江苏省南京市协同体七校2024-2025学年高三上学期期中联合考试数学试题

南京市协同体七校2024-2025学年第一学期期中联合考试 高三数学试题 考试时间:120分钟 满分:150分 南京市第66中学 席青云 南京市文枢高级中学 漆光宗 命制 注意事项: 1. 本试卷所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分 2. 答题务必将自己姓名,准考证信息用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷答题卡上 第I卷(选择题共58分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合A-(xlogx<2).B-(xx>2),则AUB=( ) A.(0.2) B.(0,十) C.(2,+) D.(-,2) 2.若2-一1=i,则-() C A.2 B.1 D. 3. 已知向量a=(0,4).b=(3,6),c=(-1,6),若c-la+ub,则a+=( __ A.7 B C.- D.2 4. 已知n0. n0. 且m+r-1.则+的最小值为( _ A.12 B. 9 C. 6 D. 3 5. 已知直径为12的球内有一内接圆柱(圆柱上下底面圆在球面上),则圆柱体积的最大值 为( ) A.965n C.483t B. 96t D. 192t #知函数(x)-{2+1×>a [2r+4x<a. 6. 在R上单调递增,则实数a的取值范围是( ) A.(-1.3] B.(-,3] C.[3,+)D.(-.-][3.+) 7. 将一枚均匀的般子掷两次,记事件A为“第一次出现偶数点”,事件B为“两次出现的点数 和为9”,则下列结论中正确的是( _ A.P(uB)-# B. P(UB)=P()+P(B C.P(tBn-1 D. 4与B相互独立 高三数学试题共4页 第1页 Cs 扫描全能王 5亿人那在用日A{ 8. 已知/(x)是定义在R上的周期函数,周期T=1.且当xE0.1)时/(x)=x.若g(x)=k+b. 则下列结论中一定正确的是( _ A. k一1时,/(x)一g(x)可以有三个解 B. k-时./(x)-g(x)可以有三个解 ,! C. k-一1时,/(x)一g(x)可以有一个解 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9. 已知抛物线C:y一4x,直线l:y=kx一k与抛物线C交于P,O两点,分别过P.0两点 作抛物线准线的垂线PM,ON,垂足分别是M,N,下列说法正确的是( A. 直线/过抛物线C的焦点 B. 当k一1时,P,O两点模坐标的和为 C. 当k一1时,直线/截抛物线所得的弦长为8 D. 以AN为直径的圆与直线/相切 10. 已知正方体ABCD-A:B;C;D.点P满足B-1BC+uBB..1E[O.1].E[0.1].则下 列说法正确的是( ) A. 存在唯一一点P,使得过D,B,P的平面与正方体的截面是菱形 B. 存在唯一一点P,使得AP1平面BDC C. 存在无穷多个点P,使得AP//平面4CD D. 存在唯一一点P,使得DP1BC 11. 如果x服从二项分布B(n.p),当np>10且n(1一p)>10时,可以近似的认为x服从正态 分布Nu.}),据统计高中学生的近视率P一0.6,某校有600名高中学生.设X为该校 高中学生近视人数,且X服从正态分布M.).下列说法正确的是( (参考数据:Pu-<X<+)=0.682,Pu-2<X+2)=0.9545) A. 变量×服从正态分布M(360,144) B. /P(X>372)~0.159 C. P(X<384)=/P(X>348 D. P(X<384)~0.9773 第II卷(非选择题共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 在等差数列(a)中,a.=2n-1(nEN").则So=△. 13. 已知函数y=2sin(ax-)(c>0)在区间(o. )上有且仅有2个零点,则实数o的取值范 高三数学试题共4页 第2页 CS 扫描全能王 5亿人那在用日描A{ 围是△: 14. 已知e为自然对数的底数,若函数y=lnx十ax的最大值与函数y-e{-x的最小值相等 则实数a的值是△. 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 在△4BC中,角A, B. C所对的边长分别为a. b.c. 已知b=5. c=3, b=cosc-f (1)求乙A: (2)若D是BC中点:求AD的长度 16.(本题满分15分) 已知公差不为0的等差数列(a)的前n项和为S.S三35:g:a.gn成等比数列 (1)求(a)的通项公式 17.