5.5 一元一次方程的应用（一）（12大题型提分练）（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第5章 一元一次方程》 5.5 一元一次方程的应用（一） 知识点 一元一次方程的应用 ★1、列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★2、设未知数的常见方法 （1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数。 （2）特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数，即设间接未知数。 （3）在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数，设的辅助未知数一般在求解过程中会消掉，设而不求。 ★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 题型一 和、差、倍、分问题 解题技巧提炼 和、差、倍、分问题； 这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语，仔细读题，找出表示和、差、倍、分关系的关键字，例如:“大，小，多，少，增加，减少......”，并根据题意设出未知数，利用这些关键字表示出含有未知数的量，最后利用题目中的量与量之间的关系列出方程. 1．（2023•上杭县校级开学）牧羊人正在放牧，一个人牵着一只羊问他．“你的羊群有多少只？”牧羊人答道：“这群羊加上一倍，再加上原来羊群的一半．又加上原来羊群的四分之一，算上你牵来的羊，正好满一百只．”请问，牧羊人的羊群有多少只？（　　） A．32只 B．34只 C．36只 D．38只 【分析】根据“这群羊加上一倍，再加上原来羊群的一半．又加上原来羊群的四分之一，算上你牵来的羊，正好满一百只”列方程求解． 【解答】解：设牧羊人的羊群有x只， 则：2xxx+1＝100， 解得：x＝36， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 2．某牧场，放养的鸵鸟和奶牛一共70头，已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196条，则鸵鸟的头数比奶牛多（　　） A．20头 B．14头 C．15头 D．13头 【分析】设出奶牛的头数，表示出鸵鸟的头数，根据鸵鸟和奶牛的腿数之和为196条，列出方程． 【解答】解：设奶牛的头数为x头，则鸵鸟的头数为（70﹣x）头， 故：4x+2（70﹣x）＝196， 解得x＝28， 故70﹣2x＝14， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，难度不大，在解方程的时候容易出错，要注意细心解答． 3．（2023秋•兴化市期末）小丽在水果店用18元买了苹果和橘子共6千克，已知苹果每千克3.2元，橘子每千克2.6元．小丽买了苹果和橘子各多少千克？ 【分析】等量关系为：3.2×苹果千克数+2.6×橘子千克数＝18，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：小丽买了苹果x千克，橘子（6﹣x）千克． 由题意得：3.2x+2.6×（6﹣x）＝18， 解得：x＝4， ∴6﹣x＝2． 答：小丽买了苹果4千克，橘子2千克． 【点评】本题考查解一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到水果总价的等量关系，然后根据等量关系求解． 4．（2024•旬阳市开学）在一个停车场，汽车、摩托车共有24辆，其中每辆汽车4个轮子，每辆摩托车有3个轮子，这些车共86个轮子，停车场有汽车、摩托车各几辆？（列方程解答） 【分析】依据题意，设停车场有摩托车x辆，则汽车有（24﹣x）辆，根据这些车共有86个轮子，可列出关于x的一元一次方程，进而计算可以得解． 【解答】解：设停车场有摩托车x辆，则汽车有（24﹣x）辆， 根据题意得：4（24﹣x）+3x＝86， 解得：x＝10， 答：停车场有汽车14辆，摩托车10辆． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元一次方程是关键． 5．某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装10吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资一次性运完，现有A型、B型车共25辆可调用，并且恰好能把物资一次性运完，则A型车有多少辆？ 【分析】设A型车有x辆，B型车有（25﹣x）辆，根据题意，得：20x＋10（25﹣x）=300，即可解答． 【解答】解：设A型车有x辆，B型车有y辆， 根据题意，得： 20x＋10（25﹣x）=300， 解得：x=5． 25﹣x=25﹣5=20（辆） 答：A型车有5辆，B型车有20辆． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据等量关系列出方程组． 6．（2023秋•旅顺口区期中）某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年总产值为550万元．前年的产值是多少？ 【分析】设前年的产值是x万元，根据题意可得去年的产值是1.5x万元，今年的产值是1.5x×2＝3x万元，根据这三年的总产值为550万元，列出方程求解即可． 【解答】解：设前年的产值是x万元，由题意得 x+1.5x+1.5x×2＝550， 解得：x＝100． 答：前年的产值是100万元． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出等量关系列出方程解决问题． 7．（2023秋•康巴什期末）某“希望学校”修建了一栋4层的教学大楼，每层楼有6间教室，进出这栋大楼共有3道门（两道大小相同的正门和一道侧门）．安全检查中，对这3道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，2分钟内可以通过400名学生，若一道正门平均每分钟比一道侧门可多通过40名学生． （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这3道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这3道门是否符合安全规定？为什么？ 【分析】（1）我们可设平均每分钟一道侧门可以通过x名学生，则一道正门可以通过（x+40）名学生，根据题意列方程解答即可． （2）我们先求出这栋楼最多有学生，再求出拥挤时5分钟3道门能通过多少名学生，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设平均每分钟一道侧门可以通过x名学生，则一道正门可以通过（x+40）名学生， 根据题意列方程：2x+2（x+40）＝400 解这个方程得：x＝80 ∴x+40＝120 答：平均每分钟一道侧门可以通过80名学生，则一道正门可以通过120名学生． （2）这栋楼最多有学生4×6×45＝1080（人） 拥挤时5分钟3道门能通过（人） 1280＞1080 建造的3道门符合安全规定． 【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 题型二 工程问题 解题技巧提炼 工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1． 基本关系式： ①总工作量=工作效率×工作时间； ②总工作量=各单位工作量之和． 1．（2024春•宛城区校级月考）某段铁路由甲工程队单独铺设需要40天，由乙工程队单独铺设需要60天．如果由这两个工程队从两端同时相向施工，总共需要（　　） A．20天 B．24天 C．25天 D．30天 【分析】设总共需要x天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”即可列出方程，求解即可解答． 【解答】解：设总共需要x天．根据题意得， ， 即， 解得：x＝24． 答：总共需要24天． 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 2．（2023秋•双台子区期末）从一个蓄水池中抽水，甲抽水机单独抽要12小时抽完，乙抽水机单独抽要15小时抽完，丙抽水机单独抽要20小时抽完，若甲、丙先合抽3小时后乙再加入，则还需（　　）小时可以抽完． A．3 B．4 C．5 D．7 【分析】设还需x小时可以抽完，分别表示出三台抽水机的工作量，利用工作量总和为1列出方程解答即可． 【解答】解：设还需x小时可以抽完，由题意得 1， 解得：x＝3． 答：还需3小时可以抽完． 故选：A． 【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系是解决问题的关键． 3．（2023秋•南岗区校级期中）整理一批数据，由一个人做需80h完成，现在计划先由一些人做2h，再增加5人做8h，完成这项工作的，则计划的人数是 　 　人． 【分析】根据题意，先算出一个人的工作效率是，设计划有x个人先做2h，根据数量关系列方程求解即可． 【解答】解：一个人做需80h完成， ∴一个人的工作效率是， 根据题意，设计划有x个人先做2h，再增加5人做8h， ∴，整理得，x＝2， ∴计划的人数是2人， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查一元一次方程与工程问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握运用方程解工程问题的方法是解题的关键． 4．（2024•陕西模拟）某市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？ 【分析】设甲乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设甲乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务， 根据题意得：1， 解得：x＝5． 答：乙队还需要5天能够完成任务． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．一段公路甲队独修需30天，乙队独修需20天，甲队独修路10天后，再由甲、乙两队共同修路，还需多少天能修完？ 【分析】设还需x天能修完，由题意：一段公路甲队独修需30天，乙队独修需20天，甲队独修路10天后，再由甲、乙两队共同修完，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设还需x天能修完， 由题意得：10（）x＝1， 解得：x＝8， 答：还需8天能修完． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．（2023秋•吉林期末）第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，为了迎接亚洲冬季运动会，现要修一条公路，甲工程队单独修需30天完成，乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天． （1）乙工程队单独完成需要多少天？ （2）若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条公路，求甲乙还需合作几天修完这条路？ 【分析】（1）设乙工程队单独完成需要x天，根据乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲乙还需合作y天修完这条路，根据时间×工作效率＝工作量，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设乙工程队单独完成需要x天， 由题意得：x＝301， 解得：x＝20， 答：乙工程队单独完成需要20天； （2）设甲乙还需合作y天修完这条路， 由题意得：（5+y）y＝1， 解得：y＝10， 答：甲乙还需合作10天修完这条路． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．（2023秋•岳麓区校级期末）某一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成． （1）求乙工程队单独完成该工程所需的天数； （2）若延期完成，则超出的时间公司每天损失0.6万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？ 【分析】（1）设乙施工队单独完成该工程需要x天，根据甲单独施工20天完成，甲乙合作4天后，乙还需要16天刚好完成，列方程，解出结果． （2）根据题意，计算两队单独做的费用，得出结果． 【解答】解：（1）设乙施工队单独完成该工程需要x天，根据题意得： ， 解得：x＝25． 经检验x＝25是方程的解． 答：乙工程队单独完成该工程所需的天数是25天． （2）甲队单独做费用：20×1.5＝30（万元）． 乙队单独做费用：1.1×25+0.6×5＝30.5（万元）． 故单独找甲工程队更实惠． 【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的基本步骤：设、列、解、验、答，不要忘记检验． 题型三 几何图形问题 解题技巧提炼 利用一元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解． 1．（2024秋•绿园区校级月考）如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分）．若长方形的周长为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（　　） A．x+（x+2）＝26 B．2x+2（x+2）＝26 C．x+（x﹣2）＝26 D．2x+2（x﹣2）＝26 【分析】根据题意可得长方形的宽为（x﹣2）cm，然后利用长方形的周长为26cm列方程即可． 【解答】解：设正方形的边长为xcm，由题意得： 2x+2（x﹣2）＝26， 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 2．（2024春•衡阳月考）如图所示，一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少4cm，宽增加3cm，就可以围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（　　） A．8，7 B．9，6 C．10，5 D．