4.3.1 等比数列的概念（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第四章 数列 4.3.1　等比数列的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.理解等比数列的概念 2.会用等比数列的概念判断等比数列 3.能在具体问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 回顾本章 4.1 节开始我们遇到的数列③④,再考察下面的问题： 放射性物质以一定的速度衰变,该速度正比于当时该物质的质量.如果某个质量为的放射性物质经过时间h后衰变到质量，那么称h为物质的半衰期.镭的半衰期是1620年,如果从现有的10g镭开始,那么每隔 1620 年,剩余量依次为 新知探究 某轿车的售价约为 36 万元,年折旧率约为 10%(就是说这辆车每年减少它的价值的 10%),那么该车从购买当年算起,逐年的价值依次为36，36x0.9，36x0.9²，36x0.9³，… 某人年初投资 10 000 元,如果年收益率是5%,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为10 000x1.05，10 000x1.05²,…，10 000 x ● 与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点？ 新知探究 等比数列的概念: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示. 思考：你能再举出一些等比数列的例子吗？ 概念归纳 例1.判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8； (3)1， ， ， ， ． 【解析】解：(1)根据等比数列的定义可知，所给数列是首项为1，公比为1的等比数列． (2)因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列． (3)根据等比数列的定义可知，所给数列是首项为1，公比为 的等比数列。 课本例题 7 例2.求出下列等比数列中的未知项： (1)2，a,8； (2)-4，b,c, ． 【解析】解：(1)根据题意，得 ， 所以a=4或a=-4． 课本例题 (2)根据题意，得 ，解得 ， 所以b=2，c=-1． 8 例3.(1)在等比数列{an}中，是否有 =an-1an+1(n≥2)？ (2)如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有 =an-1an+1，那么数列{an}一定是等比数列吗？ 【解析】解：(1)因为{an}是等比数列，所以 ，即 成立． (2)不一定．例如，对于数列 0，0，0，…，总有 ，但这个数列不是等比数列． 课本例题 9 1.判断下列数列是否为等比数列： (1)1，2，1，2，1； (2)-2，-2，-2，-2； (3)1，- ， ，- ， ； (4)2，1， ， ，0； (5)lg3，lg6，lg12； (6)1，-1，1，-1． 【解析】解：(1)∵数列 1，2，1，2，1，从第二项起， 课本练习 每一项与它的前一项的比不是同一个常数，故该数列不是等比数列． (2)∵数列-2，-2，-2，-2，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数1，故该数列是等比数列． (3)∵数列1，- ， ，- ， ，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数- ，故该数列是等比数列． 10 (4)∵数列2，1， ， ，0，从第二项起，每一项与它的前一项的比不等于同一个常数，故该数列不是等比数列． (5)∵lg3•lg12≠lg26，所以从第二项起，每一项与它的前一项的比不等于同一个常数，故该数列不是等比数列． (6)∵数列1，-1，1，-1，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数-1，故该数列是等比数列． 1.判断下列数列是否为等比数列： (1)1，2，1，2，1； (2)-2，-2，-2，-2； (3)1，- ， ，- ， ； (4)2，1， ， ，0； (5)lg3，lg6，lg12； (6)1，-1，1，-1． 课本练习 11 2.从下面的表中，请你用彩笔涂出3个等比数列，满足以下要求： (1)每个数列的项所在的框是相连接的(顶点相连或者边相连)； (2)三个数列的公比是不同的． 1 2 22 23 24 25 2 22 23 24 25 26 22 23 24 25 26 27 23 24 25 26 27 28 24 25 26 27 28 29 25 26 27 28 29 210 课本练习 12 【解析】解：如图：如题表，取第一行，得到数列{an}：1，2，22，23，24，25，公比为q1=2； 取第一列的数据，倒序排列，得到数列{bn}：25，24，23，22，2，1， 公比为 ； 从第一行第一列的“1”开始，向右下角方向沿对角线取数，得到数列{cn}：1，22，24，26，28，210，公比为q3=4． 以上是其中一种情况，答案不唯一． 课本练习 13 3.已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数： (1)　　，3，27； (2)3，　　，5； (3)1，　　，　　， ． 【解析】解：(1)由等比数列的性质得 = ， 故答案为： ． (2)由等比数列的性质得 = ，故答案为： ． (3)由等比数列的性质得： 公比q= = ，∴ ，a3= ， 故答案为： ， ． 课本练习 14 4.已知数列{an}是等比数列， (1)如果a2=2，a3=-6，求公比q和a1； (2)如果a1=3，a2=6，求公比q和a3． 【解析】解：(1)因为q= =-3， 所以a1=- ； (2)q= =3，a3=12． 课本练习 15 5.已知数列{an}的通项公式，判断它是否为等比数列． (1)an=3n； (2)an=4×23n-1； (3)an=(-3)-n； (4)an=0． 【解析】解：(1) = =3，故{an}是以3为公比的等比数列； (2) =8，故{an}是以8为公比的等比数列； 课本练习 (3) = =- 故{an}是以 为公比的等比数列； (4)该数列不是等比数列． 16 6.已知a1，a2，a3，……an是公比为q的等比数列，新数列an，an-1，…，a2，a1也是等比数列吗？如果是，公比是多少？ 【解析】解：由题意可得， =q, 故 = ，即数列an，an-1，…，a2，a1也是等比数列，公比为 ． 课本练习 17 课堂小结 1．了解等比数列的概念，形成与等差数列的一个对比． 2．对于等比数列的每一项均不为0要进行讨论． 3．证明一个数列是等比数列要用定义法证明，即 (n≥2)． $$