(本题满分15分) 如图,在四校锥P一ABCD中,PA1面ABCD.四边形ABCD是社形,sB//DC.AC1BD P4=MC=3,DC-24B-4 (1)求证:平面PC1.平面PBD. (2)求二面角D一PC一B的正弦值 , (第17题) 高三数学试题共4页 第3页 CS 扫描全能王 3亿人那在用的目{ 18.(本题满分17分) 己知函数f(x)--(a+1)x+alnx,aER. (1)若a=一1,求函数fx)在x=1处的切线方程 (2)讨论函数/(x)的单调性 (3)若函数y=(x)+(a十1)x的最小值为0,求a的值 19.(本题满分17分) 已知圆C.+-1(a>b>0)的短轴长为2, 离心率为2,A. B分别是圆C的 上下项点,过A作两条互相垂直的直线AP,4O,分别交圆C于P.0两点. (1)求圆C的标准方程: (2)求证:直线PQ恒过定点; (3)求△APO面积的最大值 高三数学试题共4页 第4页 CS 扫描全能王 3亿入那在用的日描A{ 南京市协同体七校2024-2025学年第一学期期中联合考试 高三数学参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. B 2. C 4.B 5. A 6. C 7. D 3.B 8. B 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9. ACD 10. BD 11. ABD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 13.# 12. 400 14.- 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 解:(1)方法一: 因为b-acosc-. 由正弦定理得:sinB-sinAcosC-sinC. ............ 又 sinB=sinAcosC+coslsinC. ,又因为在△ABC中,所以A-2” .............. 方法二: 2+25-93 2 解得a2-49 .............. 所以cos-25+9-49 2x5X3 ............... (2)方法一: 在△ABC中,D是BC中点,所以A-4+4 ........ 高三数学考答案.页 CS 扫描全能王 5亿人那在用日描A =AB-+BAC+×9+3X5(+25-9 ......... 方法二: 由(1)方法二,知a=7. 2)+AD--9 在△ABD中由余弦定理有:cos乙ADB-2 2D #2)+AD-25 在△ABD中由余弦定理有:cos乙ADC一- 2ADx .......... 因为 ADB+乙ADC=π 2+AD:-9 2)+AD-25 所以cos ADB=-cos乙ADC,即 24D #24D} ........... 16. (本题满分15分) 又因为aì:a:au成等比数列,所以a?=a:xau. ($+3)=a(a+12d).9d=6a $d$ 又因为d:0,所以3d-2a .............. 所以a=3,d-2 所以a.=2n+1 ............. (2)由题意:2-1+1 am a1 an .............. 方法一: 22n+4 2m+16n+3 -- 2页 Cs 扫描全能王 3亿入那在用的日描A{ n+2 .................. n十2 因为m<n且m,nEN',所以m=2,n=7 .........1.分. 方法二: # 所以 _{. ..............分. 又mEN',所以m=1或m=2 当m=1时,n=1,与m<n矛盾, 当m=2时,n=7,符合条件, 所以m-2.n-7 .......... 17.(本题满分15分) (1)证明:因为PA1.面ABCD,BDCABCD,所以P41.BD ....2分 又因为AC1BD. PAOAC=A, PACPAC. ACCPAC 所以BD1PAC ............... 又因为BD一PBD,所以平面P4C1平面PBD ......分.. (2)法一:作AE1DC交DC于E,以点A为坐标原点AE为x轴,AB为y轴如图建 空间直角坐标系,设ACOBD一M 因为AB//DC,所以△ABM△CDM. 又AB=2,DC-4.AC-3 所以AM=1,MC-2 又因为AC1BD. 所以BM-3,DM-23 故P(o.0.3).3.0. D7.-0). 80.20. (第17题) ........ 所以c-. -3).)Cc(0. 0.inc→).-.0 设面PDC一个法向量为n=(x.y,=) 而 CS 扫描全能王 5亿人那在用日A{ 以-1:0. P. 