云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

1 玉溪一中 2026 届高二上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项符 合题目要求。 1.下列说法中，正确的有( ) A. 过点𝑃(1,2)且在𝑥, 𝑦轴截距相等的直线方程为𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 B. 直线𝑥 − √ 3𝑦 + 1 = 0的倾斜角为60∘ C. 直线𝑦 = 3𝑥 − 2在 𝑦 轴上的截距为−2 D. 过点(5,4)并且倾斜角为90∘的直线方程为𝑦 − 4 = 0 2.平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐶1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑥 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 2𝑦 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 3𝑧 𝐶1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗，则𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =( ) A. 1 B. 7 6 C. 5 6 D. 2 3 3.设{𝑖 , 𝑗 , ?⃗? }是单位正交基底，已知向量𝑝 在基底{?⃗? , ?⃗? , ?⃗? }下的坐标为(8,6,4)，其中?⃗? = 𝑖 + 𝑗 ， ?⃗? = 𝑗 + ?⃗? ，?⃗? = ?⃗? + 𝑖 ，则向量𝑝 在基底{𝑖 , 𝑗 , ?⃗? }下的坐标是( ) A. (12,14,10) B. (10,12,14) C. (14,12,10) D. (4,3,2) 4.已知?⃗? + ?⃗? = (2,−1,0)，?⃗? − ?⃗? = (0,3, −2)，则cos < 𝑎 ，?⃗? >的值为( ) A. 1 3 B. − √ 2 3 C. √ 3 3 D. √ 7 3 5.已知𝐴(0,0,0), 𝐵(1,1,1),𝑀(−1,2,2)，则𝑀到直线𝐴𝐵的距离为( ) A. √ 6 6 B. √ 6 3 C. 1 D. √ 6 6.已知圆的方程为𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 = 0，𝑀(𝑥, 𝑦)为圆上任意一点，则 𝑦−2 𝑥−1 的取值范围是 ( ) A. [−√3, √3] B. [−1,1] C. (−∞,−√ 3] ∪ [√ 3,+∞) D. (−∞,−1] ∪ [1,+∞) 7.在空间直角坐标系中，向量?⃗? = (2,−1,𝑚)，?⃗? = (−4,2,4)，下列结论正确的是( ) A. 若𝑎 //?⃗? ，则𝑚 = 2 B. 若𝑎 ⊥ ?⃗? ，则𝑚 = − 5 2 C. 若< 𝑎 , ?⃗? >为钝角，则𝑚 < 5 2 D. 若𝑎 在?⃗? 上的投影向量为 1 6 ?⃗? ，则𝑚 = 4 8.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数 问题可以利用其几何意义求解.√ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2几何意义是平面上点𝑀(𝑥, 𝑦)与点 𝑁(𝑎, 𝑏)的距离，利用几何意义可得𝑓(𝑥) = √ 𝑥2 + 4𝑥 + 20 + √ 𝑥2 + 2𝑥 + 10的最小值为( ) 2 A. 2√ 5 B. 5√ 2 C. 4 D. 8 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得 6分，部分选对得部分分，有错项得 0分。 9.关于方程𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 = 0表示的圆，下列叙述中正确的是( ) A. 圆心在直线𝑦 = −𝑥上 B. 其圆心在𝑥轴上 C. 过原点 D. 半径为√ 2𝑎 10.对于直线𝑙1: 𝑎𝑥 + 2𝑦 + 3𝑎 = 0, 𝑙2: 3𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 + 3 − 𝑎 = 0.以下说法正确的有( ) A. 𝑙1//𝑙2的充要条件是𝑎 = 3 B. 𝑙1 ⊥ 𝑙2的充要条件是𝑎 = 2 5 C. 