11，4 【分析】设长方形的长为x cm，由长方形的周长为30cm知长方形的宽为（15﹣x）cm，根据正方形的边长相等可列出方程，求解即可． 【解答】解：设长方形的长为x cm，则长方形的宽为（15﹣x）cm， 根据题意，得x﹣4＝（15﹣x）+3， 解得x＝11， ∴15﹣x＝4， 故选：D． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是根据长方形的周长表示出其宽及变化后正方形的边长． 3．（2024秋•雁塔区校级期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图①；小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm的小正方形，则每个小长方形的面积为 　 mm2． 【分析】设每个小长方形的宽为x mm，则长为x mm，根据图②中各边之间的关系，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入x•x中，即可求出每个小长方形的面积． 【解答】解：设每个小长方形的宽为x mm，则长为x mm， 根据题意得：2xx， 解得：x＝15， ∴x•x15×15＝375， ∴每个小长方形的面积为375mm2． 故答案为：375． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2024•西安校级二模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽． 【分析】设绿地的长、宽增加的长度为x m，然后根据扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，列出方程求解即可． 【解答】解：设绿地的长、宽增加的长度为x m， 由题意得，35+x＝2（15+x）， 解得x＝5， ∴35+x＝40，15+x＝20， ∴新的矩形绿地的长与宽分别为40m，20m． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 5．（2023秋•张店区期末）如图，小明将一张正方形纸片剪掉一个宽为5cm的长条后，再从剩下的长方形纸片中减去一个宽为3cm的长条，如果第一次剪下的长条面积正好是第二次剪下的长条面积的2倍，那么剪去两个长条后剩下的长方形的面积为多少？ 【分析】首先设原正方形纸条的边长为x cm，可得第一次剪下的长条长为x cm，宽为5cm，第二次剪下的长条宽为3cm，长为（x﹣5）cm，再根据第一次剪下的长条面积是第二次剪下的长条面积的2倍，可列方程5x＝2×3（x﹣5）．由此可以求得原正方形的面积，然后通过求差得多剩下长方形的面积． 【解答】解：设原正方形纸条的边长为x cm，由题意得： 5x＝2×3（x﹣5）， 解得x＝30． 最后剩下的长方形的面积为（30﹣5）×（30﹣3）＝675（cm2）， 答：最后剩下的长方形的面积是675cm2． 【点评】此题主要考查了出一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 6．（2023秋•包头期末）如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为5cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6cm的长条． （1）如果两次剪下的长条面积正好相等，那么这个正方形的纸片的面积多少？ （2）第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的2倍吗？如果能，请求出正方形纸片的面积；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设正方形纸片的边长为x cm，根据两次剪下的长条面积正好相等即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方形纸片的边长为y cm，根据第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的2倍即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设正方形纸片的边长为x cm，依题意有： 5x＝6（x﹣5）， 解得x＝30， 30×30＝900（cm2）． 故这个正方形的纸片的面积是900cm2； （2）不能，理由如下： 设正方形纸片的边长为y cm，依题意有： 5y×2＝6（y﹣5）， 解得y＝﹣7.5， 不符合实际，所以不能． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是要注意：第一次剪完后，剩下的这边为（x﹣5）cm，难度一般． 7．（2023秋•槐荫区期末）悦悦同学周末和爸爸一起到农村参加献爱心志愿者活动，该村的李大爷正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，他提出了几个问题想让悦悦帮忙解决，请你用所学的知识和悦悦一起来思考吧!（篱笆的占地面积忽略不计） （1）如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？ （2）如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？ 【分析】（1）首先设鸡舍的宽为x米，则长为（x+6）米，根据题意可得等量关系：篱笆总长60米＝x+6+x+x，再解方程求出鸡舍的长宽，再求面积即可； （2）分两种情况讨论，以鸡舍的长与墙为对面和以鸡舍的宽与墙对面两种情况分别求解即可． 【解答】解：（1）设鸡舍的宽为x米，则长为（x+6）米，依题意得： x+x+6+x＝60， 解得：x＝18， 所以鸡舍的长为18+6＝24（米）． 鸡舍面积＝18×24＝432 m2． 答：鸡舍面积432 m2． （2）设鸡舍的宽为x米，则鸡舍的长（x+6）． ①．当鸡舍的长与墙为对面时，依题意得： x+x+（x+6﹣3）＝60， 解得：x＝19， 所以鸡舍的长为19+6＝25（米）． 鸡舍面积＝19×25＝475 m2． ②．当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意得： 2（x+6）+x﹣3＝60， 解得：x＝17， 所以鸡舍的长为17+6＝23（米）． 鸡舍面积＝17×23＝391 m2． 答：如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积475m2或391 m2 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 题型四 等积变形问题 解题技巧提炼 等积变形问题： 长方体体积=长×宽×高； 圆柱的体积=（h为高，r为底面圆半径）. 变形前后体积相等. 1．（2023秋•会宁县期末）有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，即大杯的体积＝12个小杯的体积，再利用圆柱体的体积公式列方程求解． 【解答】解：设小杯的高为x， 根据题意得：π×102×30＝π×（10÷2）2•x×12 解得：x＝10 则小杯的高为10cm． 故选：C． 【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 2．（2023秋•和平区校级期末）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积是（　　） A．1280 cm 3 B．2560 cm 3 C．3200 cm 3 D．4000 cm 3 【分析】设设甲的容积为x cm3，得出甲的高度为cm，乙的高度为cm，根据甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，列出方程求解即可． 【解答】解：设甲的容积为x cm3，根据题意得： 8， 解得：x＝3200， 所以甲的容积为3200cm3． 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，根据体积不变求出高度，进而求出容积是解题的关键． 3．（2022秋•市北区校级期末）从一个底面直径为6cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面直径为4cm，高为9cm的空的圆柱形玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯水面下降的高度是 　 　． 【分析】利用体积相等列方程，求解方程即可． 【解答】解：设凉水杯水面下降的高度是x cm，根据题意，得 π（）2x＝π×（）2×9， 解得x＝4， 故答案为：4cm． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，圆柱的体积，解题的关键是掌握圆柱体的体积公式． 4．（2023秋•成都期末）古代数学问题趣题，如图，一个瓶子的容积为1200cm3，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液恰好为瓶子圆柱体部分，液体高度为24cm，当瓶子倒放时，空余部分圆柱体的高度为6cm．则瓶内溶液的体积为 　 　cm3． 【分析】根据瓶子底面面积不变，可以列出方程，然后求解即可． 【解答】解：设瓶内溶液的体积为V cm3， 由图可得：， 解得V＝960， 答：瓶内溶液的体积为960cm3， 故答案为：960． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 5．（2023春•肇源县月考）一个圆柱形鱼缸，底面直径是40cm，高是36cm，里面盛了一些水，把一个底面半径是10cm的圆锥形铁块完全浸入鱼缸中，鱼缸内水面升高2cm．这个圆锥形铁块的高是多少？ 【分析】增加水的体积＝圆锥形铁块的面积，据此列出方程并解答． 【解答】解：设这个圆锥形铁块的高是h cm，则： π×（）2×2π×102h． 解得h＝24． 答：这个圆锥形铁块的高是24cm． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，圆柱的体积，圆锥的体积等知识，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，构建方程解决问题． 6．（2023秋•玉门市期末）有一位工人师傅将底面直径为10cm，高为80cm的实心圆柱，锻造成底面直径为40cm的实心圆柱，求锻造后圆柱的高是多少？ 【分析】设锻造后圆柱的高是h cm，根据体积相等得出方程π×（）2×80＝π×（）2×h，再求出h即可． 【解答】解：设锻造后圆柱的高是h cm， 则π×（）2×80＝π×（）2×h， 解得：h＝5， 即锻造后圆柱的高是5cm． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，能找出等量关系列出方程是解此题的关键． 7．（2023秋•文成县期中）一个长12cm，宽12cm，高为8cm的长方体容器中装满了水．小明先把容器中的水倒满2个底面半径为3cm，高为5cm的圆柱体杯子，再把剩下的水全部倒入瓶子甲中．当瓶子甲正放时如图1，瓶内溶液的高度为20cm；瓶子甲倒放时如图2，空余部分的高度为5cm．求瓶子甲的容积．（π取3，容器的厚度不计） 【分析】设瓶子甲的半径为x cm，根据“长方形容器的水＝圆柱体杯子水×2+瓶子中水”先列出方程，求出瓶子的半径，再计算瓶子甲的容积． 【解答】解：设瓶子甲的半径为x cm， 由题意，得πx2×20＝12×12×8﹣2×32π×5． 当π＝3时，3×x2×20＝12×12×8﹣2×9×3×5， ∴x2＝14.7． ∴瓶子甲的容积为π×x2×（20+5） ＝3×14.7×25 ＝1102.5（cm）3． 答：瓶子甲的容积为1102.5cm3． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的解法、根据题意列出方程是解决本题的关键． 题型五 比例问题 解题技巧提炼 利用合并同类项解一元一次方程的一般步骤和方法： （1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并; （2）系数化为 1，即在方程的两边同时除以未知数的系数. 1．（2023秋•江岸区期中）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100t，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为xt，则可列方程为（　　） A．2（x+200）＝5（x﹣100） B．5（x+200）＝2（x﹣100） C．2（x﹣200）＝5（x+100） D．5（x﹣200）＝2（x+100） 【分析】设环保限制的最大量为xt，则旧工艺废水排量为（x+200）t，新工艺废水排量为（x﹣100）t，根据新旧工艺的废水排量之比为2：5，列方程即可． 【解答】解：设环保限制的最大量为xt，则旧工艺废水排量为（x+200）t，新工艺废水排量为（x﹣100）t， 则依题意得，2（x+200）＝5（x﹣100）． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 2．（2023•凉州区校级开学）一个长方形的周长为36m，它的长与宽的比是5：4，这个长方形的面积 是（　　）m2． A．20 B．80 C．160 D．360 【分析】根据已知求出长方形的长和宽，即可求出长方形的面积． 【解答】解：设长方形的长是5x m，则宽是4x m，根据题意得： 2（5x+4x）＝36， 解得x＝2， ∴长方形的长是10m，宽是8m， ∴面积为10×8＝80（m2）， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的应用和长方形的面积，解题的关键是求出长方形的长与宽． 3．（2024•福州开学）在巴黎举办的第33届夏季奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，比上一届多了3枚．其中金牌40枚，与美国代表团并列排名世界第一位，银牌数与铜牌数的比是9：8．中国体育代表团在本届奥运会获得铜牌多少枚？ 【分析】设银牌数与铜牌数分别为9x枚，8x枚．构建方程求解． 【解答】解：设银牌数与铜牌数分别为9x枚，8x枚． 由题意9x+8x+40＝91， 解得x＝3． 9×3＝27，8×3＝24， 答：中国体育代表团在本届奥运会获得铜牌24枚． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题时的关键是正确寻找等量关系构建方程解决问题． 4．