江西省萍乡市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

萍乡市2024一2025学年度第一学期期中考试·高三数学 参考答案、提示及评分细则 1一1 (1-i)2 1.C=1中D1-D=-i,所以：=1.故选C. 2BA={女>0=x1<<,B=u=lna-21={xr<号}因为AnB=xl1<r<2,所以受=2， 则a=4.故选B 3.A①若Ca,a史a,则“a∥b”→“a∥a”,反之，“a∥a”推不出“a∥b”,所以“a∥b”是“a∥a”的充分不必要条件，故①是真 命题.②若Ca,a中a,则“a⊥a”→“a⊥b”,反之，“a⊥b”推不出“a⊥a”,所以“a⊥b”是“a⊥a”的必要不充分条件，故②是 真命题.故选A 4.Af(x)= 2s的定义域为R,由仪一)=，20二、=，2=x),得f田为偶函数，放排除B. n(e+) (e+。)(e+)】 C:又f(受)=0，故排除D,故选A 5D因为a,9e(o,受)，所以a十gE(0,x.所以ma=号s(a十0=气，所以m月=sn[a+)-a] sina+osa一ms(a+msna-号×是-(-号)×号-38，放选D 15 6.D由(a-b)⊥b,得(a-b)·b=(m十1,1)·(-1.2)=-(m十1)+2=0，解得m=1,所以a=(1,3),所以b在a 上的般影向量为。·合-后×布1)-（侵号）故选D 7.B作出函数f(x)的大致图象，如图所示，因为函数g(x)=[∫(x)]一2(m十2)f(x)+ 4m恰有5个零点，所以方程[f(x)]一2(m十2)f(x)十4n=0有5个根.设t= f(x),则方程化为一2(m十2)1十4m=0,易知此方程有两个不等的实根1，t2,结合 f(x)的图象可知，t∈(0,1]，2∈(1，十∞)，令h(1)=r一2(m十2)1+4m,则由二次 210 △=4(n+2)2-16>0, 函数的零点的分布情况得：h(0)>0, 解得0<m<号.故选R h(1)≤0， 8.C设等比数列{an}的公比为g,依题意，4a2十a4=4aa,又a1=2,可得g一4g十4=0，解得q=2,所以aw=2",所以b.= g十2(-.当为假数时，由人放，得2十2<(21-2》.所以心产号=专十22对任意的得数n成 立，因为y一号十232单调递减.所以当0=2时取最大值，放2心十2321：当a为奇数时，由么<仙1，得2 -2<(2十2.所以心子-令一22对任意的奇数n成立，国为y合22单调通增，故≥分综 上，A>1.故选C 【高三第一学期期中考试·数学参考答案第1页（共6页）】 9.BC对于A,因为0<c<1<b<a,所以指数函数f(x)=在R上为碱函数，所以f(a)<f(b),即<，故A错误：对 于B,因为幂函数g(x)=x在(0，十∞)上为增函数，所以g(a)>g(b),即u>b,故B正确：对于C,因为b>1,所以 log时0.n万>0，所以og时<万，故C正确：对于D.取c=开，b-,可得tanc=1,anb=-1,不满足tanc<anb,故 D错误.故选BC. 10.ABD由题知，fx)的最小正周期为T=2×乏=，所以u=2,所以f(x)=sin(2x十9)，又f(x)的图象关于点 (学，0)对称，所以2x受+9=，即g=k红一经，k∈么.因为0<g<,所以9=子，故fx)=im(2x+要).令受< 2+<受，解得-吾<r瓷，故)在(o,爱)上单调递减，故A正确：g)=(x一吾)=血(2r+号），令2z 十晋=受十k,得x=音十受，k∈乙，所以g(x)在区间（一管，晋）上有两个极值点一受和受，故B正确：因为 (一吾)=如吾-号k(一吾)=血0=0≠（一吾）所以)的图象与g)的图象不关于直线x=一吾对称。 故C错误：)=2c0s(2x+),令了(x)=-1,解得x=标或x=吾+kk∈Z,故曲线y=)在点(0，)处的 切线斜率为k=y1-=20s等=-1，故切线方程为y一号=-x,即2r+2y一3=0，故D正确故选ABD, 11.AD因为函数f(x)的定义域为R,g(x+2)的图象关于直线x=一2对称，通过整体向右平移2个单位长度，所以 g(x)关于x=0对称，为偶函数，又g(x)在区间（一∞，0们上单调递减，所以g(x)在区间(0，十∞）上单调递增.