直线𝑙2一定经过点𝑀(−1,1) D. 点𝑃(1,3)到直线𝑙1的距离的最大值为5 11.如图正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝑃在线段𝐵1𝐶上运动，则下列结论正确的是( ) A. 直线𝐵𝐷1 ⊥平面𝐴1𝐶1𝐷 B. 三棱锥𝑃 − 𝐴1𝐶1𝐷的体积为定值 C. 异面直线𝐴𝑃与𝐴1𝐷所成角的取值范围是[ 𝜋 4 , 𝜋 2 ] D. 直线𝐶1𝑃与平面𝐴1𝐶1𝐷所成角的正弦值的最大值为 √ 6 3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.两平行直线3𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0和6𝑥 + 𝑚𝑦 + 20 = 0间的距离是 ． 13. 点𝑃(2,0)关于直线𝑙：𝑥 + 𝑦 + 1 = 0的对称点𝑄的坐标为 ． 14.给定两个不共线的空间向量?⃗? 与?⃗? ， 定义叉乘运算?⃗? × ?⃗? .规定： (𝑖) ?⃗? × ?⃗? 为同时与?⃗? ，?⃗? 垂直的向量; (𝑖𝑖) ?⃗? ，?⃗? ，?⃗? × ?⃗? 三个向量构成右手系 (如图1); (𝑖𝑖𝑖)| ?⃗? × ?⃗? | = | ?⃗? || ?⃗? |sin < ?⃗? ，?⃗? >. 长方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 2，𝐴𝐴1 = 4，如图2，给出下列四个结论：  ①𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐴1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ;  ②𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ;  ③(𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) × 𝐴𝐴1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐴1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐴1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ;  ④𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 = (𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋅ 𝐶𝐶1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗． 其中，正确结论的序号是 ． 3 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知△ 𝐴𝐵𝐶的三个顶点分别为𝐴(1,0)，𝐵(−3,2)，𝐶(0,3)． (1)求𝐴𝐵边上的高所在直线的方程; (2)求∆𝐴𝐵𝐶的面积． 16.(本小题15分) 如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶, ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝜋 2 , 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐷 = 2, 𝐸, 𝐹, 𝐺 分别为边𝐴𝐵，𝐶𝐷, 𝐵𝐶的中点，沿𝐸𝐹将梯形𝐴𝐵𝐶𝐷翻折，使平面𝐴𝐸𝐹𝐷 ⊥平面𝐸𝐵𝐶𝐹． (1)证明：𝐵𝐷 ⊥ 𝐸𝐺； (2)求𝐵𝐷与平面𝐴𝐵𝐹所成角的正弦值． 17.(本小题15分) 已知圆𝑀经过原点和点(3, −1)，且它的圆心𝑀在直线2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0上． (1)求圆𝑀的方程； (2)若点𝐷为圆𝑀上的动点，定点𝐶(2,0)，求线段𝐶𝐷的中点𝑃的轨迹方程． 4 18.(本小题17分) 如图在四棱锥𝐴 − 𝐵𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐷//𝐸𝐵，𝐶𝐷 = 1, 𝐸𝐵 = 2，𝐶𝐵 ⊥ 𝐵𝐸，𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = √ 2，𝐴𝐷 = √ 3，𝑂是𝐴𝐸的中点． (1)试在 𝐴𝐵上确定点𝐹的位置，使𝐶、𝐷、𝑂、𝐹四点共面,并证明； (2)求点𝑂到平面𝐴𝐶𝐷的距离． (3)在棱𝐵𝐸上是否存在点𝑀，使得半平面𝐴𝐷𝑀与半平面𝐴𝐵𝐶所成二面角的余弦值为 4 53 √ 53， 若存在，求𝐸𝑀:𝑀𝐵，若不存在，说明理由． 