + 3 = 0 与直线 6� + �� − 14 = 0 平行，则它们之间的距离是( ) A. 175 B. 2 C. 17 10 D. 1 2 高二数学试卷 第 2页，共 4 页 7.已知� ∈ �，直线�1：�� + � + 2� = 0 与�2：� − �� + 2� = 0 的交点�在圆�：� − 2 2 + � − 4 2 = �2 � > 0 上，则�的最大值是( ) A. 4 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 2 8.如图 1 所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射， 其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线�：� 2 �2 − �2 �2 = 1(� > 0, � > 0)的 左、右焦点分别为�1，�2，从�2发出的光 线经过图 2 中的�，�两点反射后，分别经 过点�和�，且 cos∠��� =− 45，�� ⊥ ��， 则�的离心率为(    ) A. 5 2 B. 17 3 C. 10 2 D. 5 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.下列说法正确的是( ) A.直线� − � − 2 = 0 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2 B. 经过点(1,1)且在�轴和�轴上截距都相等的直线方程为� + � − 2 = 0 C. 点(0,2)关于直线� = � + 1 的对称点为(1,1) D.过(�1, �1)，(�2, �2)两点的直线方程为 �−�1 �2−�1 = �−�1�2−�1 10.若点�为原点，且圆�与圆�: �2 + �2 − 6� + 8� + 16 = 0 没有公共点，则圆�的半径可 以是( ) A. 1 B. 3 C. 8 D. 9 11.已知双曲线�: � 2 �2 − �2 �2 = 1(� > 0, � > 0)的左、右焦点分别为�1( − 4,0)，�2(4,0)，过点�2 的直线与双曲线�的右支交于�，�两点，��1与�轴相交于点�，△ ���2的内切圆与边��2 相切于点�.若|��| = 2，则下列说法正确的有( ) A.双曲线�的渐近线方程为� =± 3� B. △ ��1�2的内切圆的圆心在定直线上 C. 若直线� = �� + 2 与双曲线�有且仅有 1 个公共点，则� =± 2 D. |��|的最小值为 12 高二数学试卷 第 3页，共 4 页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.请写出一个焦点在�轴，并与双曲线� 2 16− �2 9 = 1 有相同渐近线的双曲线的方程： ． 13.若直线� = 2� + �与曲线� = 1 − �2恰有一个公共点，则�的取值范围为 ． 14.已知椭圆� 2 4 + � 2 = 1 的左、右顶点分别为�，�，动点�(�1, �1)，�(�2, �2)均在椭圆上， �是坐标原点，记��和��的斜率分别为�1，�2; △ ���与△ ���的面积分别为�1，�2.若 �1�2 =− 1 2，则�1�2的最大值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13 分)平行四边形����中，已知�(1,0)，�(4,1)，�(0,3)． (1)求直线��的方程； (2)求∆���中��边上的高所在直线的方程． 16.(15 分)已知圆�过两点�( − 2,0)，�(2,4)且圆心在直线 2� − � − 4 = 0 上． (1)求该圆�的方程； (2)求过点�(3,1)的直线被圆�截得弦长最大时的直线�的方程． 17.(15 分)已知动点�与点�(2,0)的距离比其到直线� =− 3 的距离小 1． (1)求动点�的轨迹方程； (2)求点�与点�(6,0)的距离的最小值，并指出此时�的坐标． 高二数学试卷 第 4页，共 4 页 18.(17 分)已知圆�：(� − 3)2 + (� − 4)2 = 4，直线�过定点(1,0)． (1)若直线�与圆�相切，求直线�的方程； (2)若直线�与圆�交于�，�两点，求△ ���面积的最大值，并求此时直线�的方程． 19.(17 分)已知椭圆�: � 2 �2 + � 2 �2 = 1 � > � > 0 的离心率为 2 2 ，且过点� 2,1 . (1)求椭圆�的方程； (2)�,�为椭圆�上两个不同的点，且�� ⊥ ��， ①求证：直线��恒过定点，并求出该定点的坐标； ②过�点作直线��的垂线，垂足为�，求��的最大值.