易知函数 f(x)=x+2x2+3.x在R上单调递增，又f(一x)=一f(x),所以f(x)是R上的奇函数.对于A,由于g(f(一x)= g(一f八x)=g(f(x)),所以g(f(x)为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故A正确：对于B,f(g(一x)=f(g(x), 所以f(g(x)为偶函数，易知f八g(x)=0不恒成立，所以f(g(x)的图象不关于原点对称，故B错误：对于C,易知 g(f(x)在区间（一∞，0们上单调递减，在区间(0，十o)上单调递增，且g(f(x)为偶函数，由g(f(x2十2x十3）)> g(f(a-2)恒成立，得x+2x+3>a-2恒成立，又x2+2x十3=(x+1)+2≥2，所以|a-21<2,解得0<a<4, 故C错误：对于D,令(x)=h工，则(r)=1-h工，当0<re时，(x>0,所以h(x)在区间(0，e)上单调递增， x 所以h(2)>h(5),即2D,即3n2>2n3=1n3>0,所以g(5in2)>gn3),所以f(g5in2)> 23 f(g(ln3)),故D正确.故选AD. 1212因为1=+号>≥2√日·，所以6>12，当且仅当日=甲=26=6时等号成立，所以的最小值 为12. 13.1042m如图，在正四棱台ABCD-EFGH中，EF=2,AB=6,EQ,OM分别为侧 3 面上的高以及棱台的高，则EQ=2√3，在等腰梯形ABFE中，EA=VEQ十AQ= √(2√/3)+22=4，等腰梯形AEGC中，过E作EN⊥AC,垂足为N,所以OM=EN=A 【高三第一学期期中考试·数学参考答案第2页（共6页）】 VAE-AN=√AE-(ACC)-V16-(2w2)=2反，所以该正四棱台的体积为号×(2+6+2×6× 2 2疗-102am,即所需铁水的体积为0亚。m. 3 14.[32-4,之）m=ostg生9气n0D_@s0+si血nc22一4osn0,令r=ms0+sin. (cos 0+sin 0+1) (cos 0+sin 0+1)2 则a0且m宁浙少-带清品 (x+1) 因为f代)千一1是1W2]上的减函数，所以f2)≤m<f1D,即m∈[3V2-4,)片 15.(1)证明：如图，取DD1的中点G,连接AG,GF, 则CD∥GF,CD=GF, 1分 在正方体ABCD-A:B,CD中，CD∥AB,CD=AB, 所以AB∥GF,AB=GF,… 2分 所以四边形ABFG是平行四边形，所以AG∥BF, 3分 因为AE=DG,AE∥D,G, 所以四边形AED,G是平行四边形，所以AG∥ED, 4分 所以BF∥ED,… …5分 所以E,B,F,D四点共面.… …6分 (2)解：如图，延长DE交DA的延长线于点M,延长DF交DC的延长 线于点V,连接BD,BD,MN,则点B在MN上 不妨设正方体ABCD-ABCD1的棱长为2， 则DM=DN=4,BD=BM=BN=2√2，DM=DN=25,BD=23, 所以B是MN的中点，…9分 所以BD⊥MN,BD⊥MN,…10分 所以∠DBD,是平面EBFD,与平面ABCD的夹角. …11分 因为DD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 所以DD⊥BD,… 12分 所秋血DD-品-品-得 13分 16.解：0因为osB=号∠D=2∠B, 所以cosD=0os2B=20sB-1=-号， 2分 在△4CD中，由余弦定理得AC=AD+CD-2AD·CD·osD=1+9-2X1×3×(-号)=12. 所以AC=25.… …4分 【高三第一学期期中考试·数学参考答案第3页（共6页）】 在△ABC中，由余弦定理得cosB=AB+BCAC_AB+6-12_区 2AB·BC 2√6AB 3 所以AB一2√2AB-6=0,解得AB=32, …7分 所以四边形ABCD的周长为3√2十√6十4，… 8分 （②)因为osB-号.