江西省宜春市丰城中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

丰城中学2024-2025学年上学期高二期中考试试卷 数 学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D．1 4．无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（    ） A． 3 B． C． D． 7．已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题：每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知曲线，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为 C．的右焦点坐标为 D．的离心率为 10．若圆与圆的交点为A，B，则（    ） A．线段AB的垂直平分线的方程为 B．线段AB所在直线方程为 C．线段AB的长为 D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆 11．已知抛物线：过点，焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，，分别交于，两点，则（    ） A． B．最小值为4 C．准线的方程为 D．以为直径的圆恒过定点， 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 . 13．已知为坐标原点，抛物线：上一点到焦点的距离为4，设点为抛物线准线上的动点．若为正三角形，则抛物线方程为 ． 14．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 . 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15、（13分）已知直线，且， (1)求的值； (2)直线过点与交于，，求直线的方程. 16、（15分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 17、（15分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积. 18、（17分）已知抛物线：的焦点为.      (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值． 19、（17分）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 高二数学（大部队）期中考试试卷第2页 / 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学期中参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A D B A A B C BCD AD 题号 11 答案 BCD 12． 13． 14．/ 15．(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 整理得，解得或． 当时，，，符合题意， 当时，，，与重合，不满足题意． 综上，． （2）由（1）得，， 所以两直线之间的距离为，而， 所以直线与均垂直， 由于，所以， 故直线方程为 16．(1) (2) 【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程，解得， 即圆心，， 所以，圆的方程为. （2）因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 17．(1) (2) 【详解】（1）由题意得解得，. 所以椭圆C的方程为. （2）由得，， 设点，的坐标分别为，，则，. 所以， 又因为点到直线的距离， 所以的面积为. 18．(1)(2)证明见解析 【详解】（1）抛物线：的焦点为， ，解得， 故抛物线的标准方程为：； （2）点的横坐标为，即，解得， 故点的坐标为，设，， 由已知设：，即， 代入抛物线的方程得，即， 则，故， 所以， 即， 设：，即， 同理可得，则， 即 直线的斜率， 所以直线的斜率为定值． 19．【小问1详解】 设点，由题意可知， 即， 经化简，得的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． 【小问2详解】 设点，其中且， （ⅰ）由（1）可知的方程为， 因为，所以， 因此，三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程，得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值1； （法二）设，则有，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值1； 由椭圆定义，得， ， 解得，同理可得， 所以 ． 因为，所以的周长为定值． （ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程， 得， ，（*） 因为， 所以 ， 将（*）代入上式，化简得， （法二）设，依条件有，解得， 同理由，解得， 所以． 由双曲线的定义，得， 根据，解得， 同理根据，解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）． 因此，存在常数使得恒成立，且． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学·答题 丰城中学 2024—2025学年上学期高二期中考试试卷 卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔 填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写 清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号， 在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超 出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分）