19.(本小题17分)𝐴是直线𝑃𝑄外一点，点𝑀在直线𝑃𝑄上(点𝑀与点𝑃, 𝑄任一点均不重合)，我们 称如下操作为“由𝐴点对𝑃𝑄施以视角运算”：若点𝑀在线段𝑃𝑄上，记(𝑃, 𝑄;𝑀) = |𝐴𝑃|sin∠𝑃𝐴𝑀 |𝐴𝑄|sin∠𝑀𝐴𝑄 ；若点𝑀在线段𝑃𝑄外，记(𝑃, 𝑄;𝑀) = − |𝐴𝑃|sin∠𝑃𝐴𝑀 |𝐴𝑄|sin∠𝑀𝐴𝑄 ．在△ 𝐴𝐵𝐶中，角𝐴, 𝐵, 𝐶的对边 分别是𝑎, 𝑏, 𝑐，点𝐷在射线𝐵𝐶上． (1)若𝐴𝐷是角𝐴的平分线，且𝑏 = 3𝑐，由𝐴点对𝐵𝐶施以视角运算，求(𝐵, 𝐶; 𝐷)的值； (2)若𝐴 = 60∘, 𝑎 = 4, 𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐷，由𝐴点对𝐵𝐶施以视角运算，(𝐵, 𝐶; 𝐷) = 2 − 2√ 3，求∆𝐴𝐵𝐶的 周长； (3)若𝐴 = 120∘，𝐴𝐷 = 4，由𝐴点对𝐵𝐶施以视角运算，(𝐵, 𝐶; 𝐷) = 𝑐 𝑏 ，求𝑏 + 4𝑐的最小值． 玉溪一中2026届高二上学期第一次月考 数学参考答案 一、单选题：CBABDCDB 二、多选题：AC、BD、ABD 11.【解析】在选项A中，A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,B1D1nBB1=B 且B1D1,BB1C平面BB1D ÷A1C11平面BB1D1,BD1C平面BB1D1,÷A1C1⊥BD1, 同理，DC1⊥BD1, A1C1nDC1=C1,且A1C1,DC1C平面A1C1D, 直线BD1⊥平面A1C1D,故A正确： 在选项B中，A1D/B1C,A1DC平面A1C1D,B1C￠平面A1C1D, B1C/平面A1C1D,~点P在线段B1C上运动， :P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值， ÷三棱锥P一A1C1D的体积为定值，故B正确； 在选项C中，A1D/B1C,∴异面直线AP与A1D所成角为直线AP与直线B1C的夹角. 易知△AB1C为等边三角形， 当P为B1C的中点时，AP⊥B1C: 当P与点B或C重合时，直线AP与直线B,C的夹角为号 故异面直线AP与AD所成角的取值范围是写，引，故C错误 在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P(a,1,a),则C1(0,1,1),B(1,1,0),D1(0,0,1), C1P=(a,0,a-1),D1B=(1,1,-1) 由A选项正确：可知D1B=(1,1,-1)是平面A1C1D的一个法向量， ∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为： IC P.DIBI CIP-ID1BI 2+a-万32a-当a=,最大值为 1 ,故D正确. 故选ABD. 三、填空题：1、(-1，-3)、①③④ 14.【解析】对于①，1AB×AD1=1AB川AD1sim90°=2×2×1=4,1AA1=4,又由AA与AB、AD 都垂直且三个向量构成右手系，则AB×AD=AA,①正确： 对于②，AB×AD=AA,而AD×AB=A1A,②错误： 对于③，AB+AD=AC,则有I(AB+AD)×AA1I=|AC×AA1=2V2×4×1=8N2, (AB+AD)×AA1方向与DB相同， |AB×AA1|=2×4×1=8,AB×AA1与DA方向相同，|AD×AA1|=2×4×1=8, 且AD×AA与DC方向相同， 故|AB×AA+AD×AAI=8V2,且AB×AA+AD×AA的方向与DA+DC即DB方向相同， 则有(AB+AD)×AA1=AB×AA+AD×AA,③正确： 对于④，由于AB×AD=AA,则(AB×AD)·CC=AA·CC=4×4=16,VARCD-AcD,= 1 2×2×4=16,④正确： 故答案为：①③④ 四、解答题： 15.【解折】()由题可得直线AB的斜率k8=号=一克》 所以AB边上高的斜率为2， 所以AB边上高的方程为：y-3=2x,即2x-y+3=0. (2)由四及条件知，AB的直线方程为：y=-(x-1),即x+2y-1=0, 顶点C到直线AB的距离为d=言=5， 又|AB|=√42+22=25， 所以△ABC的面积为SABC=克d:AB=号×V5×2W5=5. 16.