所以血B= 3 …9分 所以S△AM= AB·BC·mB=吉X32X5×6 =3/2,…11分 因为cosD=- 12分 所以S△D= 2ADCD·sinD=2×1X3×22-2. 2 3 14分 所以四边形ABCD的面积为32+√2=4V2. 15分 17.(1)解：因为a1=1,aw>0,且ai+1=S+1+S, 所以ai=S:十S=21十a2,解得a2=2, 2分 当n≥2时，由a+1=Sa+1十Sw,可得a2=S十S.1: 两式相减可得a话+1一a=(S+1一S,)十(Sm一Sw-1)=a+1十a4, 所以(an+1一an)(ar+1十aw）=an+1十aw,… 4分 因为aw>0,所以a+1一an=1,… …5分 且a-a1=1, 所以{an}是首项和公差均为1的等差数列，即有an=1十n一1=n.… …7分 (2)证明：6=品=n·(号) 8分 所以T.=1×(号)”+2x(号)广+3x(号)》广++-D·(号)》+（号） 号工.=1x(号）广+2x(号)》+3x(号)广'++m-D(号)厂+（号）”， 两式相减得号工，=1+（兮）广+（号）广+…+（兮）+（兮）尸-…（号）】 12分 .9 2m+3 所以T。=41X3, 14分 因为欲是>0，所以工<是 15分 【高三第一学期期中考试·数学参考答案第4页（共6页）】 18.()证明：(x)=一1-lnx十1的定义域为(0，十o0),…1分 所以了()=士-1号，令)=0，解得x=1,… …2分 当0x<1时，(x)>0,f(x)单调递增：当x>1时，(x)<0,f(x)单调递减，…3分 又(1)=0，所以曲线f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=0,即f(x)的图象与x轴相切.…4分 (2)解：(1)g(x)=fx)+ae-1=--nx+ae (r)e (-D+11ae-D(-D (2)...... x2 …5分 当0<a<。时，由g'(x)>0,解得0<r<1或x>-ha:由g'(x)<0,解得1<x<-ha… 所以函数g(x)在(0，])和（一na,十o∞）上单调递增，在(1，一lna)上单凋递减：…6分 当是<a<1时，由g(x)>0解得0<r<-ha或x>l:由g'(x)<0,解得-lna<r<1 所以函数g(.x)在(0，一lna)和(1，十c∞)上单调递增，在（一lna,1)上单调递减：…7分 当a=1时，由g(.x)≥0，得函数g(x)在(0，十o)上单调递增：…8分 当a≥1时，由g'(x)>0,解得x>1:由g'(x)<0,解得0<x1, 所以函数g(x)在(1，十6∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减。……9分 综上，当0<a<名时，函数)的单调增区间为(0,1D和(-na,十o∞)，减区间为，-na:当。<a<时，函数 g(x)的单调增区间为(0，-lna)和(1，十o∞)，减区间为(-lna,l):当a=上时，函数g(x)的单调增区间为(0，十o∞) 无减区间：当a≥1时，函数g(x)的单调增区间为(1，十o∞)，减区间为(0,1).…10分 (i)g)长1-x一在1，十o∞)上恒成立可转化为u<nD。 e 设h(x)=nx+1D工，则(x)=n+2)(1-2 12分 e e 令g(x)=lnx-x+2(x>1),则g(x)=1二1<0， 所以函数(x)在(1，十o○)上单调递减， 又g(e)=3-e>0,g(e)=4一e<0,则函数g(x)在(e,e)内存在唯一的零点xo, 当x∈(1，x)时，(x)>0,h'(x)<0,h(x)单调递减：当x∈(x,十oo)时，g(x)<0,h'(x)>0,h(x)单调递增， 小…1小分 又e(x0)=lno-x十2=0，得x=eo-2, 则h(x)m=h()=n二+1)x=-4=-2 e …16分 所以a≤一己，即实数a的取值范围为（一©，一专] …17分 【高三第一学期期中考试·数学参考答案第5页（共6页）】 19.