某种中药含有甲、乙、丙三种草药，它们的质量比是2：3：7．现在要配制1440g这种中药，则这三种草药分别需要多少克？ 【分析】根据三种草药成分的质量比是2：3：7．设未知数，再由中药总重量为1440g列方程，解出即可． 【解答】解：设甲草药需要2x克、乙草药需要3x克、丙草药需要7x克， 根据题意得：2x+3x+7x=1440， x=120， 2x=2×120=240，3x=3×120=360，7x=7×120=840， 答：甲需要240克，乙需要360克，丙需要840克． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，注意每种草药成分的质量比，根据质量比设未知数是本题的关键． 5．一个三角形3条边长的比是2：4：5，最长的一条边比最短的一条边长6cm，求这个三角形的周长． 【分析】设比中每一份为未知数，表示出三角形最长的边长和最短的边长，进而根据最长的一条边﹣最短的一条边长＝6cm可得比中每一份的值，进而求得三角形的三边长，相加即可． 【解答】解：设其中一份为k（k＞0），则三角形三条边长分别为2kcm，4kcm，5kcm， 三角形周长为11kcm， 由题意得：5k﹣2k＝6， 解得：k＝2， ∴11k＝11×2＝22（cm）． 答：三角形的周长为22cm． 【点评】考查一元一次方程的应用，得到最长边与最短边的等量关系是解决本题的关键；注意出现比的问题时，应设比中每一份为未知数． 6．（2023春•明水县期末）学校新购进一批图书，按4：5：6分给六、七、八三个年级，已知六年级比八年级少分得40本，七年级分的图书多少本？ 【分析】设七年级分得图书x本，则六年级分得本、八年级分得本，根据等量关系列方程求解即可． 【解答】解：设七年级分得图书x本，则六年级分得本、八年级分得本， 由题意得， ， 解得x＝100． 答：七年级分得图书100本． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，按比例设未知数列方程是解本题的关键． 7．学生90人编成三组参加义务劳动，甲组与乙组的人数之比为3：2，乙组与丙组的人数之比为7：5，求各组的人数． 【分析】利用各组人数之间的比例可设甲组有21x人，乙组有14x人，丙组有10x人，根据三组共90人，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设甲组有21x人，乙组有14x人，丙组有10x人， 依题意，得：21x+14x+10x＝90， 解得：x＝2， ∴21x＝42，14x＝28，10x＝20． 答：甲组有42人，乙组有28人，丙组有20人． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型六 配套问题 解题技巧提炼 配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例. 1．（2024•渝中区校级三模）某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程（　　） A．4×720x＝120（10﹣x） B．720x＝120（10﹣x） C． D． 【分析】设应该安排x天生产桌腿，则安排（10﹣x）天生产桌面，根据每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，列出一元一次方程即可． 【解答】解：设应该安排x天生产桌腿，则安排（10﹣x）天生产桌面， 根据题意得：120（10﹣x）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 2．（2023秋•楚雄州期末）某口罩生产车间有13名工人生产口罩面和耳绳，每人每天平均生产口罩面400个或耳绳500根，一个口罩面要配两根耳绳．为了使每天的口罩刚好配套，应该分配 　 名工人生产耳绳． 【分析】设应安排x名工人生产口罩面，（13﹣x）名工人生产耳绳，由于一个口罩面需要配两根耳绳，所以每天生产的耳绳的个数是口罩面个数的2倍，根据这一相等关系列方程求出x的值即可． 【解答】解：设应安排x名工人生产口罩面，（13﹣x）名工人生产耳绳， 根据题意得2×400x＝500（13﹣x）， 解得x＝5， ∴13﹣x＝13﹣5＝8， 即：应安排8名工人生产耳绳． 故答案为：8． 【点评】此题考查了列一元一次方程解应用题等知识与方法，设应安排x名工人生产口罩面，正确地用含x的代数式表示生产的口罩面和耳绳的个数是解题的关键． 3．（2023春•惠州期末）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有100张铁皮，用 　 　张铁皮制作盒身，正好使得这100张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 【分析】设用x张铁皮制作盒身，则用（100﹣x）铁皮制作盒底，根据制作的盒底总数量是制作盒身总数量的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设用x张铁皮制作盒身，则用（100﹣x）铁皮制作盒底， 依题意得：2×16x＝48（100﹣x）， 解得：x＝60， ∴用60张铁皮制作盒身，正好使得这100张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 故答案为：60． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2023秋•凉州区期末）列方程解应用题：某车间有15个工人，生产水桶、扁担两种商品；已知每人每天平均能生产水桶80个或扁担110个，则应分配多少人生产水桶、多少人生产扁担，才能使每天生产的水桶和扁担刚好配套？（每2个水桶和1个扁担配成一套） 【分析】设分配x人生产水桶，则分配（15﹣x）人生产扁担，由题意：每人每天平均能生产水桶80个或扁担110个，且每2个水桶和1个扁担配成一套，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设分配x人生产水桶，则分配（15﹣x）人生产扁担，才能使每天生产的水桶和扁担刚好配套， 由题意得：80x＝2×110（15﹣x）， 解得：x＝11， 则615﹣x＝15﹣11＝4． 答：分配11人生产水桶，4人生产扁担，才能使每天生产的水桶和扁担刚好配套． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•巴林左旗期末）在手工制作课上，老师组织初一（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．初一（2）班共有学生45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，并且每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个． （1）初一（2）班有男生、女生各多少人？ （2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【分析】（1）设初一（2）班有女生x人，则利用男生的人数比女生人数的2倍少24人，得出等式方程求出即可； （2）利用每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个以及筒身配两个筒底，得出等式方程求出即可． 【解答】解：（1）设初一（2）班有女生x人， 依据题意得出：x+（2x﹣24）＝45， 解得：x＝23，则45﹣23＝22， 答：初一（2）班有男生22人、女生23人； （2）设分配剪筒身的学生为x人， 依据题意得出：60x×2＝150（45﹣x）， 解得：x＝25，则45﹣25＝20． 答：应该分配剪筒身的学生为25人，分配剪筒底的为20人． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据筒身配两个筒底得出等式方程进而求出是解题关键． 6．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【分析】（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，根据该工厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人， 由题意得：（2x﹣200）+x＝1000， 解得：x＝400， ∴2x﹣200＝2×400﹣200＝600， 答：生产盲盒A的工人人数为600人； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B， 由题意得：3×20m＝2×10（1000﹣m）， 解得：m＝250， ∴1000﹣m＝1000﹣250＝750， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型七 “盈不足”问题 解题技巧提炼 “盈不足”问题----“表示同一个量的不同式子相等”是解决此类问题中的一个基本相等关系. 1．（2023秋•长兴县期末）七年级学生计划乘客车去春游，如果减少一辆客车，每辆车正好坐60人．如果增加一辆客车，每辆正好坐45人，则七年级共有学生（　　） A．240人 B．300人 C．360人 D．420人 【分析】学生数为未知量，每辆车的载重学生数是已知的，应根据等量关系：每辆车坐60人所需车辆数+1＝每辆车坐45人所需车辆数﹣1列方程解答即可． 【解答】解：设七年级共有x名学生 则根据题意有：11， 解得x＝360． 答：七年级共有360名学生． 故选：C． 【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找到关键描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 2．（2023秋•市北区校级期末）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有快递员（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【分析】设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值． 【解答】解：设该分派站有x个快递员， 依题意得：10x+6＝12x﹣6， 解得：x＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2024秋•南岗区校级月考）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺40本．则这个班有 　 名学生． 【分析】设这个班有x名学生，根据如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺40本．列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设这个班有x名学生， 根据题意得：3x+20＝5x﹣40， 解得：x＝30， 即这个班有30名学生， 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．某制造工厂计划若干天完成一批玩具的订货任务，如果每天生产玩具20个，那么就比订货任务少生产100个；如果每天生产玩具23个，那么就可超过订货任务20个，求原计划几天完成任务？ 【分析】设原计划用x天完成任务，根据题意可得等量关系为：订货任务是一定的，据此列方程求解． 【解答】解：设原计划用x天完成任务，依题意有 20x+100＝23x﹣20， 3x＝120， 解得：x＝40． 答：原计划40天完成任务． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 5．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量． 【分析】设该客车的载客量为x人，根据去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设该客车的载客量为x人， 根据题意得：4x+30＝5x﹣10， 解得：x＝40． 答：该客车的载客量为40人． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．（2024•碑林区校级模拟）某车间为提高工作效率，配置了自动化零件检测设备，现对一批零件进行检测，若每套设备每小时检测700个零件，则经过1小时，剩下300个零件未检测；若每套设备每小时检测750个零件，则经过1小时，剩下50个零件未检测；请问该车间配置了多少套这样的检测设备？ 【分析】先设该车间配置了x套这样的检测设备，再根据若每套设备每小时检测700个零件，则经过1小时，剩下300个零件未检测；若每套设备每小时检测750个零件，则经过1小时，剩下50个零件未检测，即可列出方程700x+300＝750x+50，然后求解即可． 【解答】解：设该车间配置了x套这样的检测设备， 由题意可得：700x+300＝750x+50， 解得x＝5， 答：该车间配置了5套这样的检测设备． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 7．（2023秋•新丰县期末）用方程解决问题：元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．请问： （1）全班共有多少名同学？ （2）班长共买了多少颗糖果？ 【分析】（1）设全班共有x名同学，根据“若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可， （2）将（1）的结果代入（3x+25）中即可求出班长购买糖果的数量． 【解答】解：（1）设全班共有x名同学， 依题意得：3x+25＝4x﹣20， 解得：x＝45， 答：全班共有45名同学． （2）3x+25＝3×45+25＝160． 答：班长共买了160颗糖果． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型八 比赛积分问题 解题技巧提炼 比赛积分问题: 比赛总场数＝ 胜场数＋ 负场数＋平场数. 比赛总积分＝ 胜场积分＋ 负场积分＋平场积分. 1．（2023秋•西乡塘区校级期中）某次篮球比赛计分规则为：胜一场积2分，负一场积1分，没有平场，八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分，那么八一队胜了（　　）场． A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】设八一队胜了x场，根据共赛14场，得了23分，列出方程，然后求解即可． 