2024-2025学年苏科版数学八年级上册期末专题复习：几何最值七大类型

最值问题七大类型 一、类型一：垂线段最短 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ． 2．在中，，，点D是上一点，将点B绕点D逆时针旋转得到点，连接，则的最小值为（       ） A．4 B． C． D．5 3．如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 4．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ． 5．如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接． (1)求证：平分； (2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长． 二、类型二：三角形三边关系 6．如图，，在中，，点A，B分别在边上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．    7．如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（   ） A． B．2 C． D．1 8．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点M是中点，点N是中点，连接，若，，则线段的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 9．如图，射线OA⊥射线OB于点O，线段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为 三、类型四：两点之间线段最短以及蚂蚁爬行路径最短问题 10．如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm． 11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    12．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 13．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 14．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．16 B．19 C．20 D．21 四、类型三：构造全等三角形进行转化 15．如图中，，若将作点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 16．如图，在中，，，于点D，点E、F分别是线段上的动点，且，则的最小值为 ．    17．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 18．如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是 ． 五、类型五：将军饮马模型 19．如图，等腰中，，，垂直平分，交于点．若点为的中点，点为上一动点，则的最小值为 ． 20．如图，中，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是 ．    21．如图，边长为的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，下列说法正确的有（ ）个． ①；②；③的周长最小值为；④当周长最小时，；⑤的大小随着点的移动而变化． A．2 B．3 C．4 D．5 22．如图，在中，，，射线平分，，，，点为的中点，点为射线上一动点，则的最小值为 ． 23．如图，在等腰直角三角形中，，P是上一动点．则的最小值是 ． 24．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 25．如图，在锐角中，，，，是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为 ．    26．如图，在中，，，， 点M、 N分别为上的动点， 则的最小值为 ． 27．如图，中，，的面积12．点D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值为 ．    28．已知等边中，，，若点P在线段AD上运动，当的值最小时，AP的长为 ． 29．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．    如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=CB′，C′B=C′B′， ∴AC+CB=AC+　 　=　 　． 在△AC′B′中， ∵AB′＜AC′+C′B′ ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 1.简单应用 （1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值    借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　； （2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=　 　°． 2.拓展应用 如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程． 六、类型六：瓜豆原理 30．如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为 ． 七、类型七：其它类型 31．x为任何实数，则的最小值是 . 32．如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 几何最值问题七大类型 一、类型一：垂线段最短 方法思路：过直线外一点，到已知直线垂线段最短 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：由作法得AD平分∠BAC， ∴点D到AB的距离等于DC＝2， ∴PD的最小值为2． 故答案为2． 2．在中，，，点D是上一点，将点B绕点D逆时针旋转得到点，连接，则的最小值为（       ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：如图，由旋转可得：，， ∴是等边三角形， ∴，即的最小值即为的最小值， 当时，最小，即最小， 过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 则， ∴， 故选C．    3．如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：连接， 由题意，，， ∴垂直平分，即， ∵， ∴， ∴点P在与成的射线上， 故当时，最小，如图，则， ∴， 由勾股定理得， ∴，则， 即的最小值是， 故选：C． 4．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于E，于G，于H，连接， ∵平分，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴平分，即点C在的平分线上， ∴， ∵， ∴， 如图，作于，则， 即的最小值为，此时点C与重合， ∴， ∴， ∴当线段取最小值时，的度数为， 故答案为：． 5．如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接． (1)求证：平分； (2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长， 根据垂线段最短，当时，值最小，四边形的周长取最小值， ∵， ∴． 2、 类型二：三角形三边关系 方法思路：利用三角形三边关系，第三边大于任意两边之差，第三边小于任意两边之和，三点共线时取得最大值或最小值 6．如图，，在中，，点A，B分别在边上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．    【答案】7 【详解】解：作，连接，如图，    ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵（当点C、 O、H共线时取等号）， ∴点C到点O的最小距离为， 故答案为：7． 7．如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】解：如图，取的中点T，连接． ， ， ∵， ， ， ， ，， ， ， ∴的最小值为1． 故选：D． 8．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点M是中点，点N是中点，连接，若，，则线段的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：，， ， 连接， ∵将绕点顺时针旋转得到， ， ∵是中点，点是中点， ， 在中，，即， ∴当三点共线时，最大． 故选：C． 9．如图，射线OA⊥射线OB于点O，线段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为 【答案】8 【详解】解：如图，取CD的中点M，以O为圆心，OM为半径作 ，交OA、OB于E、F． ∵CD=6，M为CD的中点，射线OA⊥射线OB于点O， ∴， ∵CE=4，且CE⊥CD于点C， ∴ ， ∵点M在上运动， ∴，当M在OE与的交点处时，等号成立， ∴， 即点E到点O的最大距离为8， 故答案为：8． 三、类型四：两点之间线段最短以及蚂蚁爬行路径最短问题 方法思路：1、两点之间，线段最短。 2、蚂蚁爬行路径最短问题，将曲面或立体面展开铺平，两点之间线段最短，利用勾股定理计算即可。 10．如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm． 【答案】10 【详解】解：如图所示： 沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB， 则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm， 由勾股定理得：（cm）． 故答案为：10． 11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    【答案】 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是， 故答案为：．    12．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【答案】 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 13．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 【答案】17 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 14．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．16 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′． ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA′+∠DMB′＝60°， ∴∠A′MB′＝60°， ∵MA′＝MB′， ∴△A′MB′为等边三角形 ∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19， ∴CD的最大值为19， 故选：B． 四、类型三：构造全等三角形进行转化 方法思路：构造全等三角形，利用全等性质进行转化 15．如图中，，若将作点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【详解】如图，在上截取，连接， 将绕点逆时针旋转得到， ， ，即， 在和中， ， ， ， 点在线段上运动， 当时，的值最小，即线段有最小值， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 由勾股定理得， 线段有最小值为2， 故选：A． 16．如图，在中，，，于点D，点E、F分别是线段上的动点，且，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：过点作，使，连接，，    ， ， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 17．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴最小时，有最小值， ∵为直线上的动点，过点作于点， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为， 故答案为：． 18．如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，截取，连接；过点D作，垂足为E； 可得等腰直角三角形； ∵ ∴ ∵ ∴ 则：， ∴， 即 即为等腰直角三角形 ∴ ∵点F为定点 ∴点D在射线上运动 当时，最小， 在等腰直角中：， ∴， 故答案为：． 五、类型五：将军饮马模型 方法思路：将军饮马问题中的最值分好几种类型，需具体情况具体分析。分两点一动、一定两动、多动点等。 19．如图，等腰中，，，垂直平分，交于点．若点为的中点，点为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： 垂直平分，交于点， ， ， 根据点到直线的距离最短是垂线段长，可知当三点共线，时，有最小值， 等腰中，，，点为的中点， 由等腰三角形“三线合一”可知，，，则， 当三点共线，时，有最小值，为， 故答案为：． 20．如图，中，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：，，， 过点作于点，交于点，过点作于，   平分，，， ， ，此时取最小值． ， ， 即 ． 即的最小值为． 故答案为：． 21．如图，边长为的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，下列说法正确的有（ ）个． ①；②；③的周长最小值为；④当周长最小时，；⑤的大小随着点的移动而变化． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】∵是等边三角形，是边的中点， ∴，故①正确． ∴是线段的垂直平分线． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴，故②正确． ∵点在线段上， ∴当点与重合时，线段最小，即此时的周长最小． ∵等边三角形的边长为，是边的中点， ∴． ∴的周长的最小值为，故③正确． ∵、都是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴，故⑤错误． ∴，即点在射线上运动． 如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，，，设交的延长线于点． ∴． ∴的周长． ∴当点，，三点共线，即点与点重合时，最小，即的周长最小． ∵点与点关于直线对称， ∴，． ∴． ∴是等边三角形． ∵是边的中点， ∴． ∴． 