四川省成都市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024~2025学年度上期高2025届半期考试 高三数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1:复数+2的虚部是（) 3-4i A.-1 B时 C. 5 2-5 2,式子+an15 的值为() 1-tan15" A.√5 B.2 c.5 D.6 3.由正数组成的等比数列{a,},Sn为共前n项和，若a2a=l,S=7,则S,等于（） A号 B别 c33 4 4 4.在(1+x)3+(1+x)+…+(1+x)*的展开式中，含x2项的系数是() A.C3 B.C23-1 C.C2,-1 D.1-C 5.已知函数∫(x)对x∈R都有f(x)=∫(4-x),且其导函数∫'(x)满足当x≠2时 (x-2)∫'(x)>0,则当2<a<4时，有() A.f(2")<f(2)<f(log,a) B.f(log2a)<f(2)<f(2) c.f(log:a)<f(2")<f(2) D.f(2)<f(log2 a)<f(2) 6若向量a,6,c满足，日同=l=2=2,则(a-b)-(c-)的最大值为() A.10 B.12 c.53 D.6N2 +2,x<1 7.若对r∈R,函数f(x)= +d的函数位都不超过酒数g) 的函数值， r+二，x21 则实数a的取值范围是() A.a2-2 B.a≤2 C.-2sa≤2 D.a<2 8在三棱柱ABC-A,B,C,中，CA=CB=CC,AB=V3,C在面ABC的投影为△MBC 的外心，二面角A-CC,-B为二三设柱细侧面积为() A.4V5+3 B.75 c.65 D.55 CS扫描全能王 3亿人都在用的目猫AP户 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9对于样本相关系数，下列说法正确的是（) A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性 B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的 C.样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强 D.样本相关系数r∈[-1，] 10.为得到函数y=2sin(2x+)的图象，只需要将函数y=2sin2x的图象（) A.向左平移交个单位长度 6 B.向左平移号个单位长度 C.向右半移5红个单位长度 6 D.向右平移1 个单位长度 3 11.正实数x,y满足x+y=1,则下列选项一定成立的是() A.L+4≥10 B.2+2"22V2 C.(x+0y+马≥2 D.3y+L26 x V 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.命题“x∈N,x2>1”的否定是 13.若A(-1,-1),B(3,7),C(7,5),D(8,2)四点在同一个圆上，则该圆方程为 +京=1(a>b>0)左焦点F-l,0)关于直线y=bx的对称点在椭圆上，则该椭 4.陌与+2 圆离心常为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 设△1BC的内角4，C的对边分别为a么c,已知c=3.且sm(C-爱cosC= 4 (I)求角C的大小： (II)若向量m=(L,sinA)与n=(2,sinB)共线，求a,b的值. C③扫描全能王 】亿人那在用的目播AP户 16.(本小题满分15分) 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含 9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙 以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m): 甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25： 乙：9.78.9.56,9.51,9.36,9.32,9.23： 丙：9.85,9.65,9.20,9.16 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (①)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率： ()设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X). 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，CC⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC=3, 点D,E分别在棱AA,和棱CC上，且AD=ICE=2,M为棱AB的中点. (I)求证：CM⊥BD: (I)求二而角B-BE-D的正弦值： (I)求直线AB与平面DB,E所成角的正弦值. ○○O CS扫描全能王 】亿人那在用的目播AP户 18.(本小题满分17分) +方=1a>b>0)左焦点F和4(a,0,B(0,6)构成-个面积为2W2+L 的AFAB,且cos∠AFB= 2 (I)求椭圆E的标准方程： (II)点P是E在三象限的点，PA与y轴交于M,PB与x轴交于N ①求四边形ABWM的面积： ②求△PMN面积最大值及相应P点的坐标. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e-ar2-x-1.(其中e≈2.71828) (I)当a=0时，证明：f(x)≥0 (I)若x>0时，f(x)>0,求实数a的取值范围： ()记函数g)=e--2nx的最小值为m,求证：m 2 20e-1) CS扫描全能王 3亿人藤在用的目播AP白 2024~2025学年度上期高2025届半期考试 高三数学试卷参考答案 一、单选题 DABC DBCC 二、多选题 9.ABD 10.AC 11.BCD 三、填空题 12.3x。∈N,x2≤1 13.(x-3)2+(y-2)2=25 14 2 四、解答题 15.【解】)：V5 sinCcosC-cosC=! 2, sin2C-Icos2C=1.sin(2C-)=1. 