3.2空间向量与向量运算（2）课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§2 空间向量与向量运算 根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题. 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法． 2.掌握空间向量数量积的计算方法及应用; 3.体会由平面向量的投影向量与投影数量的概念直接推广到空间向量. 课标要求 1.通过空间向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养． 2.通过空间向量数量积的应用，培养数学运算素养. 素养要求 §2 空间向量与向量运算 第2课时 空间向量的数量积 O A B 探究点1 两空间向量的夹角 规定:零向量与任意向量垂直. 注:①两个向量的数量积是一个实数，而不是向量. 　 ②零向量与任意向量的数量积等于零. 探究点2 两个向量的数量积 探究点3 空间两个向量的数量积性质 注意： 性质①是求两个向量的夹角的依据； 性质②是求向量的长度(模)的依据； 性质③是证明两向量垂直的依据. 探究点4 空间向量的数量积满足的运算律 注意： 　 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立. (2)对于向量 ， 成立吗？ 思考 提示: (1)(2)都不一定成立，因为向量相等，需要大小相等， 方向相同. 探究点5 投影向量与投影数量 图（1） 图（2） 图（3） A1 B1 B A 思考： 类比平面向量,你能说出a·b的几何意义吗? 数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos<a,b>的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos<a,b>的乘积(如图)． 练习 1. 判断正误: (1)量b向量a向上的投影数量等于向量a在向量b方向上的投影数量; (2)和向量(b+c)在向量a方向上的投影数量等于b,c在向量a方向上的投影数量之和. 2.对于非零向量a,b,根据下列条件求<a,b>: (1)cos<a,b>=1; (2)cos<a,b>=−1; (3)cos<a,b>=0; (4)a·b=−|a||b| D' A B D C A' B' C' 第三题 A B D C A' B' C' 第五题 1.两空间向量的夹角的概念. 2.两个向量的数量积的概念 3.两个向量的数量积的性质. 4.空间向量的数量积满足的运算律. 5.投影向量与投影数量. 第2课时　空间向量的数量积 [目标导航] 课标要求 1.理解空间向量的夹角,知道空间向量的夹角的范围. 2.掌握空间向量数量积公式,并能熟练运用. 3.理解投影向量与投影数量,并能求解相关问题 新知导学·素养启迪 新知梳理 2.规定:零向量与任意向量 垂直 . 4.向量的数量积满足如下运算律 (1)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R); (2)a·b=b·a(交换律); (3)a·(b+c)= a·b+a·c (分配律). 5.投影向量与投影数量 (1)投影向量 教材拓展 数量积的性质 设a,b都是非零向量,<a,b>=θ, (1)a∥b时,θ=0或π,θ=0时,a与b同向;θ=π时,a与b反向. (3)θ为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,θ可能为0;θ为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,θ可能为π. (4)|a·b|≤|a||b|,特别地,当θ=0时,a·b=|a||b|,当θ=π时,a·b=−|a||b|. (5)对于实数a,b,c,若ab=ac,a≠0,则b=c;对于向量a,b,c,若a·b=a·c, a≠0,却推不出b=c,只能得出a⊥(b−c). (6)a·b=0 ⇏a=0或b=0;a=0时,一定有a·b=0. (7)不为零的三个实数a,b,c,有(ab)c=a(bc)成立,但对于三个向量a,b,c, (a·b)c≠a(b·c),因为a·b是一个实数,(a·b)c是与c共线的向量,而a(b·c)是与a共线的向量,a与c不一定共线. 小试身手 1.已知a=3p−2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=　　　.  解析:因为p⊥q且|p|=|q|=1, 所以a·b=(3p−2q)·(p+q)=3p2+p·q−2q2=3+0−2=1. 答案:1 2.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a−b|=　　　　　.  解析:因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242, 所以2a·b=46, |a−b|2=a2−2a·b+b2=530−46=484, 故|a−b|=22. 答案:22 4.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为　　 .  探究点一 求投影向量与投影数量 课堂探究·素养培育 [例1] 如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3. [例1] 如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3. 方法总结 探究点二 空间向量的数量积的运算 变式训练2−1:(变问法)在本例条件下,求证:EG⊥AB. 变式训练2−2:(变问法)在本例条件下,求EG的长. 变式训练2−3:(变问法)在本例条件下,求异面直线AG与CE所 成角的余弦值. 方法总结 空间向量数量积的三个应用 (2)求长度(或距离):运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题. (3)解决垂直问题:利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题. 数学窗 分类讨论思想在立体几何中的运用 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. [典例] 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离. $$