【解答】解：设八一队胜了x场，根据题意得： 2x+（14﹣x）＝23， 解得：x＝9， 答：八一队胜了9场； 故选：D． 【点评】此题主要考查了一元一方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找． 2．（2024秋•南岗区校级月考）某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（　　）场． A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】设负场数为x，则平场数是2x，胜场数为8﹣x﹣2x＝8﹣3x，根据胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分进行列式计算，即可作答． 【解答】解：依题意，设负场数为x， 则平场数是2x，胜场数为8﹣x﹣2x＝8﹣3x， ∵胜一场得（3分），平一场得（1分），负一场不得分， ∴3（8﹣3x）+2x＝17， 整理得，﹣7x+7＝0， ∴x＝1， 则8﹣3x＝8﹣3＝5（场）， 所以该队胜了5场， 答：该队胜了5场， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 3．（2023春•淮北期末）某校规定期中考试成绩的40%与期末考试成绩的60%的和作为学生总成绩．该校小红期中数学考了80分，期末考了90分，则她的学期数学总成绩为 　 　分． 【分析】设小红的学期数学总成绩为x分，根据期中考试成绩的40%与期末考试成绩的60%的和作为学生总成绩，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设小红的学期数学总成绩为x分， 由题意得：x＝80×40%+90×60%， 解得：x＝86， 即小红的学期数学总成绩为86分， 故答案为：86． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2023秋•路北区期中）某足球协会举办一次足球赛，规则是：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．某球队比赛结果是胜5场平3场输4场，则该球队得 　 　分． 【分析】设该球队得x分，根据“胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．某球队比赛结果是胜5场平3场输4场”，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设该球队得x分， 由题意得：x＝5×3+3×1+4×0， 解得：x＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．（2024•南岗区校级开学）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了2个参赛者的得分情况，参赛者C得76分，他答对了 　 道题． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 【分析】设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝76分建立方程求出其解即可． 【解答】解：根据表格得出答对一题得5分，再算出错一题扣1分， 设参赛者C答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，由题意，得， 5x﹣（20﹣x）＝76， 解得：x＝16． 答：参赛者C得76分，他答对了16道题． 故答案为：16． 【点评】本题考查了一元一次方程的运用，结论猜想试题的运用，解答时关键答对的得分+加上答错的得分＝总得分是关键． 6．（2023秋•花都区期末）某中学举行“我爱祖国”知识竞答比赛，规定每个选手共要答20道题，每答对一题得5分，不答或答错一题扣2分． （1）设选手小明答对x题，则小明不答或答错共 　　 题（用含x的代数式表示）； （2）若小明最终的成绩为65分，求小明答对了多少道题？ 【分析】（1）根据每个选手共要答20道题，小明答对x题，可得出小明不答或答错（20﹣x）题； （2）利用得分＝5×答对题目数﹣2×不答或答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：（1）∵每个选手共要答20道题， ∴选手小明答对x题，则小明不答或答错共（20﹣x）题， 故答案为：（20﹣x）； （2）由（1）得：5x﹣2（20﹣x）＝65， 解得x＝15， 答：小明答对了15道题． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．（2023秋•甘肃期末）为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 人均奖金 1500元 700元 0 当比赛进行到每队比赛完12场时，A队共积分20分，并且没有负一场． （1）试判断A队胜、平各几场？ （2）每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后，A队每名队员所得奖金与出场费累计为多少元？ 【分析】（1）设A队胜利x场，则平了12﹣x场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【解答】解：（1）设A队胜利x场， ∵一共打了12场， ∴平了（12﹣x）场， ∴3x+（12﹣x）＝20， 解得：x＝4，12﹣4＝8（场）． 答：A队胜4场，平8场． （2）∵每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元， 赢了4场，奖金为1500×4＝6000元， 平了8场，奖金为700×8＝5600元， ∴奖金加出场费一共17600元； 答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设A队胜利x场，列出方程求解是解题的关键． 题型九 增长（下降）率问题 解题技巧提炼 解这类问题的基本等量关系式是： 原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量. 1．某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同，2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元，2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（　　） A．720元 B．800元 C．880元 D．1080元 【分析】设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元，依据“2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同”列出方程并解答． 【解答】解：设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元， 依题意得 100x＝（x﹣80）×100×（1+10%）， 解得x＝880． 即1月份每辆车售价为880元． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到“2月份每辆车的售价”和“2月份是销售总量”是解题的突破口． 2．某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%．则a的值为（　　） A．8 B．6 C．3 D．2 【分析】把第一季度的销售额看作单位1，根据题意可得关于a的方程式，求解可得答案． 【解答】解：把第一季度的销售额看作单位1； 则有56%×（1+23%）+（1﹣56%）•（1﹣a%）＝1+12%， 解可得：a＝2； 故选：D． 【点评】这里注意要把第一季度的销售额看作整体1．根据两种不同的表示方法表示第二季度的销售额列方程求解． 3．某工厂甲乙两个车间计划每月生产3600个零件，上月甲车间产量比原计划增长了12%，乙车间产量比原计划增长了10%，因此两车间共生产了4000个零件，那么甲、乙车间上月实际生产的零件数分别是　 　． 【分析】根据题意设甲车间计划生产x个零件，则乙车间计划生产（3600﹣x）个零件，利用上月甲车间产量比原计划增长了12%，乙车间产量比原计划增长了10%，则两车间共生产了4000个零件，进而得出等式求出答案． 【解答】解：设甲车间计划生产x个零件，则乙车间计划生产（3600﹣x）个零件，根据题意可得： x（1+12%）+（3600﹣x）（1+10%）＝4000， 解得：x＝2000， 则3600﹣2000＝1600（件）， 故甲车间实际生产零件：2000×（1+12%）＝2240（件）， 乙车间实际生产零件：（3600﹣2000）×（1+10%）＝1760（件）． 故答案为：2240件，1760件． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出甲、乙两车间生产的零件个数是解题关键． 4．为了帮助边远山区学校的孩子丰富阅读，发扬中华民族互帮互助的传统美德．主城某中学在对口援助边远山区学校无偿赠书活动中，原计划初中部和高中部共赠书3000册，其中高中部计划赠书比初中部计划赠书的2倍少600本． （1）主城某中学初中部原计划赠书多少册？ （2）由于学生积极响应，初中部实际赠书比原计划多2a%．高中部实际赠书比原计划多3a%，初中部和高中部实际一共赠书比原计划一共赠书多10（7a+8）册，求a的值． 【分析】（1）设初中部原计划赠书x册，则高中部计划赠书（2x﹣600）册，根据原计划初中部和高中部共赠书3000册列方程即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）设初中部原计划赠书x册，则高中部计划赠书（2x﹣600）册， 根据题意得：x+2x﹣600＝3000， 解得：x＝1200（册）， 答：主城某中学初中部原计划赠书1200册； （2）由（1）知高中部原计划赠书2×1200﹣600＝1800（册）， 根据题意得：1200（1+2a%）+1800（1+3a%）＝3000+10（7a+8）， 解得：a＝10， 答：a的值为10． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 5．山水市去年居民的人均收入为11664元，与前年相比增长8%，扣除价格上涨因素，实际增长6.5%． （1）山水市前年居民的人均收入为多少元？ （2）在山水市，去年售价为1000元的商品在前年的售价为多少元？ 【分析】（1）设山水市前年居民的人均收入为x元，根据去年居民的人均收入为11664元，可得出方程，解出即可； （2）设去年售价为1000元的商品在前年的售价为y元，根据实际增长6.5%，去年售价为1000元，可得出方程，解出即可． 【解答】解：（1）设山水市前年居民的人均收入为x，由题意得 x（1+8%）＝11664， 解得：x＝10800． 故山水市前年居民的人均收入为10800元． （2）设去年售价为1000元的商品在前年的售价为y元，由题意得 （1+6.5%）y＝1000， 解得：y≈938.97． 故去年售价为1000元的商品在前年的售价约为938.97元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，设出未知数，根据等量关系建立方程，难度一般． 6．（2023•贵池区二模）某地组建了一个50人的医务团队，计划一天时间完成对当地53400人的核酸检测，指挥中心决定将该医务团队医生分为“单检组”和“混检组”开展检测工作，且“混检组”的医生人数比“单检组”的医生人数的多10人． （1）求“单检组”的医生人数： （2）原计划“混检组”每名医生检测2000人，“单检组”每名医生检测300人．检测工作开始后，“单检组”每名医生的检测人数在原计划的基础上增加了a%，“混检组”每名医生的检测人数在原计划的基础上增加了10%；由于临时工作需要，实际参与“混检组”的医生人数减少了a%，经过共同努力，当天全部找时完成了核酸检测任务．求a的值． 【分析】（1）设“单检组”的人数为x，则“混检组“的人数为（50﹣x）人，根据“混检组“的人数列出方程，解方程即可； （2）根据“单检组”检测的人数+“混检组“检测的人数＝53400列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设“单检组”的人数为x，则“混检组”的人数为（50﹣x）， 根据题意得：50﹣x＝x+10， 解得：x＝20， 答：“单检组”的医生有20人； （2）依题意：“混检组”实际检测人数为30×2000（1+10%）（1a%） “单检组”检测人数为20×300（1+a%）， 由题意得：20×300（1+a%）+30×2000（1+10%）（1a%）＝53400， 解方程得：a＝20． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程． 题型十 银行储蓄问题 解题技巧提炼 银行储蓄问题： ①利息=本金×利率×期数； ②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期数）； ③实得利息=利息-利息税； ④利息税=利息×利息税率； ⑤年利率=月利率×12． 1．（2023秋•肇源县校级期中）笑笑把1000元的压岁钱存入银行，一年后，他共取回1025元，银行的年利率是（　　） A．2.00% B．0.25% C．2.50% D．2.25% 【分析】利用本息和＝本金+利息，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论． 【解答】解：设银行的年利率是x， 依题意得：1000+1000x＝1025， 解得：x＝0.025＝2.5%， ∴银行的年利率是2.5%． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2023秋•上杭县校级月考）按国家2021年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金）中，扣除国家规定的免税部分5000元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳税所得额不超过3000元的税率为3%，超过3000元至12000元部分的税率为10%，若小明妈妈某月缴了145元的个人所得税，则她的月工资是（　　） A．8550元 B．7500元 C．6500元 D．6000元 【分析】设小明妈妈某月工资为x元，则应缴个人所得税额为（x﹣5000）元，由税率×税额＝税金，建立方程求出其解即可． 