故④错误． 综上，说法正确的为①②③，共3个． 故选B． 22．如图，在中，，，射线平分，，，，点为的中点，点为射线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接， ，， ，， 点为的中点， ， 为等边三角形， 射线平分， 垂直平分， ，点为点关于的对称点， 当在点的位置时，最小，最小值为， ， ， ，， ． 故答案为：． 23．如图，在等腰直角三角形中，，P是上一动点．则的最小值是 ． 【答案】5 【详解】解：如图：作等腰直角三角形关于的对称直角三角形， 连接，与交于点P，线段最短得到就是的最小值， ∵等腰直角三角形中，， ， ， ∵B、D关于对称， ， ． ， ， 由勾股定理得，． 故答案为：5． 24．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：    由平移性质得到， ， 作关于的对称点，连接，如图所示：   由对称性得到， ， 由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长， ， ， 在长方形中，，，由矩形性质可得， ， 是的中点， ， 与关于的对称， ， 在长方形中，， 在中，，，，由勾股定理得到， 的最小值， 故选：C． 25．如图，在锐角中，，，，是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为 ．    【答案】8 【详解】解：连接，，，，，如图所示：    因为点关于直线，的对称点分别是，， 所以是的垂直平分线，是的垂直平分线， 则，，， 即， 所以是等边三角形， 则， 当时，取最小值， 因为，， 所以当时，取最小值， 因为，上的高， 所以的最小值， 故答案为：8． 26．如图，在中，，，， 点M、 N分别为上的动点， 则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作A关于的对称点D，连接， ∴， ∵， ∴， 当时，长最小， ∵， ∴ ∵的面积， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 27．如图，中，，的面积12．点D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值为 ．    【答案】8 【详解】解：作，作点E关于的对称点，如图，    ∴， 作点E关于的对称点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 连接，交于点D，交于点F，连接， ∴， ∴周长的最小值为的长， ∵，即，解得：， ∴， ∴周长的最小值为8， 故答案为：8． 28．已知等边中，，，若点P在线段AD上运动，当的值最小时，AP的长为 ． 【答案】8 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过点P作于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时最小，如图所示： ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：8． 29．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．    如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=CB′，C′B=C′B′， ∴AC+CB=AC+　 　=　 　． 在△AC′B′中， ∵AB′＜AC′+C′B′ ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 1.简单应用 （1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值    借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　； （2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=　 　°． 2.拓展应用 如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程． 【答案】C′B；AB′；简单应用：（1）BE；3；（2）100；拓展应用：作图见解析，货船行驶的水路最短路程为千米 【详解】解：AC+CB=AC+C′B=AB′， 故答案为：C′B；AB′； 1.简单应用 （1）由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM， EM+MC的最小值就是线段BE的长度， BE=， 则EM+MC的最小值是， 故答案为：BE；； （2）如图5，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，    则A′A″即为△AMN的周长最小值， ∵∠DAB=130°， ∴∠A′+∠A″=50°， ∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″， 且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°， 故答案为：100； 2.拓展应用 如图6，分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，则C、D为两岸的装货地点，A′B′是货船行驶的水路最短路程，    由轴对称的性质可知，OA′=OA=1，OB′=OB=2，∠BOA′=∠AOB=30°，∠AOB′=∠AOB=30°， ∴∠A′OB′=90°， ∴A′B′=， 答：货船行驶的水路最短路程为千米． 六、类型六：瓜豆原理 30．如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为 ． 【答案】18 【详解】解：解：如图，连接BF， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠DBF=∠DBE=30°， 又∵∠ABC=30°， ∴∠CBF=60°， ∴即射线BF的位置是固定的， ∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°， ∴BF=BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6， ∴AB=2AC=12，BC=， ∴BF=， 设BD=2x，则DF=x， ∴，即，解得x=3 ∴BD=6 ∴的周长为18． 故填：18． 七、类型七：其它类型 31．x为任何实数，则的最小值是 . 【答案】5 【详解】作线段AB=3，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=1，BD=3， 在AB上取一点P，可设AP=x，BP=3-x， 的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值， 作C点对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交于点E， ∵AC=BE=1，DB=3，AB=C′E=3， ∴DE=4， C′D==5， ∴最小值为5． 故答案为5． 32．如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、， ，，，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴， ∵ ． 在中，，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$