浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一上学期期中考试1班数学试题

北仑中学2024学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 (1班使用) 命题: 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，， 设，，则（     ） A． B． C． D． 2．函数的部分图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知角，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图， 的边，，则原中角A的角平分线 长度是（     ）    A． B． C． D． 6．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4． 已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发， 绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动 的最短路径长为（     ） A． B．6 C． D． 7．已知，则角所在的区间可能是（     ） A． B． C． D． 8．已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”） 所围成的几何体. 如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧 所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与 圆弧相切. 已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行 于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则 （     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数. 人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解. 引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决. 设是方程的根，则（     ） A． B． C．是该方程的根 D．是该方程的根 10．函数在一个周期内的图象如图所示，则（     ） A．该函数的解析式为 B．该函数图象的对称轴方程为， C．该函数的单调递增区间是， D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象 11．如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行. 已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法. 则（     ）（参考数据：）    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数满足:，则 . 13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 14．若，则 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．已知的内角的对应边分别为，且. (1) 求角A； (2) 若的面积为，周长为15，求. 16．如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1. (1) 在四面体中，求顶点到底面的距离； (2) 如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 17．已知函数. (1)求的值域； (2)求在上所有实数根的和. 18．如图，在平行四边形中，，，，为中点，且. 设，. (1) 当时，用，表示，； (2) 若，求实数的值； (3) 求的取值范围. 19．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值. 由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1) 若，求出，； (2) 如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C D A C D ABD ACD 题号 11 答案 AB 12．3 13． 14． 15．(1); (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 则，即． 在中，，故．因为，所以． （2）因为的面积为，所以，得． 由余弦定理得，则． 又，所以，解得． 16．(1); (2)12个顶点，24条棱，共14个面，表面积为，体积为 【详解】（1）设点到底面的距离为，则， 即，得； （2）将正方体按照题设的方法截去八个“角”后如图所示，其有12个顶点，24条棱，共14个面，其中6个面是以为边长的正方形，8个面是以为边长的正三角形， 故其表面积为； 体积为.    17．(1); (2) 【详解】（1）， 因为的值域为，所以的值域为. （2）由，得， 画出在上的图象如图，   与有4个交点，4个交点中有两对交点均关于对称， 令，解得， 故4个实数根之和为. 18．(1)，; (2); (3) 【详解】（1）  . （2）若，则，因为，，， 则，所以. （3））由题意，得 ，， 当时，的最大值为，当时，最小值为，所以. 19．(1)，; (2)（ⅰ）存在，，（ⅱ）的范围为. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，， （2）设，，则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以， （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以，所以，又， 所以，所以的范围为. 答案第2页，共3页 答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$