解：(1)因为PD⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以PD⊥CD,所以an∠DCP=5,则∠DCP=号 …1分 因为PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PD⊥BC,… 2分 又BC⊥CD,PD∩CD=D,所以BCL平面PCD,… …3分 又PCC平面PCD,所以BCLPC.即∠PCB=受，… …4分 由离散曲率的定义得=1一云（☑DCB+∠PCB+∠DCP)=1云（受+受+号）-号 …5分 (2)同(1)可证，AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,设四棱锥P-ABCD的表面积为S1, 则S1=S△PD十S△D十S△PAB十S△x十SE方MD=2S△D十2S△PW十SE方形AD =2×号×2X23+2x号×2X4+2=4+12.… …7分 设四按锥P-ABCD的内切球的半径为r则m=号Sm·PD=号S· 所以=S左gm·PD-2空X25=3-1, …9分 43+12 所以四棱锥P-ABCD内切球的表面积S:=4π2=(16一85)元，…10分 (3)如图，过Q点作QG∥PD交BD于点G,连接CG, 因为PD⊥平面ABCD,所以QG1平面ABCD, 则∠GCQ为直线CQ与平面ABCD所成的角。…12分 易知，当Q与B重合时，∠GCQ=0:…13分 当Q与B不重合时，设BG=x(0<x≤2V2),在△BCG中，由余弦定理得C=BC+BG D从 2BC.BGos∠DBC=4+-2·2·r.号=E-2w2r+4, 2 因为QG/PD.所以△BGQ△BDP,所以品-品则QGG2P- BD 2, 3 3 所以tam∠GCQ-9g 0-x-22x+41-22+4 (2)+2 …15分 当分母(2-号)'+号最小时，am∠GCQ最大.即∠GCQ最大此时r=22(Q与P重合， 由am∠GQ<3.得an∠GCQ<3,即∠GQ<吾， 所以∠GCQ的最大值为行，… 16分 所以直线CQ与平面ABCD所成角的取值范围为[0，号] …17分 【高三第一学期期中考试·数学参考答案第6页（共6页）】萍乡市2024-2025学年度第一学期期中考试 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超 出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范国：高考范围（不含空间向量，平面解析几何，概率与统计）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数之满足二-1+i,则|z- A.√2 B.5 C.1 D.2 2已知集合A={z>0B={zy=lh(a-2x1,若AnB={xl1<x<2,则a= A.6 B.4 C.-6 D.-4 3.已知直线a,b与平面a满足bCa,a￠a,对于下列两个命题：①“a∥b”是“a∥a”的充分不必要条件： ②“a⊥b”是“a⊥a”的必要不充分条件，判断正确的是 A①，②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 D.①，②都是假命题 2cos x 4.函数f(x)= -的部分图象大致为 In(e+ 5.已知agc(0,受)，且ima=号，cos(a+=-号，则sing= A.8-35 B66-8 C.12-25 D35+8 15 15 15 15 6.已知平面向量a=(m,3),b=(一1,2)，m∈R,若(a一b)⊥b,则b在a上的投影向量为 A(1,2) B.(1,3) c(-2) n(合，) 【高三第一学期期中考试·数学第1页（共4页）】 ▣茅 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 |1ogx|,x>0, 7.已知函数f(x)= 若函数g(x)=[f(x)]2-2(m+2)f(x)十4m恰有5个零点，则实 3,x≤0， 数m的取值范围是 A.(0,1] B(,] C.[1,+o∞) D.(号，+∞) 8.已知数列{an}是等比数列，且a1=2,4a2,2a3,a4成等差数列.