北京市第十五中学2024～2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

2024-2025学年度第一学期北京市第十五中学九年级数学期中试卷 （时间：120分钟） 一、选择题（共16分，每题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A. （1，5） B. （2，1） C. （2，5） D. （﹣1，5） 2. 下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 等弧所对的弦相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 同弧或等弧所对的圆周角相等 D. 的圆周角所对的弦是直径 4. 下列关于函数的结论中，正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 5. 小敏注意到中国文化遗产标志（如图）内的图案源自商周太阳神鸟金饰，图案分内外两层，内层等距分布着十二条弧形齿状芒饰，外层图案由四只等距分布作引颈飞翔状的鸟构成，整个图案仿佛四只神鸟裹着一只大火球顺时针滚转，暗示着太阳东升西落.如右下图，内层每条弧形齿状芒饰可以绕圆心O旋转得到，则图中角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（　） A. B. C. D. 7. 如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A. 110° B. 130° C. 140° D. 160° 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为______． 10. 一元二次方程的根是______． 11. 已知的半径为4，若点P在内，则______4（填“”“”或“”） 12. 写出一个开口向下且过的抛物线的表达式______． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 14. 如图，，是的两条切线，切点为，，若，，则的半径为_________________． 15. 点P到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为_______． 16. 已知一次函数和二次函数的部分自变量和对应的函数值如下表： x … 1 2 3 4 5 … … 0 1 2 3 4 … … 0 0 3 8 … （1）二次函数的表达式为___________； （2）关于x的不等式的解集是___________． 三、解答题（共68分，17-22每题5分，23-26每题6分，27-28每题7分） 17. 解方程x2﹣4x+1=0． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程. 已知：直线及直线外一点P. 求作：直线，使. 作法：如图， ①在直线上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线于两点； ②连接，以B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q； ③作直线. 所以直线就是所求作的直线. 根据小明设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：连接， ∵， ∴__________. ∴（______________）（填推理的依据）. ∴（_____________）（填推理的依据）. 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点为． （1）________； （2）画出函数的图像； （3）当时，结合函数图像直接写出的取值范围． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值． 22. 如图所示，在⊙中，半径弦，垂足为，，．求⊙半径的长． 23. 已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1． （1）根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点 　 　． （2）请在图中画出△A1B1C1； （3）请具体描述一下这个旋转：　 　． 24. 如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 阅读理解： 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表： … … … … 其中______； （2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）根据函数图象，回答下列问题： ①当时，则y的取值范围为______． ②直线经过点，若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是______． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线． （1）求t的值； （2）已知，是该抛物线上的任意两点，对于，，都有，求m的取值范围． 27. 如图1，在中，，，点，分别在边上，，连接，点，，分别为的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 28. 在平面直角坐标系xOy中，给定⊙C，若将线段AB绕原点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°），使得旋转后对应的线段A′B′所在直线与⊙C相切，并且切点P在线段A′B′上，则称线段AB是⊙C的旋转切线段，其中满足题意的最小的α称为关于⊙C和线段AB的最小旋转角． 已知C（0，2），⊙C的半径为1． （1）如图1，A（2，0），线段OA是⊙C的旋转切线段，写出关于⊙C和线段OA的最小旋转角为　 　°； （2）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙C的旋转切线段是　 　； （3）已知B（1，0），D（t，0），若线段BD是⊙C的旋转切线段，求t的取值范围； （4）已知点M的横坐标为m，存在以M为端点，长度为的线段是⊙C的旋转切线段，直接写出m的取值范围． 2024-2025学年度第一学期北京市第十五中学九年级数学期中试卷 （时间：120分钟） 一、选择题（共16分，每题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】答案不唯一，例如： 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】或##1或4 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（共68分，17-22每题5分，23-26每题6分，27-28每题7分） 【17题答案】 【答案】x1=2+，x2=2-. 【18题答案】 【答案】（1） （2）先向右平移1个单位长度、再向上平移4个单位长度或先向上平移4个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可） 【19题答案】 【答案】 （1）如图所示： （2），等弧所对的圆周角相等内错角相等，两直线平行. 【20题答案】 【答案】（1） （2） 解：如图所示： ； （3） 【21题答案】 【答案】（1） 证明：根据题意，， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根. （2） 或 【22题答案】 【答案】10 【23题答案】 【答案】（1）O1； （2） 解：如图所示，△A1B1C1即为所求． （3） 将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A1B1C1． 【24题答案】 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ， ， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ． 与相切于点， ， 又是的半径， 是的切线． （2）6 【25题答案】 【答案】（1） （2） 如下图所示： （3）①；② 【26题答案】 【答案】（1）1 （2） 【27题答案】 【答案】（1）， （2）是等腰直角三角形， 理由如下： 由旋转知，． ，， ∴， ∴，， 利用三角形的中位线得，，， ∴， ∴是等腰三角形． 同（1）的方法得， ∴． 同（1）的方法得，， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3） 【28题答案】 【答案】（1）60°； （2），； （3）； （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $