云南省玉溪市一中2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

玉溪一中 2027届高一数学月考试卷 满分：150 分 时间：120min 一、单选题：本题共 8小题,每小题 5分,共 40分,每小题给出的四个选项中,只有一个选项是 正确的. 1．已知集合  y | y 1A    ,  2 3B x x  „ ,则 A B  A．{ | 1}x x   B．{ | 1}x x … C． D．{ | 1 2}x x „ „ 2. 设 a , b为实数,则“ a b… ”是“ 2 2am bm… ”的 A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 如图,已知矩形 U表示全集,A、B是 U的两个子集,则阴影部分可表示为 A．    U UC A C B B．    U UC A C B C．  UC B A D．  UC A B 4. 若 3x   ,则 12 3 x x   的最小值是 A．2 2 6 B． 2 2 6 C．2 2 D． 2 2 2 5. 关于 x的不等式 2 (1 2 ) 2 0x a x a    的解集中恰有 2 个整数,且 1 2 a  ,则实数 a的取值范 围是 A． 11 2 a a       „ B． 11 2 a a        C． 1 2 a a      D． 1 2 a a      6. 若命题：“ 0x R  ,使得 2 0 04 4 3 0mx mx  … 成立”是假命题,则实数m的取值范围是 A． 3 0m   B． 0 3m m  或 C． 3 0m   D． 0 3m m  或 7．在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 2300m 的内接矩形花园（阴影部分）, 则图中矩形花园的其中一边的边长 x（单位：m）的取值范围是 A．15 20x  B．10 30x  C．12 25x  D．20 30x  8. 对 x R , x 表示不超过 x的最大整数.十八世纪,  y x 被“数学王子”高斯采用,因此得 名为高斯取整函数,则下列命题中的真命题是 A．  2 1x x x      ,  2x   B． x R ,   1x x  C．函数   y x x x  R 的取值集合为 y 0 1y  D．若 t R ,使得 3 1t    , 4 2t    , 5 3t    ,…, 2 nt n     同时成立,则正整数 n的最大 值是 5 二、多选题：本题共 3题,每小题 6分,共 18分,在每小题给出的选项中有多个选项符合要求, 全部选对得 6分,部分选对得部分分,有选错的得 0分. 9. 下列命题中的真命题是 A．若 0,a b  0m  ,则 b b m a a m    ; B．命题“ x R , 2 0x x  ”的否定为“ x R , 2 0x x  ”; C．集合  2 1A y y x   ,  2 1B x y x   表示同一集合; D．“  22 1 0a b   ”是“  1 0a b  ”的充分不必要条件． 10. 已知关于 x的不等式 2 0ax bx c   的解集是{ |1 3}x x  ,则 A． 0a  B． 0a b c   C． 4 2 0a b c   D．不等式 2 0cx bx a   的解集是{ | 1x x   或 1} 3 x   11. 若正实数 a , b满足 2 2a b  ,则下列结论中正确的有 A． 2 2 1 4 a b  的最小值为 8 B． 1 1 4 2 2a b a b    的最小值为 2 3 C． 2 2a b 的最大值为 2 2 D． 2 22b a 的最小值为 2 3 三、填空题：本题共 3小题,每小题 5分,共 15分. 12．满足   2,3 2,3,4,5,6P  的集合 P的个数为 13. 已知 a b , c d ,则下列不等式一定成立的是 ① ac bd ② a b d c  ③ 2 2a b ④ a d b c   14. 某厂家拟在 2024年举办某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量（即该厂的年 产量）x万件与年促销费用m万元 ( 0)m… 之间满足 1 13x m    ．已知 2024年生产该产 品的固定投入为 8万元,每生产 1万件该产品需要再投入 9万元,厂家将每件产品的销售 价格定为每件产品年平均成本的 2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．则 该厂家 2024年的利润最大值为 万元. 四、解答题：本题共 5小题,共 77分.解答题需写出必要的演算步骤,或文字说明. 15.