若bn=a,十2·（一1）”，且bn<ab+1对任 意n∈N'恒成立，则实数A的取值范围是 A(0,1) B(合) C.(1,+∞) n[2,t∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知实数a,b,c满足0<c<1<b<a,则 A.c B.ab C.logb</6 D.tan c<tan b 10.若函数f(x)=sin(wx十p)(aw>0,0<p<x)图象的两相邻对称轴间的距离为牙，且图象关于点 (,0）中心对称，将f(x)的图象向右平移答个单位长度得到函数g(x)的图象，则 A(x)在区间(0，)上单调递减 Bg()在区间（一爱，吾）上有两个极值点 Cf(x)的图象与g(x)的图象关于直线x=一吾对称 D.直线2x十2y-3=0是曲线y=f(x)的切线 11.已知函数f(x)=x5十2x3+3x,函数g(x)的定义域为R,且g(x)在区间（一∞，0]上单调递诚，若 g(x十2)的图象关于直线x=一2对称，则 Ag(f(x)的图象关于y轴对称 B.f(g(x)的图象关于原点对称 C.若g(f(x2+2x+3)>g(f(a-2)恒成立，则a<0或a>4 D.f(g(/3In 2))>f(g(In 3)) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知正数a,6满足君+号-1，则ab的最小值为 13.用铁水灌注上、下底面的边长分别为2cm和6cm的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为2√3cm,则 所需铁水的体积为·（灌注过程中铁水无额外损耗） 14.设0<9<受，且cos9+sin0+(cos6-sin6)2=m(cos0+sin0+1),则实数m的取值范围是 【高三第一学期期中考试·数学第2页（共4页）】 ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，在正方体ABCD-A1BCD中，E,F分别是棱AA1,CC1的中点. (1)证明：E,B,F,D四点共面； D (2)求平面EBFD,与平面ABCD夹角的正弦值. 16.(本小题满分15分) 如图，在平面四边形ABCD中，∠D=2∠B,CD=3AD=3,BC=√6，cosB= 3 (1)求四边形ABCD的周长； (2)求四边形ABCD的面积. 17.(本小题满分15分) 已知首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sm,且a品+1=S+1十Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2②)设6，=写品，记数列6，)的前n项和为T,证明：工，<是 【高三第一学期期中考试·数学第3页（共4页）】 。夸克扫描王 口▣ 极速扫描，就是高效 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=一1-lhx+1. (1)证明：f(x)的图象与x轴相切； (2)设g(x)=fx)+ag-1(a∈R). (1)当a>0时，求函数g(x)的单调区间： (i)若gx)≤1-x一在1，十o∞)上恒成立，求实数a的取值范围。 19.(本小题满分17分) 定义：多面体M在点P处的离散曲率为D,=1-会（∠QPQ十∠QPQ十…十∠Q-1PQ十 ∠QPQ1),其中P为多面体M的一个顶点，Q(i=1,2,…,k,k≥3且k∈N)为多面体M的所有与 点P相邻的顶点，且平面QPQ,平面Q2PQ,,平面Q-1PQ和平面QPQ1为多面体M的所有 以P为公共点的面.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，CD=2, DP=23, (1)求四棱锥P-ABCD在顶点C处的离散曲率； (2)求四棱锥P-ABCD内切球的表面积； (3)若Q是棱PB上的一个动点，求直线CQ与平面ABCD所成角的取值范围. 【高三第一学期期中考试·数学第4页（共4页）】 。夸克扫描王 口▣ 极速扫描，就是高效