浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（全年级+外高班使用）

北仑中学2024学年第一学期高二年级期中考试数学试卷 （全年级+外高班使用） 命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线的焦点到准线的距离是 （ ） A． B． C． D． 2．若点在圆：外，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 （ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆，设点的轨迹为曲线，已知点与点，则的最小值为 （ ） A． B． C． D． 6．已知递增的等差数列的前项和为，，，则 （ ） A．70 B．80 C．90 D．100 7．已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为 （ ） A． B． C． D． 8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 10．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ） A． B． C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点 11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A．平面截正方体所得截面为六边形 B．点G到平面的距离为定值 C．若，且，则G为棱的中点 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为 . 13．已知实数满足，则的最大值为 . 14．已知点A，B为椭圆上的两个动点，点O为坐标原点，直线与的斜率之积为，x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，则此定值为 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的 面积的最大值． 17．设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 18．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 19．已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． (1)求双曲线：的离心率； (2)将(1)中的曲线绕原点顺时针转，得到曲线，求曲线的方程; (3)已知点是(2)中曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$