福建省多校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题

绝密★启用前 2024~2025学年高三11月测评（福建） 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1,答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={x|x2-2.x-3≤0}，B={xy=√x-I},则(CRB)∩A= A.[-1,1] B.[-1,1) C.[-3,1] D.[-3,1) 2.若复数≈满足1一之=2+iz,则复数之在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若a和b是两个互不相等的正实数，则“a十b=2”是“1ogb<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知a,b是两个非零平面向量，a⊥(3b一2a),则b在a方向上的投影向量为 A.a 5.在平面直角坐标系中，将角a的终边顺时针旋转工后经过点(1，一2)，则sina= A.10 10 B.-1o D.-3I0 10 c38 10 6.定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)十g(x)=2+1,若函数h(x)=g(x)一 2mf(x)(m∈R)的最小值为一12，则m= A.1 B.3 C.2√2 D.-22 【高三数学第1页（共4页）】 FJ 7.数列{a,}是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为S.b,= 数列{b.}的前n项和，则T。 A19器 2809 C.o 8删 8.函数f(x)的定义域为(0，+o),f(x)为f(x)的导函数，满足2(f(x)十x2)=x(f(x)十x), )=-多，则/)的最小值为 A.-e B.e C.-e2 n-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数最小值为4的是 A.y=x2-2.x+3 B.y=2+22- 1 C.y-sin cos D.y=2log,a+log.4(a>1) 10.已知函数f.x)=2sin(2wx+)(w>0),则下列说法正确的是 A.当0=1时，f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)过定点(0,1) C.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数h(x)的图象，若函数h(x)是偶 函数，则的最小值为号 D.函数g)=)-5在区间[0，]上恰有5个零点，则。的取值范围为[是，) 11.已知正方体ABCD-A,BCD1的棱长为2，E,F,G分别是A,D,DD1,CD的中点，点P 为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是 A.△EFG的面积为号 B.三棱锥P-EFG体积的最大值为是 C.若A,P∥平面EFG,则点P的轨迹长度为6√2 D,当点P为BC的中点时，P到直线A,C的距离为3y区 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数f(x)= 2-7+13,x>1则f1) 2,x≤1 13.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足sin2A=sinC,a=2,c=1,则b= 14.记数列a.的前m项和为S若对任意的正整数，函数/x)=号+lnx-(a,十2)x均存 在两个极值点x1,x2,且满足x2一x1=(n十1)a.,则S。= 【高三数学第2页（共4页）】 FJ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{am}的前n项和为Sm,若2a6一a3=9,S,=15. (1)求数列{a.}的通项公式an及前n项和S.: (2)若b.=2m·a+1,求数列{bn}的前n项和Tm 16.(本小题满分15分) 如图所示，C,D分别为半圆锥PAB的底面半圆弧上的两个三等分点，O为AB中点，E为母 线PB的中点. (1)证明：DE∥平面PAC: (2)若△PAB为等边三角形，求平面PAB与平面PAD的夹角的余 弦值. 17.(本小题满分15分) 函数f(x)=(1一x)er一x-1,其中a为整数， (1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程； (2)当x∈(0，十∞)时，f(x)<0恒成立，求a的最大值. 