【解析】(1)证明：沿EF将梯形ABCD翻折后， 因为平面AEFD⊥平面EBCF, 平面AEFD O平面EBCF=EF, AEC平面AEFD,AE⊥EF, 所以AE⊥平面EBCF,又BE⊥EF, 以E为原点，EB所在直线为x轴，EF所在直线为y轴，EA所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则E(0,0,0),A(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,1),G(1,1,0), 所以BD=(-1,1,1),EG=(1,1,0), 因为BD.EG=-1+1=0,所以BD⊥EG: (2)易得F(0,2,0).BD=(-1,11).BA=(-1,0,1),BF=（-1,2,0 设平面ABF的法向量为元=(x,y,z), 则·☑=0，即 -x+z=0 元.BF=0’气-x+y=0 令x=1,得y=号2=1，故平面ABF的一个法向量为玩=(1，) 设BD与平面ABF所成的角为0， 则sin0=cos(D,=mm=上1+4=函 BD-阿V3×2+号 33 故BD与平面ABF所成角的正弦值为受 17.【解析】(1)由已知可设圆心M(a,5-2a), 又由已知得√a2+(5-2a乎=√(a-3)2+(5-2a+1)2,解得：a=2. 于是圆心M(21),半径r=√5. 所以，圆M的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (2)设P(x,y),D(xo,yo) 则(x0-2)2+0y0-1)2=5, ~C(2,0),点P是线段CD的中点， x=2学，y=空7 -0+y0 可得： x0=2x-2 y%=2y 2 所以(2x-2-2)2+(2y-1)2=5, 整理得6x-22+0-2= 故所求的轨迹方程为：(x-2)2+0-为2= 18.【解析】(1)取AB中点F,连接CF、OF, O,F分别为AE,AB的中点，÷OF/BE, 又CD/EB, :.OF//CD. OF,CD共面， O、F、C、D四点共面 (2)取EB中点G,连接AG、DG,÷△ABE为等腰直角三角形，÷BE⊥AG,AG=1, 又：AD=V3,DG=BC=V2,·AG2+DG2= DA2,DG⊥AG, DG/IBC,CB⊥BE÷BE⊥DG,DG⊥AG BEnAG=G,BE、AGC平面ABE, ÷DG⊥平面ABE,而BEC平面ABE,故DG⊥BE, 以G为原点，以GB,GA,GD方向分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. G(0,0,0),A(0,1,0),D(0,0,V2) E(-10.00(-0,A而=0，-1，V②.0元= (1,00.0币=-V2) 故平面ACD的一个法向量为元=(0，√2,1)， “d=阿1=吾故点0到平面ACD的距离为号 (四设点M(a,0,0)在棱BE上，AD=(0,-1,√②)，AM=(a,-1,0) 设面ADM的一个法向量为=(x,y,z), i·AD=-y+√2z=0, 元·AM=ax-y=0, ∴取y=2,面ADM的一个法向量为而=后，2，V2 同理：面ABC的一个法向量为=(1,1,0) 令半平面ADM与半平面ABC所成二面角的平面角为0，B为锐角， 4v53 c0s0=c0s<n,>= +2 +6 2、 53. 器+9+5=0即a=-吉a=-21() 1 此时EM:MB=2:3, 故当EM:MB=2:3时，半平面ADM与半平面ABC所成二面角的余弦值为结V53 19.【解析】(1)因为AD是角A的平分线，所以∠BAD=∠DAC且D在线段BC上， 所以(B,C;D)=ABIsinLBAD=S lAClsinzDAC 3 又b=3c,所以(B,C:D)=；= (2)因为点D在射线BC上， ∠BAC=60°，AB⊥AD, 所以D在线段BC外，∠DAC=30°， 所以(B,C;D)=- ABIsinzBAD =、csin90 lACIsinDAC -器=-若=2-23 所以b=3+1 2C, 在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA, 即5e2+e2-e2=0=16, 2 解得c=(负值舍去)，所以b=6246, 3 所以·ABC的周长为C.ABc=a+b+c=4+2W2+2W6: (3)因为(B,C:D)=6>0, 所28品-号 则∠BAD=∠DAC,因为A=120°，所以∠BAD=∠DAC=60°， 又S.ABC=SAABD+SAADC, ∴2 besin120=b~ADsin60°+2c~ADsin60, 又AD=4,所以bc=4(b+c),所以+=1， 所以b+4c=6+4o)g+月=1答+兽+20>2g曾+20=36. 当且仅当=总，即b=12,c=6时等号成立。 4