【解答】解：设小明妈妈某月工资为x元，则应缴个人所得税额为（x﹣5000）元，由题意，得3%×3000+10%（x﹣5000﹣3000）＝145， 解得：x＝8550． 答：小明妈妈的月工资是8550元． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，税率×税额＝税金的运用，分段计费的计算方法的运用，解答时根据应缴个人所得税145元建立方程是难点． 3．一年定期存款的年利率为1.98%，到期取款时须扣除利息的20%作为利息税上缴国库．假若小颖存一笔一年定期储蓄，到期扣除利息税后实得利息158.4元，那么她存入的人民币是 　 　元． 【分析】要求她存入的人民币是多少，就要明白：利息＝本金×利率×时间×（1﹣税率），然后依此公式设未知数列出方程计算． 【解答】解：设她存入的人民币是x元，则有 1.98%×（1﹣20%）x＝158.4， 解得：x＝10 000． 故填10 000． 【点评】此题首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 4．小明妈妈在一家银行存了5000元钱，一年后取出本息和为5125元（没有利息税），则这家银行储蓄的年利率是 　 ． 【分析】设这家银行储蓄的年利率是x，根据本息和＝本金×（1+年利率）即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这家银行储蓄的年利率是x， 根据题意得：5000（1+x）＝5125， 解得：x＝0.025． 故答案为：0.025． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键． 5．爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄（3年期的年利率为2.7%），3年后能取5405元，那么刚开始他存入多少元？ 【分析】等量关系为：本金×（1+3×年利率）＝5405，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：设存入x元， 则：（1+2.7%×3）×x＝5405． 解得：x＝5000． 答：刚开始小明的爸爸存入5000元． 【点评】解决本题的关键是得到本息和的等量关系；注意教育储蓄不用出利息税． 6．小明的爸爸开了一家运动品商店，近期商店购进一批运动服，按进价提高40%后打八折出售，这时每套运动服的售价为140元． （1）求每套运动服的进价？ （2）运动服卖出一半后，正好赶上双十一促销，商店决定将剩下的运动服每3套400元的价格出售，很快销售一空，后一半促销获利5000元，求小明的爸爸共购进多少套运动服？ （3）最后，小明的爸爸决定将整批运动服的利润当做小明的教育基金存入银行，已知该银行3年期的固定储蓄年利率为2.7%，求3年后取出的本息和为多少元？ 【分析】（1）设每套运动服的进价为x元，根据打折后每套运动服的售价为140元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小明的爸爸共购进y套运动服，根据后一半促销获利5000元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据本息和＝本金×（1+利润率×年限），即可求出结论． 【解答】解：（1）设每套运动服的进价为x元， 依题意，得：0.8×（1+40%）x＝140， 解得：x＝125． 答：每套运动服的进价为125元． （2）设小明的爸爸共购进y套运动服， 依题意，得：（400﹣125×3）5000， 解得：y＝1200． 答：小明的爸爸共购进1200套运动服． （3）[1200÷2×（140﹣125）+5000]×（1+2.7%×3）＝15134（元）． 答：3年后取出的本息和为15134元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型十一 分段计费问题 解题技巧提炼 解决计费问题的关键是弄清计费方式.常见的类型有：（1）已知用电量（用水量、上网时间等），求应缴的费用；（2）已知缴费的钱数，求用电量（用水量、上网时间等）.此外还要抓住分界点. 1．（2023秋•市南区期末）大润发和贵城两家超市相同商品的标价相同，在2022新年即将到来之际，两大超市分别推出如下促销活动： 大润发超市：全场均按八五折优惠； 贵城超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打八八折；超过500元时，其中的500元优惠12%，超过500元的部分打八折； （1）当购物总额是多少时，大润发、贵诚两家超市实际付款相同？ （2）某顾客在贵城超市购物实际付款490元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由． 【分析】（1）设购物总额为x元时，大润发、贵诚两家超市实际付款相同，根据两大超市的促销活动结合在两家超市实际付款相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）该顾客的选择不划算，设该顾客在贵城超市购物原标价为y元，根据贵城超市推出的促销活动结合实际付款490元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，利用在大润发超市购买实际付款金额＝购物的原标价×85%，即可求出在大润发超市购买实际付款金额，再将其与490标价后即可得出该顾客的选择不划算． 【解答】解：（1）设购物总额为x元时，大润发、贵诚两家超市实际付款相同， 依题意得：85%x＝500×（1﹣12%）+80%（x﹣500）， 解得：x＝800． 答：当购物总额是800元时，大润发、贵诚两家超市实际付款相同． （2）该顾客的选择不划算，理由如下： 设该顾客在贵城超市购物原标价为y元， 依题意得：500×（1﹣12%）+80%（y﹣500）＝490， 解得：y＝562.5， 若在大润发超市购买实际付款金额为562.5×85%＝478.125（元）． ∵478.125＜490， ∴该顾客的选择不划算． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2024秋•苏州期中）某打车软件计价内容含起步价（不超过3公里部分的里程费用）、里程费（超出3公里部分的里程费用）和时长费三部分，计价标准如下： 时段 起步价 里程费单价 时长费单价 5：00﹣7：00 9：00﹣23：00 9.00元 1.50元/公里 0.40元/分钟 其他时段 10.00元 2.50元/公里 0.45元/分钟 （1）张阿姨17：00用这款软件打车回家，里程为5公里，用时15分钟，求张阿姨需要支付的车费； （2）李叔叔8：00用这款软件打车去相距2.8公里的单位，共支付车费14.5元，求李叔叔乘车的时长． 【分析】（1）利用张阿姨需要支付的车费＝起步价+里程费单价×（5﹣2）+时长费单价×时长，即可求出结论； （2）设李叔叔乘车的时长为x分钟，利用李叔叔支付的车费＝起步价+时长费单价×时长，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：9+1.5×（5﹣3）+0.4×15 ＝9+1.5×2+0.4×15 ＝9+3+6 ＝18（元）． 答：张阿姨需要支付的车费为18元； （2）设李叔叔乘车的时长为x分钟， 根据题意得：10+0.45x＝14.5， 解得：x＝10． 答：李叔叔乘车的时长为10分钟． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 3．（2024秋•绥棱县校级期中）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回家的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含10人）没有优惠：团购：超过10人，其中10人按原价售票，超出部分每张票打八折． （1）若有8名学生乘客买票，则总票款为 　 　元； （2）若20名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 　 元； （3）一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数则按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【分析】（1）根据题目所给优惠方案进行计算即可； （2）根据题意所给优惠方案进行计算即可； （3）设车上有学生乘客x人，非学生乘客（50﹣x）人，然后根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 75×8×0.6＝360（元）， 故答案为：360； （2）由题意可得， 75×10+75×（20﹣10）×0.8＝1350（元）， 故答案为：1350． （3）设车上有学生乘客x人，非学生乘客（50﹣x）人， 当x＜40时，75x×0.6+75×10+75×（50﹣x﹣10）×0.8＝3000， 解得：x＝10， ∴50﹣x＝40； 当x≥40时，75x×0.6+75×（50﹣x）＝3000， 解得x＝25（不符合题意，舍去）， 答：车上有学生乘客10人，非学生乘客40人． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，列出相应的方程是解答本题的关键． 4．（2023春•重庆期中）网约打车已成为人们打车出行的首选，设网约打车的行车计费规则如下表： 项目 起步费 时长费 里程费 远途费 单价 12元 0.5元/分钟 2.0元/千米 1.0元/千米 乘客车费由起步费、时长费、里程费、远途费四部分构成．其中时长费按行车的实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程15千米以内（含15千米）不收远途费，超过15千米的，超出部分每千米收1.0元． （1）王老师网约打车，行车里程为20千米，王老师所付车费为69.5元，则行车时间为多少分钟？ （2）小红和小兰同学各自网约打车，行车里程分别是14千米和16千米，若小红的乘车时间是小兰的乘车时间的1.5倍，且两人所付车费相同，则他们的行车时间各是多少分钟？ 【分析】（1）将王老师的行车时间设为x，根据车费列方程求解即可． （2）设小兰的行车时间为x分钟，则小红的行车时间为1.5x分钟，根据两人所付车费相同，列方程求解即可． 【解答】解：（1）设王老师的行车时间为x分钟，根据题意列方程得： 12+0.5x+40+（20﹣15）＝69.5， 解方程，得x＝25． 答：王老师的行车时间为25分钟． （2）设小兰的行车时间为x分钟，则小红的行车时间为1.5x分钟，根据题意列方程得： 12+0.5×1.5x+14×2＝12+0.5x+16×2+（16﹣15）， 解方程，得x＝20，则1.5x＝30． 答：小兰的行车时间为20分钟，小红的行车时间为30分钟． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，其中涉及到有理数的混合运算考点．解题的关键是根据题意找到相等关系，解方程过程中注意巧用运算律． 5．（2023秋•新都区期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻．已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，规定了居民生活用电的阶梯收费标准如表： 价目表 每月用电量 价格 不超过180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超过280千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 （1）若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费； （2）若小明家8月份用电a千瓦时（其中a＞280），则应缴多少电费；（用含a的代数式表示，并化简） （3）若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时． 【分析】（1）由小明家8月份用电200千瓦时，可知小明家8月份电费应分两部分计算； （2）由a＞280，可知小明家8月份电费应分3部分计算； （3）先根据缴电费326元判断用电量的范围，再求解即可． 【解答】解：（1）180×0.5+（200﹣180）×0.6＝102（元）， 答：应缴电费102元； （2）180×0.5+（280﹣180）×0.6+（a﹣280）×0.8＝（0.8a﹣74）（元）， 答：应缴（0.8a﹣74）元电费； （3）由于用电280千瓦时应缴电费为0.8×280﹣74＝150元，而326＞150， 所以用电量超过了280千瓦时， 故由（2）得0.8a﹣74＝326， a＝500， 答：小明家8月份用电500千瓦时． 【点评】本题考查了整式加减的应用，解一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的解法，根据题意列式或列方程是解题关键． 6．（2023秋•淮滨县期末）小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件． （1）现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买200件，第二次购买500件； ②一次性购买700件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． （2）若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件． 【分析】（1）利用总价＝单价×数量，分别求出选择方案①②所需费用，比较做差后可得出购买方案②费用较省； （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品（700﹣x）件，分0＜x＜200，200≤x≤300二种情况考虑，利用总价＝单价×数量，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为3×200+2.5×500＝1850（元）， 购买方案②所需费用为2×700＝1400（元）． ∵1850＞1400， ∴购买方案②费用较省． （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品（700﹣x）件． ①当0＜x＜200时，3x+2（700﹣x）＝1860， 解得：x＝460（不合题意，舍去）； ②200≤x≤300时，3x+2.5（700﹣x）＝1860， 解得：x＝220， ∴700﹣x＝700﹣220＝480． 答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键：（1）利用总价＝单价×数量，分别求出选择方案①②所需费用；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 7．（2023秋•漯河期末）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 0.5 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 0.7 第三档 大于450时，超出450的部分 1 （1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 　 元． （2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？ 【分析】（1）根据分段计费原则直接计算即可； （2）设五月份用电为x度，则六月份用电为（500﹣x）分情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）200×0.5+（300﹣200）×0.7＝170（元）， 故答案为：170； （2）设五月份用电为x度，则六月份用电为（500﹣x）， 当x≤200时， 根据题意得0.5x+200×0.5+（500﹣x﹣200）×0.7＝290， 解得x＝100， 则500﹣x＝400， ∴五月份用电100度，六月份用电400度； 当200＜x＜250时， 根据题意得200×0.5+（x﹣200）×0.7+200×0.5+（500﹣x﹣200）×0.7＝290， 此时无解舍去， 综上，五月用电为100度六月份用电400度． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 题型十二 数轴上的动点运动问题 解题技巧提炼 解决计费问题的关键是弄清计费方式.常见的类型有：（1）已知用电量（用水量、上网时间等），求应缴的费用；（2）已知缴费的钱数，求用电量（用水量、上网时间等）.此外还要抓住分界点. 1．（2024秋•临河区校级月考）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过 　 秒2只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度． 【分析】分为2只电子蚂蚁相遇前相距25个单位长度和相遇后相距25个单位长度，根据距离除以速度等于时间即可求得答案． 【解答】解：当两只电子蚂蚁相遇前在数轴上相距25个单位长度时，则需要的时间为（90+10﹣25）÷（3+2）＝15秒， 当两只电子蚂蚁相遇后在数轴上相距25个单位长度时，则需要的时间为（90+10+25）÷（3+2）＝25秒， 综上，经过15秒或25秒满足题意， 故答案为：15或25． 【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，熟练掌握数轴上两点距离计算是关键． 2．（2024秋•天宁区校级月考）如图，已知点A在数轴上，点A表示的数为﹣10．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从原点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过　 　秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 【分析】分两种情况：①点M、N在点O的两侧时，②点M、N重合时，分别列方程求解即可． 【解答】解：设经过t秒，点M、点N分别到原点O的距离相等， ①点M、N在点O的两侧时，10﹣4t＝t， 解得t＝2s， ②点M、N重合时，4t﹣10＝t， 解得， ∴经过2s或，点M、点N分别到原点O的距离相等， 故答案为：2s或． 【点评】此题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 3．（2023秋•文山市期末）若数轴上点A，B所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，即AB＝|a﹣b|或|b﹣a|．已知点A，B在数轴上，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足|a+5|+（b﹣4）2＝0． （1）求点A，B两点之间的距离AB； （2）如果点P，Q分别同时从点A，B出发，沿数轴相向运动，点P每秒走1个单位长度，点Q每秒走2个单位长度，经过几秒P，Q两点相遇？此时点P，Q对应的数是多少？ 【分析】（1）先根据非负性求得a，b，然后根据两点之间距离的公式求解即可； （2）设经过t秒P，Q的两点相遇，然后根据相遇列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵|a+5|+（b﹣4）2＝0， ∴a+5＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝﹣5，b＝4， ∴AB＝|b﹣a|＝|4﹣（﹣5）|＝9， ∴点A，B两点之间的距离AB＝9； （2）设经过t秒P，Q的两点相遇， 根据题意得：t+2t＝9， 解得：t＝3， 点P，Q对应的数：﹣5+t＝﹣5+3＝﹣2， 答：经过3秒P，Q两点相遇，对应数是﹣2． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴、非负数的性质，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2023秋•蚌山区期末）已知数轴上的A，B两点分别对应有理数a和b，且满足|b+8|+（a﹣4）2＝0． （1）a＝　 ，b＝　 　； （2）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴负半轴运动，那么运动多少秒时PA＝3PB？ （3）已知点C在数轴上对应的数为20，若点P，Q分别从点A、B出发，分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向C点运动，直至Q点到C点时停止，那么当PQ＝4时，求Q点对应的数． 【分析】（1）利用非负数的性质得到b+8＝0，a﹣4＝0，求解即可； （2）设运动时间为x（秒），根据题意得到点P表示的数，进而表示PA，PB，以此列出方程，求解即可； （3）运动时间为t（秒），根据题意得到点P，Q表示的数，由Q点到C点时停止得出t的取值范围，再利用PQ＝4列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵|b+8|+（a﹣4）2＝0， ∴b+8＝0，a﹣4＝0， 解得：b＝﹣8，a＝4， 故答案为：4，﹣8． （2）设运动时间为x（秒），由题意可得，点P表示的数为4﹣2x， 则PA＝2x，PB＝|4﹣2x﹣（﹣8）|＝|12﹣2x|， 当PA＝3PB时，2x＝3×|12﹣2x|， 解得：x＝9或x， ∴运动9或秒时，PA＝3PB． （3）运动时间为t（秒）， 根据题意得，点P表示的数为4+2t，点Q表示的数为4t﹣8，0＜t≤7， ∴PQ＝|4t﹣8﹣（4+2t）|＝|2t﹣12|， 当PQ＝4时，|2t﹣12|＝4， 解得：t＝4或t＝8（舍去）， 此时，点Q表示的数为4×4﹣8＝8． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 5．（2023秋•章丘区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 　，点P表示的数是 （用含t的式子表示）； （2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM﹣PN的值； （3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？ 【分析】（1）由（a﹣10）2+|b+6|＝0可得a＝10，b＝﹣6，即可得到答案； （2）M表示的数是10﹣4t，N表示的数是2﹣4t，可得PM＝4t，PN＝4t﹣8，即得PM﹣PN＝4t﹣（4t﹣8）＝8； （3）Q表示的数是﹣6﹣4t，可得|（﹣6﹣4t）﹣（10﹣8t）|＝4，即可解得答案． 【解答】解：（1）∵（a﹣10）2+|b+6|＝0， ∴a﹣10＝0，b+6＝0， ∴a＝10，b＝﹣6， ∴点A表示的数是10，点B表示的数是﹣6，点P表示的数是10﹣8t； 故答案为：10，﹣6，10﹣8t； （2）∵点P在点B的左侧运动，M、N分别是PA、PB的中点， ∴M表示的数是10﹣4t，N表示的数是2﹣4t， ∴PM＝（10﹣4t）﹣（10﹣8t）＝4t，PN＝（2﹣4t）﹣（10﹣8t）＝4t﹣8， ∴PM﹣PN＝4t﹣（4t﹣8）＝8； （3）∵动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴Q表示的数是﹣6﹣4t， 又点P表示的数是10﹣8t； ∵P、Q两点相距4个单位长度， ∴|（﹣6﹣4t）﹣（10﹣8t）|＝4， ∴4t﹣16＝4或4t﹣16＝﹣4， 解得t＝5或t＝3， 答：点P运动5秒或3秒时，P、Q两点相距4个单位长度． 【点评】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数． 6．（2024秋•石家庄期中）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，现将A、B之间的距离记作AB，定义AB＝|a﹣b|．若a、b满足|a+5|+（b﹣1）2＝0． （1）点A表示的数 　 ；点B表示的数 　 ；AB＝ 　 　； （2）点P在数轴上对应的数是x，则PB＝ 　 ；如果PB＝3，则x＝ 　 　； （3）若点P表示的数是﹣9，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，求多少秒时，蚂蚁所在的点到点A、点B的距离之和是8？ 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a，b的值，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出AB的长； （2）利用数轴上两点间的距离公式，可找出PB＝|x﹣1|，结合PB＝3，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为t秒时，蚂蚁所在的点对应的数为﹣9+t，根据蚂蚁所在的点到点A、点B的距离之和是8，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵|a+5|+（b﹣1）2＝0， ∴a+5＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣5，b＝1， ∴点A表示的数﹣5，点B表示的数1， ∴AB＝|﹣5﹣1|＝6． 故答案为：﹣5，1，6； （2）根据题意得：点P在数轴上对应的数是x，则PB＝|x﹣1|， ∵PB＝3， ∴|x﹣1|＝3， 即1﹣x＝3或x﹣1＝3， 解得：x＝﹣2或x＝4． 故答案为：|x﹣1|，﹣2或4； （3）当运动时间为t秒时，蚂蚁所在的点对应的数为﹣9+t， 根据题意得：|﹣9+t﹣（﹣5）|+|﹣9+t﹣1|＝8， 即4﹣t+10﹣t＝8或t﹣4+t﹣10＝8， 解得：t＝3或t＝11． 答：3或11秒时，蚂蚁所在的点到点A、点B的距离之和是8． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！44 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第5章 一元一次方程》 5.5 一元一次方程的应用（一） 知识点 一元一次方程的应用 ★1、列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★2、设未知数的常见方法 （1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数。 （2）特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数，即设间接未知数。 （3）在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数，设的辅助未知数一般在求解过程中会消掉，设而不求。 ★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 题型一 和、差、倍、分问题 解题技巧提炼 和、差、倍、分问题； 这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语，仔细读题，找出表示和、差、倍、分关系的关键字，例如:“大，小，多，少，增加，减少......”，并根据题意设出未知数，利用这些关键字表示出含有未知数的量，最后利用题目中的量与量之间的关系列出方程. 1．（2023•上杭县校级开学）牧羊人正在放牧，一个人牵着一只羊问他．“你的羊群有多少只？”牧羊人答道：“这群羊加上一倍，再加上原来羊群的一半．又加上原来羊群的四分之一，算上你牵来的羊，正好满一百只．”请问，牧羊人的羊群有多少只？（　　） A．32只 B．34只 C．36只 D．38只 2．某牧场，放养的鸵鸟和奶牛一共70头，已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196条，则鸵鸟的头数比奶牛多（　　） A．20头 B．14头 C．15头 D．13头 3．（2023秋•兴化市期末）小丽在水果店用18元买了苹果和橘子共6千克，已知苹果每千克3.2元，橘子每千克2.6元．小丽买了苹果和橘子各多少千克？ 4．（2024•旬阳市开学）在一个停车场，汽车、摩托车共有24辆，其中每辆汽车4个轮子，每辆摩托车有3个轮子，这些车共86个轮子，停车场有汽车、摩托车各几辆？（列方程解答） 5．某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装10吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资一次性运完，现有A型、B型车共25辆可调用，并且恰好能把物资一次性运完，则A型车有多少辆？ 6．（2023秋•旅顺口区期中）某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年总产值为550万元．前年的产值是多少？ 7．（2023秋•康巴什期末）某“希望学校”修建了一栋4层的教学大楼，每层楼有6间教室，进出这栋大楼共有3道门（两道大小相同的正门和一道侧门）．安全检查中，对这3道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，2分钟内可以通过400名学生，若一道正门平均每分钟比一道侧门可多通过40名学生． （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这3道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这3道门是否符合安全规定？为什么？ 题型二 工程问题 解题技巧提炼 工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1． 基本关系式： ①总工作量=工作效率×工作时间； ②总工作量=各单位工作量之和． 1．（2024春•宛城区校级月考）某段铁路由甲工程队单独铺设需要40天，由乙工程队单独铺设需要60天．如果由这两个工程队从两端同时相向施工，总共需要（　　） A．20天 B．24天 C．25天 D．30天 2．（2023秋•双台子区期末）从一个蓄水池中抽水，甲抽水机单独抽要12小时抽完，乙抽水机单独抽要15小时抽完，丙抽水机单独抽要20小时抽完，若甲、丙先合抽3小时后乙再加入，则还需（　　）小时可以抽完． A．3 B．4 C．5 D．7 3．（2023秋•南岗区校级期中）整理一批数据，由一个人做需80h完成，现在计划先由一些人做2h，再增加5人做8h，完成这项工作的，则计划的人数是 　 　人． 4．（2024•陕西模拟）某市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？ 5．一段公路甲队独修需30天，乙队独修需20天，甲队独修路10天后，再由甲、乙两队共同修路，还需多少天能修完？ 6．（2023秋•吉林期末）第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，为了迎接亚洲冬季运动会，现要修一条公路，甲工程队单独修需30天完成，乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天． （1）乙工程队单独完成需要多少天？ （2）若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条公路，求甲乙还需合作几天修完这条路？ 7．（2023秋•岳麓区校级期末）某一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成． （1）求乙工程队单独完成该工程所需的天数； （2）若延期完成，则超出的时间公司每天损失0.6万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？ 题型三 几何图形问题 解题技巧提炼 利用一元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解． 1．（2024秋•绿园区校级月考）如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分）．若长方形的周长为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（　　） A．x+（x+2）＝26 B．2x+2（x+2）＝26 C．x+（x﹣2）＝26 D．2x+2（x﹣2）＝26 2．（2024春•衡阳月考）如图所示，一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少4cm，宽增加3cm，就可以围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（　　） A．8，7 B．9，6 C．10，5 D．11，4 3．（2024秋•雁塔区校级期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图①；小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm的小正方形，则每个小长方形的面积为 　 mm2． 4．（2024•西安校级二模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽． 5．（2023秋•张店区期末）如图，小明将一张正方形纸片剪掉一个宽为5cm的长条后，再从剩下的长方形纸片中减去一个宽为3cm的长条，如果第一次剪下的长条面积正好是第二次剪下的长条面积的2倍，那么剪去两个长条后剩下的长方形的面积为多少？ 6．（2023秋•包头期末）如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为5cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6cm的长条． （1）如果两次剪下的长条面积正好相等，那么这个正方形的纸片的面积多少？ （2）第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的2倍吗？如果能，请求出正方形纸片的面积；如果不能，请说明理由． 7．（2023秋•槐荫区期末）悦悦同学周末和爸爸一起到农村参加献爱心志愿者活动，该村的李大爷正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，他提出了几个问题想让悦悦帮忙解决，请你用所学的知识和悦悦一起来思考吧!（篱笆的占地面积忽略不计） （1）如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？ （2）如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？ 题型四 等积变形问题 解题技巧提炼 等积变形问题： 长方体体积=长×宽×高； 圆柱的体积=（h为高，r为底面圆半径）. 变形前后体积相等. 1．（2023秋•会宁县期末）有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 2．（2023秋•和平区校级期末）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积是（　　） A．1280 cm 3 B．2560 cm 3 C．3200 cm 3 D．4000 cm 3 3．（2022秋•市北区校级期末）从一个底面直径为6cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面直径为4cm，高为9cm的空的圆柱形玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯水面下降的高度是 　 　． 4．（2023秋•成都期末）古代数学问题趣题，如图，一个瓶子的容积为1200cm3，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液恰好为瓶子圆柱体部分，液体高度为24cm，当瓶子倒放时，空余部分圆柱体的高度为6cm．则瓶内溶液的体积为 　 　cm3． 5．（2023春•肇源县月考）一个圆柱形鱼缸，底面直径是40cm，高是36cm，里面盛了一些水，把一个底面半径是10cm的圆锥形铁块完全浸入鱼缸中，鱼缸内水面升高2cm．这个圆锥形铁块的高是多少？ 6．（2023秋•玉门市期末）有一位工人师傅将底面直径为10cm，高为80cm的实心圆柱，锻造成底面直径为40cm的实心圆柱，求锻造后圆柱的高是多少？ 7．（2023秋•文成县期中）一个长12cm，宽12cm，高为8cm的长方体容器中装满了水．小明先把容器中的水倒满2个底面半径为3cm，高为5cm的圆柱体杯子，再把剩下的水全部倒入瓶子甲中．当瓶子甲正放时如图1，瓶内溶液的高度为20cm；瓶子甲倒放时如图2，空余部分的高度为5cm．求瓶子甲的容积．（π取3，容器的厚度不计） 题型五 比例问题 解题技巧提炼 利用合并同类项解一元一次方程的一般步骤和方法： （1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并; （2）系数化为 1，即在方程的两边同时除以未知数的系数. 1．（2023秋•江岸区期中）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100t，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为xt，则可列方程为（　　） A．2（x+200）＝5（x﹣100） B．5（x+200）＝2（x﹣100） C．2（x﹣200）＝5（x+100） D．5（x﹣200）＝2（x+100） 2．（2023•凉州区校级开学）一个长方形的周长为36m，它的长与宽的比是5：4，这个长方形的面积 是（　　）m2． A．20 B．80 C．160 D．360 3．（2024•福州开学）在巴黎举办的第33届夏季奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，比上一届多了3枚．其中金牌40枚，与美国代表团并列排名世界第一位，银牌数与铜牌数的比是9：8．中国体育代表团在本届奥运会获得铜牌多少枚？ 4．某种中药含有甲、乙、丙三种草药，它们的质量比是2：3：7．现在要配制1440g这种中药，则这三种草药分别需要多少克？ 5．一个三角形3条边长的比是2：4：5，最长的一条边比最短的一条边长6cm，求这个三角形的周长． 6．（2023春•明水县期末）学校新购进一批图书，按4：5：6分给六、七、八三个年级，已知六年级比八年级少分得40本，七年级分的图书多少本？ 7．学生90人编成三组参加义务劳动，甲组与乙组的人数之比为3：2，乙组与丙组的人数之比为7：5，求各组的人数． 题型六 配套问题 解题技巧提炼 配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例. 1．（2024•渝中区校级三模）某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程（　　） A．4×720x＝120（10﹣x） B．720x＝120（10﹣x） C． D． 2．（2023秋•楚雄州期末）某口罩生产车间有13名工人生产口罩面和耳绳，每人每天平均生产口罩面400个或耳绳500根，一个口罩面要配两根耳绳．为了使每天的口罩刚好配套，应该分配 　 名工人生产耳绳． 3．（2023春•惠州期末）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有100张铁皮，用 　 　张铁皮制作盒身，正好使得这100张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 4．（2023秋•凉州区期末）列方程解应用题：某车间有15个工人，生产水桶、扁担两种商品；已知每人每天平均能生产水桶80个或扁担110个，则应分配多少人生产水桶、多少人生产扁担，才能使每天生产的水桶和扁担刚好配套？（每2个水桶和1个扁担配成一套） 5．（2023秋•巴林左旗期末）在手工制作课上，老师组织初一（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．初一（2）班共有学生45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，并且每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个． （1）初一（2）班有男生、女生各多少人？ （2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 6．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 题型七 “盈不足”问题 解题技巧提炼 “盈不足”问题----“表示同一个量的不同式子相等”是解决此类问题中的一个基本相等关系. 1．（2023秋•长兴县期末）七年级学生计划乘客车去春游，如果减少一辆客车，每辆车正好坐60人．如果增加一辆客车，每辆正好坐45人，则七年级共有学生（　　） A．240人 B．300人 C．360人 D．420人 2．（2023秋•市北区校级期末）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有快递员（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 3．（2024秋•南岗区校级月考）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺40本．则这个班有 　 名学生． 4．某制造工厂计划若干天完成一批玩具的订货任务，如果每天生产玩具20个，那么就比订货任务少生产100个；如果每天生产玩具23个，那么就可超过订货任务20个，求原计划几天完成任务？ 5．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量． 6．（2024•碑林区校级模拟）某车间为提高工作效率，配置了自动化零件检测设备，现对一批零件进行检测，若每套设备每小时检测700个零件，则经过1小时，剩下300个零件未检测；若每套设备每小时检测750个零件，则经过1小时，剩下50个零件未检测；请问该车间配置了多少套这样的检测设备？ 7．（2023秋•新丰县期末）用方程解决问题：元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．请问： （1）全班共有多少名同学？ （2）班长共买了多少颗糖果？ 题型八 比赛积分问题 解题技巧提炼 比赛积分问题: 比赛总场数＝ 胜场数＋ 负场数＋平场数. 比赛总积分＝ 胜场积分＋ 负场积分＋平场积分. 1．（2023秋•西乡塘区校级期中）某次篮球比赛计分规则为：胜一场积2分，负一场积1分，没有平场，八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分，那么八一队胜了（　　）场． A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2024秋•南岗区校级月考）某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（　　）场． A．1 B．2 C．3 D．5 3．（2023春•淮北期末）某校规定期中考试成绩的40%与期末考试成绩的60%的和作为学生总成绩．该校小红期中数学考了80分，期末考了90分，则她的学期数学总成绩为 　 　分． 4．（2023秋•路北区期中）某足球协会举办一次足球赛，规则是：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．某球队比赛结果是胜5场平3场输4场，则该球队得 　 　分． 5．