【高三数学第3页（共4页）】 FJ 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 bsin Asin B+cos2B=1,1十32=2v3 bcsin A. (1)求a; (2)求△ABC的面积： (3)在△ABC所在的平面内有一动点D,),满足Di·D心-号求3x一3y的最小值。 19.(本小题满分17分)》 设f(x)为函数f(x)的导函数，若f(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的 凹函数，区间D称作函数f(x)的凹区间：反之，则称f(x)为区间D上的凸函数，区间D称 作函数f(x)的凸区间. (D已知函数g(x)=nx十2，求g(x)的四，凸区间： (2)如图所示为某个凹函数y=m(x)的图象，在图象上任取两个不同的点A(.x1,m(x1)), B(x2,m(x2)),过线段AB的中点C作x轴的垂线，与函数图象和x轴分别交于D,E 两点，则有|CE>DE: ①将不等关系|CE>|DE转化为对应的不等式； ②证明：当xe02)时，(+)儿+})≥（告+异）》广恒成立. J三拼】 【高三数学第4页（共4页）】 FJ20242025学年高三11月测评（福建）·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 6 7 8 答案 B C A C B C B D 题号 9 10 11 答案 BCD BC ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】B 【解析】易得A=[一1,3]，B=[1,+∞)，则CRB=(-∞，1)，所以(CgB)∩A=[-1,1),做选B. 2.【答案】C 【解折1-片-得二》9号-专，在复子面内对应的点在第三象限，放选心 3.【答案】A 【解析】若a+b=2,易得0<a<1,b>1或者0<b<1,a>1,可推出logb<0,反之，若logb<0,无法推出a+b =2,故选A. 4.【答案】C 【解折】因为aL(3b-2a).所以a·(3b-2a=0,即a:3b=2G=2引a,可得a·b=号a,则b在a方向 上的授影向量为石品·a=号0，放选C 5.【答案】B 【解析】根据三角函数的定义，am(。一子)=一2，即。一2，解得ana=一子即cos。=一3sine,易 1+tan a 得a是第四象限角，sina<0,sina十cosa=10sina=1,解得sina=一 10 10 ,故选B. 6.【答案】C 【解析】f(.x)十g(x)=2+1,f(-x)十g(一x)=f(x)-g(x)=2+1,解得f(.x)=2十2，g(x)=2-2, h(x)=(2-2")2一2m(2十2·)，设2十2+=1∈[2.+oo),函数y=-2mt-4的对称轴为t=m,当 m≥2时，ym=一m2-4=一12，解得m=2√2或者m=-2√瓦（舍）.当m<2时，ym=-4m=-12,解得m= 3(舍).故选C. 7.【答案】B 【解析】易得a.=2-1,S=2-1,所以b.= sn|·(侵)=sn受·(2与）显然 当n为偶数时， sn受=0，当n为奇数时，sn受-1，此时6，一2占2与因此T=6+6+… +6-()十()++()1--放选B 8.【答案D 【解析将条件变形为f)-2f)=,构造函数g)=巴，则g()=E二2z☑-上，则 【高三数学参考答案第1页（共6页）】 FJ g)=9=nx+C.即fx)=rnr+C,所以)=C=-是=rn-是rf)=2n 十x-3x=2.x(lnx一1)，当x∈(0，e)时，(x)<0,函数f(x)在区间(0，e)上单调递减，当x∈ (c,十e)时，)>0，函数)在区间(c,十∞)上单调递增，则)的最小值为e)=一号故选D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BCD(全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分) 【解析】A选项错误，y=x2一2x十3=(x-1)2+2,当x=1时，最小值为2： B选项正确，y=2十22+≥2√2·2=4，当且仅当2=22-，即x=1时，等号成立； 1+1cos'r+sin'r 1 C选项正确，smz十cosr sin'·cos工 2≥4，当且仅当sin2.x=士1时等号成立. D选项正确y=2og:a十26g,2=2(ga十a)》≥，当且仅当ga=风a即a=2时等号成立，故 选BCD. 10.【答案】BC(全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分) 【解析】八选项错误，当。=1时，最小正周期T-名-1： B选项正确，f0)=2sin音=1，与u的取值无关： C选项正确，向左平移受个单位长度后的函数解析式A(x)=2sin(2r+g+晋)，令+看=x十受， 3 3 飞∈乙，解得。