（13分） 已知集合  1 3 2A x m x m     ,不等式 4 1 1x   的解集为 B. （1）当 3m  时,求 A B ; （2）若 x A 是 x B 的充分不必要条件,求实数 m的取值范围. 16.（15分） 证明下列不等式： （1）已知 0 0, 0a b c d e    ， ,求证：    2 2a c d e e b    ; （2）已知 a,b,c均为正实数,且 1a b c   ,求证： 1 1 11 1 1 8 a b c               ． 17.（15分） 已知 0a  , 0b  . （1） 4 9a b ab  且 2 24a b m m   有解,求实数m的取值范围; （2） 2 2 0ab a b    ，求 ( 1)( 2)a b  的最小值. 18.（17分） 已知函数      21 1f x m x mx m m R      （1）当 2m   时,解不等式  f x m ; （2）对任意的  1 1x x x    ,不等式   2 1f x x x   恒成立,求m的取值范围. 19.（17分） 设集合 *S  N ,且 S中至少有两个元素,若集合 T满足以下三个条件： ① *T  N ,且 T中至少有两个元素; ②对于任意 ,x y S ,当 y x ,都有 xy T ; ③对于任意 ,x y T ,若 y x ,则 y S x  ;则称集合T 为集合S的“耦合集”. （1）若集合  1 1, 2, 4S  ,求集合 1S 的“耦合集” 1T ; （2）若集合 2S 存在“耦合集” 2T ,集合  2 1 2 3 4, , ,S p p p p ,且 4 3 2 1p p p p   ,求证： 对于任意1 4i j   ,有 2 j i p S p  ; （3）设集合  1 2 3 4, , ,S p p p p ,且 4 3 2 1 2p p p p    ,求集合 S的“耦合集”T中元 素的个数. 玉溪一中 2027 届高一数学月考试卷 参考答案 BCDA ACBD BD ABD ABC 8 ④ 30 1. 解：    2 3 1 5B x x x x     „ ,则  1A B x x   ， 故选：B． 2.解：若 a b… ，而 2 0m … ，则 2 2am bm… ， 取 0m  ， 1a   ， 1b  ，此时 2 2am bm… ，但 a b ， 故“ a b… ”是“ 2 2am bm… ”的充分不必要条件． 故选：C． 3.解：在阴影部分区域内任取一个元素 x， 则 x A 且 x B ，即 Ux Að 且 x B ， 所以，阴影部分可表示为 ( )U A Bð ． 故选： D． 4.解：由 3x   ，可得 3 0x   ， 1 1 12 2( 3) 6 2 2( 3) 6 2 2 6 3 3 3 x x x x x x              … ， 当且仅当 12( 3) 3 x x    ，即 23 2 x    时取等号， 所以 12 3 x x   的最小值为 2 2 6 ． 故选：A． 5.解：由 2 (1 2 ) 2 0x a x a    可得 ( 1)( 2 ) 0x x a   ， 当 1 2 a  时，原不等式解得 2 1a x  ，由于解集中恰有 2个整数， 所以该整数解为 1 和 0，因此由数轴法可得 2 2 1a  „ ，即 11 2 a  „ . 故选：A． 6.解：此题等价为全称命题：“ x R  ， 24 4 3 0mx mx   成立”是真命题． 当 0m  时，原不等式化为“ 3 0  ”， x R  显然成立； 当 0m  时，只需 2 0 16 48 0 m m m      ， 解得 3 0m   ． 综上，得 3 0m  „ ． 故选：C． 7.解：如图，过 A作 AH BC 于H ，交DE于 F ， 易知 DE AF BC AH  ，即 40 40 x AF  ， 则 AF x ， 40FH x  ， 所以矩形花园的面积 (40 ) 300S x x  … ， 解得10 30x„ „ ， 即 x的取值范围是 [10，30]． 故选：B． 8. 解：对于 A：当 1,[ ] 1x x    ，所以 A错误； 对于 B：当 x Z 时， [ ]x x ， 当 x Z 时，设 1k x k   ， ( )k Z ，则 [ ]x k ，则 [ ] [ ] 1x x x   由定义得： [ ] [ ] 1x x x „ ，故 B错误； 对于 C: [ ] [ ] 1x x x  „ ， 0 [ ] 1x x  „ ，函数 [ ]( )y x x x R   的值域为 [0，1) ，故 C 错误； 对于 D，由题意可得 3 4 5 1 2 2 3 3 4 2 1n t t t n t n           „ „ „ „ ，则 3 4 4 55 1 2 2 3 3 4 2 1n n t t t n t n              „ „ „ „ 同时成立，  6 34 2 ， 若 6n… 时，则不存在 t满足 31 2t „ 与 6 64 5t„ 同时成立， 只有当 5n„ 时，存在 5[ 3t ， 3 2)满足题意，故 D正确． 