（2024•南岗区校级开学）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了2个参赛者的得分情况，参赛者C得76分，他答对了 　 道题． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 6．（2023秋•花都区期末）某中学举行“我爱祖国”知识竞答比赛，规定每个选手共要答20道题，每答对一题得5分，不答或答错一题扣2分． （1）设选手小明答对x题，则小明不答或答错共 　　 题（用含x的代数式表示）； （2）若小明最终的成绩为65分，求小明答对了多少道题？ 7．（2023秋•甘肃期末）为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 人均奖金 1500元 700元 0 当比赛进行到每队比赛完12场时，A队共积分20分，并且没有负一场． （1）试判断A队胜、平各几场？ （2）每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后，A队每名队员所得奖金与出场费累计为多少元？ 题型九 增长（下降）率问题 解题技巧提炼 解这类问题的基本等量关系式是： 原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量. 1．某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同，2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元，2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（　　） A．720元 B．800元 C．880元 D．1080元 2．某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%．则a的值为（　　） A．8 B．6 C．3 D．2 3．某工厂甲乙两个车间计划每月生产3600个零件，上月甲车间产量比原计划增长了12%，乙车间产量比原计划增长了10%，因此两车间共生产了4000个零件，那么甲、乙车间上月实际生产的零件数分别是　 　． 4．为了帮助边远山区学校的孩子丰富阅读，发扬中华民族互帮互助的传统美德．主城某中学在对口援助边远山区学校无偿赠书活动中，原计划初中部和高中部共赠书3000册，其中高中部计划赠书比初中部计划赠书的2倍少600本． （1）主城某中学初中部原计划赠书多少册？ （2）由于学生积极响应，初中部实际赠书比原计划多2a%．高中部实际赠书比原计划多3a%，初中部和高中部实际一共赠书比原计划一共赠书多10（7a+8）册，求a的值． 5．山水市去年居民的人均收入为11664元，与前年相比增长8%，扣除价格上涨因素，实际增长6.5%． （1）山水市前年居民的人均收入为多少元？ （2）在山水市，去年售价为1000元的商品在前年的售价为多少元？ 6．（2023•贵池区二模）某地组建了一个50人的医务团队，计划一天时间完成对当地53400人的核酸检测，指挥中心决定将该医务团队医生分为“单检组”和“混检组”开展检测工作，且“混检组”的医生人数比“单检组”的医生人数的多10人． （1）求“单检组”的医生人数： （2）原计划“混检组”每名医生检测2000人，“单检组”每名医生检测300人．检测工作开始后，“单检组”每名医生的检测人数在原计划的基础上增加了a%，“混检组”每名医生的检测人数在原计划的基础上增加了10%；由于临时工作需要，实际参与“混检组”的医生人数减少了a%，经过共同努力，当天全部找时完成了核酸检测任务．求a的值． 题型十 银行储蓄问题 解题技巧提炼 银行储蓄问题： ①利息=本金×利率×期数； ②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期数）； ③实得利息=利息-利息税； ④利息税=利息×利息税率； ⑤年利率=月利率×12． 1．（2023秋•肇源县校级期中）笑笑把1000元的压岁钱存入银行，一年后，他共取回1025元，银行的年利率是（　　） A．2.00% B．0.25% C．2.50% D．2.25% 2．（2023秋•上杭县校级月考）按国家2021年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金）中，扣除国家规定的免税部分5000元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳税所得额不超过3000元的税率为3%，超过3000元至12000元部分的税率为10%，若小明妈妈某月缴了145元的个人所得税，则她的月工资是（　　） A．8550元 B．7500元 C．6500元 D．6000元 3．一年定期存款的年利率为1.98%，到期取款时须扣除利息的20%作为利息税上缴国库．假若小颖存一笔一年定期储蓄，到期扣除利息税后实得利息158.4元，那么她存入的人民币是 　 　元． 4．小明妈妈在一家银行存了5000元钱，一年后取出本息和为5125元（没有利息税），则这家银行储蓄的年利率是 　 ． 5．爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄（3年期的年利率为2.7%），3年后能取5405元，那么刚开始他存入多少元？ 6．小明的爸爸开了一家运动品商店，近期商店购进一批运动服，按进价提高40%后打八折出售，这时每套运动服的售价为140元． （1）求每套运动服的进价？ （2）运动服卖出一半后，正好赶上双十一促销，商店决定将剩下的运动服每3套400元的价格出售，很快销售一空，后一半促销获利5000元，求小明的爸爸共购进多少套运动服？ （3）最后，小明的爸爸决定将整批运动服的利润当做小明的教育基金存入银行，已知该银行3年期的固定储蓄年利率为2.7%，求3年后取出的本息和为多少元？ 题型十一 分段计费问题 解题技巧提炼 解决计费问题的关键是弄清计费方式.常见的类型有：（1）已知用电量（用水量、上网时间等），求应缴的费用；（2）已知缴费的钱数，求用电量（用水量、上网时间等）.此外还要抓住分界点. 1．（2023秋•市南区期末）大润发和贵城两家超市相同商品的标价相同，在2022新年即将到来之际，两大超市分别推出如下促销活动： 大润发超市：全场均按八五折优惠； 贵城超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打八八折；超过500元时，其中的500元优惠12%，超过500元的部分打八折； （1）当购物总额是多少时，大润发、贵诚两家超市实际付款相同？ （2）某顾客在贵城超市购物实际付款490元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由． 2．（2024秋•苏州期中）某打车软件计价内容含起步价（不超过3公里部分的里程费用）、里程费（超出3公里部分的里程费用）和时长费三部分，计价标准如下： 时段 起步价 里程费单价 时长费单价 5：00﹣7：00 9：00﹣23：00 9.00元 1.50元/公里 0.40元/分钟 其他时段 10.00元 2.50元/公里 0.45元/分钟 （1）张阿姨17：00用这款软件打车回家，里程为5公里，用时15分钟，求张阿姨需要支付的车费； （2）李叔叔8：00用这款软件打车去相距2.8公里的单位，共支付车费14.5元，求李叔叔乘车的时长． 3．（2024秋•绥棱县校级期中）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回家的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含10人）没有优惠：团购：超过10人，其中10人按原价售票，超出部分每张票打八折． （1）若有8名学生乘客买票，则总票款为 　 　元； （2）若20名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 　 元； （3）一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数则按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 4．（2023春•重庆期中）网约打车已成为人们打车出行的首选，设网约打车的行车计费规则如下表： 项目 起步费 时长费 里程费 远途费 单价 12元 0.5元/分钟 2.0元/千米 1.0元/千米 乘客车费由起步费、时长费、里程费、远途费四部分构成．其中时长费按行车的实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程15千米以内（含15千米）不收远途费，超过15千米的，超出部分每千米收1.0元． （1）王老师网约打车，行车里程为20千米，王老师所付车费为69.5元，则行车时间为多少分钟？ （2）小红和小兰同学各自网约打车，行车里程分别是14千米和16千米，若小红的乘车时间是小兰的乘车时间的1.5倍，且两人所付车费相同，则他们的行车时间各是多少分钟？ 5．（2023秋•新都区期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻．已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，规定了居民生活用电的阶梯收费标准如表： 价目表 每月用电量 价格 不超过180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超过280千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 （1）若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费； （2）若小明家8月份用电a千瓦时（其中a＞280），则应缴多少电费；（用含a的代数式表示，并化简） （3）若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时． 6．（2023秋•淮滨县期末）小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件． （1）现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买200件，第二次购买500件； ②一次性购买700件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． （2）若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件． 7．（2023秋•漯河期末）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 0.5 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 0.7 第三档 大于450时，超出450的部分 1 （1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 　 元． （2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？ 题型十二 数轴上的动点运动问题 解题技巧提炼 解决计费问题的关键是弄清计费方式.常见的类型有：（1）已知用电量（用水量、上网时间等），求应缴的费用；（2）已知缴费的钱数，求用电量（用水量、上网时间等）.此外还要抓住分界点. 1．（2024秋•临河区校级月考）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过 　 秒2只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度． 2．（2024秋•天宁区校级月考）如图，已知点A在数轴上，点A表示的数为﹣10．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从原点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过　 　秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 3．（2023秋•文山市期末）若数轴上点A，B所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，即AB＝|a﹣b|或|b﹣a|．已知点A，B在数轴上，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足|a+5|+（b﹣4）2＝0． （1）求点A，B两点之间的距离AB； （2）如果点P，Q分别同时从点A，B出发，沿数轴相向运动，点P每秒走1个单位长度，点Q每秒走2个单位长度，经过几秒P，Q两点相遇？此时点P，Q对应的数是多少？ 4．（2023秋•蚌山区期末）已知数轴上的A，B两点分别对应有理数a和b，且满足|b+8|+（a﹣4）2＝0． （1）a＝　 ，b＝　 　； （2）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴负半轴运动，那么运动多少秒时PA＝3PB？ （3）已知点C在数轴上对应的数为20，若点P，Q分别从点A、B出发，分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向C点运动，直至Q点到C点时停止，那么当PQ＝4时，求Q点对应的数． 5．（2023秋•章丘区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 　，点P表示的数是 （用含t的式子表示）； （2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM﹣PN的值； （3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？ 6．（2024秋•石家庄期中）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，现将A、B之间的距离记作AB，定义AB＝|a﹣b|．若a、b满足|a+5|+（b﹣1）2＝0． （1）点A表示的数 　 ；点B表示的数 　 ；AB＝ 　 　； （2）点P在数轴上对应的数是x，则PB＝ 　 ；如果PB＝3，则x＝ 　 　； （3）若点P表示的数是﹣9，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，求多少秒时，蚂蚁所在的点到点A、点B的距离之和是8？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 $$