-多+日，当表=0时，m的最小正值为子： D选项错误，令f)-月=0即sm(2a十吾)=解得2ar十吾=2x十号或2ar+吾=2x十号】 6 6 3 6∈.即了=+总或者：一怎+乙要使得在区同[0]上拾好有5个学点，令==2，满足二 十武。≤<语+无解得<<号故选C 11.【答案】ACD(全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分) 辽个×z小×名=S·鳝三环。阳2（斗环晋O7·螈王r梁V【蜂） B选项错误，由三垂线定理易得，BD⊥平面EFG,要使得三棱锥体积达到最大值，只需点P与点B重合， 设BD与平面EFG的交点为0，由等体积法得，DO-气，面BD=2v5,所以BO-5 等，此时三棱锥的体 积为时×号×5-音： C选项正确，点P在正三角形A,C:D上，其轨迹长度为6√2： D选项正确，以A为原点，AB,AD,AA分别为x,y,x轴建立空间直角坐标系，则 A002).P2.1,0),C(2,2,2).A,=(2,2,0,AP=(21,-2),A产在A1C8 上的投影长度为 A.AC=6= IACI 25后故P到A,G的距离为 √一-3，故选An 【高三数学参考答案第2页（共6页）】 FJ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案及评分细则】1(5分，其他结果均不得分) 【解析】f(1)=2,f(f(1))=f(2)=3,f(f(f(1)))=f(3)=1. 13.【答案及评分细则】2(5分，其他结果均不得分) 【解析】sin2A=2 2sin Acos A-=sinC.由正弦定理得，2 Bacos A=-c,解得cosA-,由余弦定理得ad=谷十2 -26c·0sA,4=#+1-号6,26-6一6=0，解得6=2.6=-号（舍）.所以6=2。 1.【答案及评分细则吊子（或3-n十点攻3年2 4n十6 n+3n+2 (5分，结果正确均得分) ya. 【解折】f(x)的定义城为(0，十∞).令f(x)=r+子-a.-2=0, 即a,=x十子-2， 如图所示，不妨设0<x1<1<x, 因为a-1十-2a-十之-2，所以+-2-+-2 解得：·e=1,代入条件得：a-=(n十1)a,=(n十1)(xe十一2)， 化简得：nx2一2(1十1)x2十(n十2)=0， 即w-+22(小 所以s=[(1-号)+（分-子）+（分-吉）++(n马点)+（分-2）] =21+)=3品 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤： 15.【答案11)a,=m,5.="D(2)T,=n·2 2 【解析及评分细则】(1)设等差数列{am}的首项为a1,公差为d,由题意得： (2an-a=a:+8d=9 S=5a+10d=15·解得：， …3分 通项公式a.=a1十(n一1)d=n,…… 4分 前n项S=+4。 2 6分 (2)b.=2"%·am+1=(n十1)·2"，…… 7分 1T.=2×2+3×22+4×2+…+(n+1)·2”① …………9分 2T.=2×22+3×23+4×2+…+(n+1)·2+1② ①-②：-T.=2×21+22+23+…+2"-(n+1)·2+ =2+21-2）-（n十1）.2+1=-n.2+1…12分 1-2 所以T.=n·2+1. …13分 16.【答案】1)详见解析(2)3 13 【解析及评分细则】(1)设PA的中点为F,连接EF,FC,OC,CD,BD, 【高三数学参考答案第3页（共6页）】 FJ 在△PAB中，EF为三角形的中位线，所以EF∥AB,EF= 因为C,D分别为半圆弧上的两个三等分点， △OCD为等边三角形，∠ODC=∠DOB=吾， 所以CD/AB.CD=AB, …………4分 易得四边形CDEF为平行四边形，所以DE∥CF, CFC平面PAC,DE过平面PAC, 所以DE∥平面PAC:… 6分 (2)解法一： 过D作AB的垂线，则垂足M为OB的中点，过M作PA的垂线，设垂足为N,连接 MN, 因为平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB,DM⊥AB.所以DM⊥平面PAB.DM⊥PA,………8分 又因为PA⊥MN,DM∩MN=M,所以PA⊥平面DMN,PA⊥DN, 则∠DVM为平面PAB与平面PAD的夹角， 设底面半径为R,则DM=R, 2 11分 BF-/3R.MN 4 13分 在R△DMN中，DNDF+MN=GR,即DN=R, 14分 所以Ds∠DNM=然=3，即平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为3 DN 13 13 ……15分 解法二： 作CD的中点Q,连接OQ,以O为坐标原点，OQ,OB,OP所在的直线分别为x, y,之轴建立空间直角坐标系，设底面半圆的半径为2， 则00.0.0).P(0.0.23).A(0,-2.0).D(3.1.0).Pi=(0,-2.