9.解：命题“ x R  ， 2| | 0x x … ”的否定为“ x R  ， 2| | 0x x  ”，B 正确； 2 2( 1) 0a b   等价于 0a  且 1b  ，而 ( 1) 0a b   等价于 0a  或 1b  ， 故“ 2 2( 1) 0a b   ”是“ ( 1) 0a b   ”的充分不必要条件，D正确； 集合 2{ | 1} [1A y y x    ， ) ，是函数 2 1y x  的值域， 而集合 2{ | 1}B x y x R    ，是函数 2 1y x  的定义域， 故集合 A与集合 B不表示同一集合，C 错误； 故选： BD． 10.解：因为不等式 2 0ax bx c   的解集是{ |1 3}x x  ， 所以 0a  且 1，3为方程 2 0ax bx c   的两根， A正确； 故 1 3 1 3 b a c a          ， 所以 4b a  ， 3c a ， 所以 4 3 0a b c a a a      ， B正确； 4 2 4 8 3 0a b c a a a a        ，C错误； 由不等式 2 23 4 0cx bx a ax ax a      可得 23 4 1 0x x   ， 解得 1x   或 1 3 x   ， D正确． 故选： ABD． 11.解： A选项，因为 0a  ， 0b  ，且 2 2a b  ，所以 2 2 2ab„ ， 所以 1 2 ab„ ，当且仅当 2 1a b  时，等号成立，  2 2 1 4 4 8 a b ab  … … ，当且仅当 2 1a b  时，等号成立，故 A正确； B选项，因为 1 1 1 1 1[(4 ) (2 2 )]( ) 4 2 2 6 4 2 2 a b a b a b a b a b a b           1 2 2 4 1 2(2 ) (2 2) 6 4 2 2 6 3 a b a b a b a b          … ， 当且仅当 2 2 4 4 2 2 a b a b a b a b      ，即 2 1a b  时取等号，故 B项正确； C选项， 2 2(2 2 ) 4 2 4 2 4 4 2 4 4 4 4 8 2 a ba b a b ab ab           „ ， 当且仅当 2 1a b  时取等号，所以 2 2 2 2a b „ ，所以 2 2a b 的最大值为 2 2，故C 项正确； D选项，因为 2 2 2 2 2 22 4 42 (2 2 ) 2 6 8 4 6( ) 3 3 3 b a a a a a a          … ，当且仅当 2 3 a b  时取等号， 所以 2 22a b 的最小值为 4 3 ，故 D项错误． 故选： ABC． 12.解：集合 P的个数等于 4,5,6 的子集个数 32 8 ; 13.解：对于①②③，当 1a  ， 1b   ， 1c  ， 1d   时，满足 a b ， c d ，但①②③均 不满足，故①②③错误； 对于④， c d ， a b ， 则 a c b d   ，即 a d b c   ， 14.解：由题意可得，每件产品的销售价格为 8 92 x x  ， 则 8 9 12 (8 9 ) 8 9 8 9(3 ) 35 9 1 1 xy x m x x m mx m m x                    ， 35 36 [ ( 1)] 2 ( 1) 36 30 1 9 1 9 1 9y m m m m m m                „ ，当且仅当 9 1 1 m m    ， 即 2m  时，等号成立， 故该厂 2024年的促销费用投入 3万元时，利润最大为 30万元． 15.解：（1）当 3m  时， { | 2 7} [2A x x „ „ ， 7]， 对于 3{ | 0} 1 xB x x    „ ，解不等式 3 0 1 x x   „ ，可得 1 3x  „ ，即 ( 1B   ，3]， 所以 [2A B  ， 7] ( 1 ， 3] ( 1  ， 7]； （2）因为 x A 是 x B 的充分不必要条件，所以 A是 B的真子集， ①当 A  时， 1 3 2m m   ，解得 1 2 m  ，符合题意； ②当 A  时， 1 2 m… 且 1 1 3 2 3 m m      „ ，解得 1 5 2 3 m„ „ ． 综上所述 5 3 m„ ，即实数m的取值范围为 5( , ] 3  ． 16.（1）证明： 0c d  ， 0c d    ， 0a b  ， 0a c b d     ， 可得    2 2 0a c b d    进而得到    2 2 1 1 a c b d    ， 0e  ，    2 2a c d e e b    ． （2）证明：因为 a， b， c均为正实数，且 1a b c   ， 则 ： 1 1 1( 1)( 1)( 1) 2 2 2 8a b c a a b c b a b c c b c a c a b bc ac ab a b c a b c a b c a b c                       … ，当且仅当 1 3 a b c   时取等号． 17.解：（1）解：正数 a， b满足 4 9a b ab  ， 4 9 1 b a   ， 4 9 4 9( )( ) 13 2 36 13 25a ba b a b b a b a          … ， 当且仅当 4 9a b a b  ，即 15a  ， 10b  时取等号， a b  的最小值为 25， 2 24a b m m   有解， 225 24m m   ， 即 2 24 25 0m m   ，解得 25m  或 1m   ， 实数m的取值范围是： 25m  或 1m   . （2）解：因为 0a  ， 0b  ，且满足 2 2 0ab a b    ， 所以 2 0 2 ab a     ， 所以 2a  ， 41 2 b a    ， 则 12 12 12( 1)( 2) 2 2 3( ) 4 3 7 3( 2) 13 2 3( 2) 13 25 2 2 2 a b ab a b a b a a a a a a                        … ， 当且仅当 123( 2) 2 a a    ，即 4a  ， 3b  时取等号． 故所求最小值为：25． 18. 解：（1）当 2m   时， ( )f x m… ，即 2( 1) 1m x mx m m    … ， 可得 [( 1) 1]( 1) 0m x x   … ，因为 2m   ， ①当 1 0m   时，即 1m   ，不等式的解集为{ | 1}x x… ， ②当 2 1m    时，不等式整理可得： 1( )( 1) 0 1 x x m     ，因为 1 1 1m    ， 所以不等式的解集为 1{ | 1} 1 x x m     ③当 1m   时，不等式整理可得： 1( )( 1) 0 1 x x m     ，又 1 0 1 1m     ， 所以不等式的解集为 1{ | 1} 1 x x x m     或 ， 综上： 1m   ，不等式的解集为{ | 1}x x… ； 当 2 1m    时，不等式的解集为 1{ | 1} 1 x x m     ； 当 1m   时，不等式的解集为 1{ | 1} 1 x x x m     或 ； （2）由题对任意 [ 1x  ，1]，不等式 2 2( 1) 1 1m x mx m x x     … 恒成立， 即 2( 1) 2m x x x  … ，因为 [ 1x  ，1]时， 2 1 0x x   恒成立， 可得 2 2 1 xm x x     ，设 2t x  ，则1 3t„ „ ，所以 2x t  ， 可得 2 2 2 1 31 (2 ) (2 ) 1 3 x t x x t t t t            ， 因为 3 2 3t t   ，当且仅当 3t  时取等号， 所以 2 2 1 2 3 3 1 32 3 3 x x x        ，当且仅当 2 3x   时取等号． 故m的取值范围为： 2 3 3 3 m  ． 19.解：（1）由已知条件②得 1T 的可能元素为：2，4，8， 又满足条件③，所以 1 {2T  ，4，8}． （2）证明：若集合 2 1{S p ， 2p ， 3p ， 4}p ，且 4 3 2 1p p p p   ， 由条件②得 2T 的可能元素为 1 2p p ， 1 3p p ， 1 4p p ， 2 3p p ， 2 4p p ， 3 4p p ， 由条件③可知 1 3 2 1 2 p p S p p  ，得 3 2 2 p S p  ， 同理得 3 2 1 p S p  ，同理得 3 2 1 p S p  ， 2 2 1 p S p  ， 4 2 1 p S p  ， 4 2 3 p S p  ， 所以对于任意1 4i j„ „ ，有 2j i p S p  ． （3）因为 4 3 2 1 2p p p p   … ， 由（2）知 2 1 p S p  ，得 2 1 1 p p p  即 22 1p p ， 同理可得 3 2 1 p p p  ， 4 3 1 p p p  ， 所以 33 1p p ， 4 4 1p p ， 又因为T的可能元素为： 1 2p p ， 1 3p p ， 1 4p p ， 2 3p p ， 2 4p p ， 3 4p p ， 所以 31{T p ， 4 1p ， 5 1p ， 6 1p ， 7 1 }p 共 5个元素，