2 2 :0<C<,2C-名子解得C= 3 …(6分) ()m与n共线，∴sinB-2sinA=0,由正弦定理a ,得b=2a①. sinA sin B c=3,由余弦定理，得9=a2+b2-2 abcos?π②，联立0②. a=5 3 b=25 …(13分) 16.【解】()由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 …(5分) ()设甲获得优秀为事件4，乙获得优秀为事件A,,丙获得优秀为事件A PX=0)=P444)=0.6x0.5x0.5=3 201 P(X=1)=P(44)+P(444)+P(A44) =0.4×0.5×0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0,5=8 P(X =2)=P(AA4)+P(A44)+P(444) =0.4×0.5×0.5+0.4x0.5×0.5+0.6×0.5×0.5= 7 201 P(X=3)=P(4142A4)=0.4×0.5×0.5= …(11分) X的分布列为 0 3 3 8 7 3 20 20 20 20 CS扫描全能王 】亿人都在用的目播AP时 .E(X)=0× 3+1x8+2x7+3 27 205 …(15分) 20 20 20 17.【解】依题意，以C为原点，分别以C、CB、CC的方向为x轴、y轴、：轴的正方 向建立空间直角坐标系（如图)， 可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C,(0,0,3) A(2,0,3)、B(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,13). (1)依题意，CM=(1,1,0)B,D=(2,-2,-2) 从而CM.B,D=2-2+0=0,所以CM⊥B,D:…(4分) (1)依题意，CA=(2,0,0)是平面BB,E的一个法向量. EB=(0,2,1),ED=(2,0-) 设n=(x,y,z)为平面DB,E的法向量。 n.E8=0m2y+z=0 则 即 n.ED=0 2x-z=0 不妨设x=1,可得n=(1,-1,2) cos<CA,n > CA.n 2 -6 阿 2x66, sin CA.n>=1-cos30 6 所以，二面角B-B,E-D的正弦值为V (10分) 6 (Ⅲ)依题意，AB=(-2,2,0). 由(1)知n=(1,-1,2)为平面DB,E的一个法向量，于是 AB.n -4 cos AB,n>= 阿 69 所以，直线AB与平面DB,E所成角的正弦值为 .(15分) 3 18【解1D设OF=c,由cos∠AFB=5,b=c. 2 再由△AB面积(a+eb=4V2+).解得精圆方 8*1 …(4分) (I)①解：设P(x,),解得A(2√2,0)，B(0,2) 直线PA:y= 万-2线a:22 CS扫描全能王 3亿人都在用的目播A即时 解得M0.二25%，N=20) x-2W2 %-2 四边形A8M的面S=4NBM=22+2兰X2+23为》 %-2 x。-22 -22吗j-2 %-2 x-2W2 (0y%-2)(x。-2V2) =2×2少++8-42-8%+22 (0%-2x。-2W2) 由点P在椭圆上，x2+2y%2=8 =2×16-42-8+22x山_424巨-2-22+ (%-2(x-2V2) (0%-2x。-2W2) _4W2。-2,-22=4W5 -2(x-2W2) …(11分) ②解：~Sww=S‰a-S边展Nw=SAB-4√2 即需求出S最大值即可 AB:x+√2y-22=0,椭圆三象限的点P到AB的距离d= k+2y。-22 3 ∴5ww=Ad=k+2%-2-k+2+25 x2+2y%2=8 (。+2,户=8+2，V2,s8++yE 2 (x。+√2y)2≤16 k+V2%-22s4+22此时x=√2%。，P(-2,-2) SB最大值为4+2√反△PMN面积最大值为4-22 …(17分) 注：此问也可用参数方程求解，的情给分 19.【解】(I)当a=0时，f(x)=e-x-1∴.f(x)=e-1 当x>0时，e>1,'(x)>0,∫(x)单调递增 当x<0时，e<1,∫'(x)<0,f(x)单调递减 f(x)2f0)=0得证 …(3分) ()法-：由f(x)=e'-ar2-x-1,∴∫'(x)=e-2ar-1,f"(x)=e-2a 国当a≤号时，x>0,c>1,">0,f单调递增.f>了0)=0， f(x)单调递增，∫()>f(0)=0,a≤5成立： ②当a>时，当xe0,n2a,8<0∫化)单调进减，fx)<f0)=0. ∴∫(x)单调递减，f(x)<f(0)=0,与条件矛盾，∴a>二不成立： C③扫描全能王 3亿人都在用的归墙AP 综上所述：a5方 …(8分) 法二：由>0，即a<--l成立，设u(=-- W=任-2e+x+2,设k)=K-2e+x+2.k'm=x-e+1 k“(x)=xe>0,k'(x)单调递增，k(x)>k'(O)=0,.k(x)单调递增 k(x)>k(0)=0即u(x)>0,∴u(x)单调递增，u(x)>u(0) e"-x-1 e'-1 e I 由洛必达法则1i四=in2-im吃7a5 …(8分) x-+0 x-+0 ()g=-1-2nx,则g6)=0-e2xl 设h(x)=xe-e-2x+l,则h(x)=xe-2,又因h(x)=(x+l)e>0 ∴.h(x)=xe-2在(0，+o)单调递增 又N(0)h(0)=(-2)×(e-2)<0 ÷3∈(0，)，使得h化)=0，即e= ① Xo 且x∈(0，x),h(x)<0,(x)单调递减：x∈(xl),h'(x)>0,h(x)单调递增 )m=AM)=x,e-e产-2年+1，由@得x)=3-2-2x<h0)=0 Xo 叉0=1s0=号0-2>0 3斯∈2使得()=0.即xe-e0-2x+1=0.即e=25二 -1 且xe(0,x).h(x)<0,g(x)单调递减：x∈(x,+∞)，h(x)>0,g(x)单调递增 .g(x)=g()=-1-2Inx= -1 -2Inx xe0,,gx)<g0=e-1 .(13分) 再设p(x)= -2lnx,易证p(x)在(0，+oo)单调递减 x-1 e0.ptx)也即86)大于o2-2月 3 要证2-21n2,2 220 ,即证n 317 23 240 又即证e西>2 由()间e>1+x+x2, 2 :e品>1++x2y=4842、4s00=3 =二得证 …(17分) 40240 32003200 ● C③扫描全能王 3亿人都在用的归播ApP