所以n...........1分 #l4y=。 设面PBC一个法向量为n=(x2.y2.) ,所以..1.3.为........1.分 600 所以sino-3105 35 ............... 法二:设ACOBD=O,又因为AC1BD,以点O为坐标原点,OD为x轴,OC为 y轴如图建立空间直角坐标系 因为AB/IDC,所以△ABO△CDO. 又因为AB-2,DC=4.AC=3 所以A0-1,OC-2 又因为AC1BD. 所以BO-3.DO-23 故P(0.-1.3).C(0,2.0). D(23.0.0).B(-3.0.0) 所以PC-(0,3,-3). cD-(-23.2.0). BC.V.2. 0).....分 (第17题) 设面PDC一个法向量为n=(x1.y,i) 所以{ .(3y-3--0 3-2x+2y-0 所以n-(1,,3) ............... 设面PBC一个法向量为n=(x2,y.=2) 所以:200 [3-3--0 所以n:-(2,-.- ............ 60 所以sino-31o5 ............. 高数学考案) 4页 CS 扫描全能王 3亿入那在用日描A{ 18.(本题满分17分) 解:(1)当a=-1时,)-nr,).#()=-,所以/(1)=0. 所以切线方程为y-1 ..............分. (2)/'r)x-(a+)+-(a+1)+a_(r-1)r-a) (x>0) ....... x 若a<0,则xE(0,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减,xE(1,+co)时f'x)>0,f(x)单调 递增: ........... 若0<a<1,则xE(0,a)时f'(x)>0,f(x)单调递增,xE(a,1)时f'(x)<0,f(x)单 调递减,xE(1,+)时/(x)>0,/(x)单调递增 ............ 若a=1,则xE(0,+o)时/’(x)>0,/(x)单调递增 ........分. 若a>1,则xE(0,1)时f'(x)>0.f(x)单调递增,xE(1,a)时f'(x)<0,f(x)单调递 减,xE(a,十oo)时f'(x)>0,/(x)单调递增 .......1.. (3)令h(x)-(x)+(a+1)x-+alnx, #(x)-x+_+a ,(x>0). xx ..............分. 当a0时,r(x)>0,故无最小值 .........分. 所以a<o,由rh(x)-o得x--a. 所以xE(0,-a)时(x)<0,(x)单调递减,xE(-a,+c)时(x)>0,h(x)单 调递增单增. 所以h(x)mn=)(V-a)--+aln-=o. 所以ln(-a)=1,a=-c. ................. 19.(本题满分17分) 己知圆C: 上下顶点,过A作两条互相垂直的直线4P,4O,分别交圆C于P,0两点 (1)求树圆C的标准方程; (2)求证:直线PO恒过定点 (3)求△APO面积的最大值 (1)解:因为26=2,f-2-2,又a-6-+c 解得:a-3,b-,c-3 ................ 高三数学考答案。页 CS 扫描全能王 3亿人郡在用的目描 故圆的标准方程为: .......................分 (2)证明: 方法一: 当POIx轴时,4P,40不可能垂直, 故可设直线PO方程为:y=c+n y=+n 得(1+9k)x?+18knx+9n?-9=0. 设P(x..y).O(x.y) x1x= 9r2-9 1+9 ................ 所以,P=(xi.y-).P=(x2.-),又因为PA1PB,所以PP= 即xx+(y-1)-1)=0即:xx+(kx;+n-1)(kx+n-1=0 所以,xx+kxx+k(n-1)(x.+x)+(n-1)=o 代入可得: 1+92 1+92 1+92 1+92 整理:10r2-2n-8=0,所以:n=1(舍)或n-- ................... 所以直线PQ过定点(0,-). .................. 方法二: 显然AP,AO均不可能与坐标轴垂直,故可设AP:y一十1(k去0) 得(1+9k2)x2+18kx-0 设P(x.y).Q(x2.y) 所以:x--18 1-9 1+9 1+9. .................. 因为AP,A0互相垂直,同理得x-918. 18 ................. 100 直线PQ的方程为:y- 1+92-- ........1.分 。C。。C (3)方法一: )△ CS 扫描全能王 3亿人郡在用的目描