四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

泸县五中2024年秋期高一期中考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．设集合，则 A． B． C． D． 2．方程组的解组成的集合为 A． B． C． D． 3．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是 A． B． C． D． 4．若为实数，则下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知函数，若，则 A． B． C． D． 6．已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知，，且，则的最小值为 A．4 B．6 C．8 D．12 8．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设集合，且，则x的值可以为 A．3 B． C．5 D． 10．下列四组函数中，不表示同一函数的一组是 A． B． C． D． 11．定义在上的函数满足，当时，，则满足 A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12．已知，，且，则a的取值范围为 ． 13．已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 14．已知正数满足，则的最小值为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设集合，，，求： (1)； (2)； (3). 16．（15分） 已知二次函数，，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 17．（15分） 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? 18．（17分） 函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 19．（17分） 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”． (1)判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$泸县五中2024年秋期高一期中考试 数学试题参考答案 题号 8 9 2 。 5 10 答案 C B B B BC B ACD 题号 11 答案 ABD 13.-2+x 14. 7+2V10 12. al-2<a 2 2 15. 解:(1)由并集定义知:AB={x-1<x$5{ ($2) A=xx<l,A)B={xx4 (3)A=$xx<l,B=xx<-1或4<$5 ,$$ :(A)B)=xx-1 -.....1.分 16.(1)解:因为f(0)=1,所以c=1,所以/f(x)=a^2}+b+1. 又因为f(x+l)-/f(x)=2x,所以a(x+1){+b(x+l)+1-(ar2+bx+1)=2, ....分.. 所以2ax+a+b=2x,... [2a=2 [a=1 所以 #a=o所以{# b1,即f(x)-x}-+1. (2)解:因为(n)--×+1-)} 因为(3)在-_),在,所以/(x)/(- 因为f-1} =1+1+1=3,f(1)=1-1+l=$ .13分 所以f(x)=/f(-1)=1+1+1-3, 所以/(4)在(1)上的值域为. 17. 解:(1)由题可先写出速度v关于时间(的函数v(t)= [30.0<1<1 30-10(-1),1<1<4' -..........分 10000-60-1:2x30.0<11 代入AO与A0公式可得O(t)= 60(t-1)-230-10(t-1)] 6400- .1<1<4 7-1+1 1 10000-3600t.0<1 解得O(t)= 4800 .-.8分 400+1200r+ ,1<14' (2)①稳定阶段中0(t)单调递减,此过程中0(t)最小值0(t)=0(1)=6400kJ; 4800 ②疲劳阶段O(t1=400+1200r+ (1<14), 4800 400+2、1200×4800=5200kJ. 则有O(t)=400+1200t+ .13分 4800 当且仅当1200= ,即(-2时,“-”成立 所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ. 由于5200<6400,因此,在1=2h时,运动员体力有最小值5200kJ 18. (1)解:由题意,函数fx)对任意实数{,y恒有f(x)=f(v)+f(x-) 令x=y=0得/(0)=/(0)+f(0),解得:f(0)=0 -... 取$x=0,则由f(x)=f(y)+f(x-y)得f(0)=f(y)+f(-y)=0 -...,3分 f(-y)=-f(),即f(-x)=-f(x),.函数fx)是奇函数 (2)证明:任取x,x。R,且x<x,则x:-x>0, :当x>0时,f(x]<0,.fx.-x]<0. 由f(x)=f(y)+f(x-y)得f(x)-f(y)=f(x-y) .f(x.)-f()=f.-]<0. .f)>f(x), ./x)是B上的减函数 8分 (3)解:由f(x)=f(y)+f(x-y)得f(ax})+f(x+2)=fax2}+x+2). 由/(x)=f(y)+f(x-y)得/f(x)-f(y)=f(x-y 则/(x2)-f(ax)=/(x*-ax). 不等式fax})+f(x+2)<f(x2}-f(ax)可化为fax}+x+2)<f(x*-ax). :f(x)是R上的减函数, .10分 .ar+x+2>x2-ax,即(a-1)x+(a+1)x+2>0 (i)当a=1时,不等式①式即为2x+2>0,解得:x>-1,即原不等式解集为(-1,+):11分 2 (iì)当a>1时,不等①化(-)(x+1)→,即(x+)→0,12分 若a=3,上式不等式即为(tx+1){}>,解得:x*-1,即原不等式解集为(-0.,-1)(-1,+):--.13分 .15分 (ì当a(1时,不等式化为(-1)△()(1)0. 即()(1)_0. a-1 ..16分 当a=1时,原不等式解集为(-1.+); 当a=3时,原不等式解集为(-x.-1)U(-1.+00]; -.....分. 19. 解:(1)假设fx)=x*+1是区间0,3 上的“2阶自伴函数”, 不妨取x=2,则/(x)=/f(2)=5,由/fx)fx)=2可得5(x$+1 $= 此时x无解,所以假设不成立, 所以fx)=x*+1不是区间0,3 上的“2阶自伴函数” ..4分 (2)由题意可知,对任意的,-]. 存在难一的七: 使(2x-1)(2x.-1)=1成立, 3 过]内都存在唯一×与之对应,且: ##)#0, 7分 {。 所以{ ### .8分 (3)由题意可知,对任意的x0.2,总存在唯一的x0,2,使f]g(x)=2成立, 即对任意的x0.2,总存在唯-的x=0.2,使gx)=x.+2成立, 因为xE0.2],所以xt+2e[2.4]. 所以g(x)在[0.2]1 上的值域包含[2.4]且g(x)的值域在[2.4]内对应的自变量是唯一的, 又g $x]=x}-2ax+^}+1-(-a){}+1,对称轴x=a,且g(0)=^}+1,g(2)=a^}-4a+5 当as0时,g(x)在[0.2]上单调递增, g(x)=g(2)-a-4a+54 所以{ ,解得aE-1.o]; lg(x)_-g( )-a{+12 当az2时,g(x)在[0.2]上单调递减, [g(x)_=g(2)-a-4a+52 所以{ 18(x).三8()-a+124 ,解得a=2,3]; 当0<a<1时,gx)在0.a)上单调递减,在(a,2l上单调递增; [g(0)<2 所以{ 解得ae(0.2-、3]; [g(x).=g(2)-a-4a+5 4' 当1<a<2时,g{x)在0.a)上单调递减,在(a,2l上单调递增; [g(2)2 所以{ {8(4)_8(0)-a2+124解得ae[3.2): 综上所述,a的取值范围为[-1.,2-3][V.3] .17分