-23).Ad =(/5,3,0),………9分 由图形可知平面PAB的法向量为n=(1,0,0), 设平面PAD的法向量为m=(x,y,), PA·m=-2y-2W5:=0 则 ,令y=3,则=一1，x=-3, AD.m=√3x+3y=0 所以m=(一3，√5，一1)是平面PAD的一个法向量，…13分 ema=调x布3得 131 即平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为3Y 13 15分 17.【答案】(1)(e十1).x十y+1-e=0(2)2 【解析及评分细则】(1)当a=1时，f(x)=(1一x)e一x一1，f(1)=一2，即切点坐标为(1，一2)，f(x)= -xe一1，切线斜率k=了(1)=一-1，…3分 由点斜式得，切线方程为y+2=一(e+1)(x-1),即(e十1)x十y+1一e=0:………5分 (2)当x∈[1，十0∞)时，(1一x)≤0，则f(x)<0恒成立，…6分 【高三数学参考答案第4页（共6页）】 FJ 当re01)时.1-)--1<0.e<号 …8分 两边同时取对数，则ax<n()=ln(1十x)-ln(1-x), 问题等价于ln(1十x)一n(1一x)一ax>0恒成立，……10分 设g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-a.x且g(0)=0, 1 2 g（x),,十a=7a,… ……1且分 当a≤2时，显然g(x)>0恒成立，则g(x)在区间(0,1)上单调递增， g(x)>g(0)=0,满足题意， 当>3时，令R()<0,即名<a,解得x<√-名，则函数g()在区间(0√-名)上单调递减， 此时g(x)<g(0)=0,不符合题意，…… …14分 综上所述，整数a的最大值为2.… ………15分 18.【答案】(1)a=1(2)3 6 (3)-4W3 【解析及评分细则】(1)2 bsin Asin B=1一cos2B=2sinB,…………1分 因为sinB≠0， 所以bsin A=sinB,…… 2分 由正弦定理得：AB即inA=sin B, b 所以☑=1……… 4分 (2)将余弦定理：1=a2=6+2-2 bccos A代人得： 6+4c2=25 besin A+2 becos A,……… …………5分 两边同时除以2b, 会+答=5nA+mA=2n(A+吾) ……7分 会+若≥2，当且仅当6=2：时等号成立，2(A+晋)≤2，当且仅当A=音时等号成立，即会+答 3sin A+cos A=2, 由余弦定理得：1=6十C2一2bc0sA=6十c2一bc=3c2,…9分 即e=号△ABC的面积S=之esinA=CsnA- 6 ………………11分 3)由1.(2)可知B=受e=. ，a=1,以B为坐标原点，BC,BA所在的直线分别为xy轴建立直角坐标 系，则A(0,)C1.0 …12分 则耐=(-，号-y),心=0-，-w in心=r-+y-=(-)广+(y-)）-3-号(-)广+(-)）=4， x=- 1+2cos 0 所以 (0为变量)， y-+2sn 6 【高三数学参考答案第5页（共6页）】 FJ 则/-3y=25cs0+号-6如0-号-45os(0+音）≥-4.…16分 所以5x一3y的最小值为一45.…………………………17分 19.【答案K)详见解析(2)0m国)士m>m(色产】 2 ②详见解析 【解析及评分细则】(1)易得函数g(x)的定义域为(0，十∞)， g(灯)十无，…… 设Gx)=g(x)=1+x,G(u)=1-, …3分 当x∈(0,1)时，G(x)<0恒成立，g'(x)在区间(0,1)上单调递诚， 当x∈(1，十∞)时，G(x)>0恒成立，g'(x)在区间(1，+∞)上单调递增， 所以函数g(x)的凹区间为(1，十∞)，凸区间为(0.1)；…5分 (2)①对于凹函数y=m(x)定义城中的任意两个自变量x1,x:(x1≠)，A(x1,m(x),B(,m(x:), c))Cnm.- 2 a(吉产）由1cE>DE,有告m>m(色) …8分 2 @对不等式(+)(+)≥（生+异，）广两边取对数，问题等价于 n(+）+n(y+号)≥2h(空+子)=2h(告+)恒成立…10分 构造函数(r)=n(x+）xe(0,2). 即h(x)十h(y)≥2（专）恒成立，… 12分 13分 Q(x)=2x(+x)-（r-1)(3+1)=-+42+1 (x3+x) (x十x)2 ，……………14分 令Q(x)≥0，即x-4x2-1≤0，解得0<≤2+5，所以(0V2+V5]是函数h(x)的凹区间， （0,2)S0,V2+5],所以当x(0,2)时，h()是四函数，由①知士h2>h(士)，即h()+() 2 >2h(生），当z=y时，h()+h(gy)=2h(号）… 16分 所以ye02时，A)+6≥2h(空)相成立，即(+子)(+)≥（安+子） 恒成立 4………17分 【高三数学参考答案第6页（共6页）】 FJ