浙江省宁波市余姚市子陵教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省宁波市余姚市子陵教育集团八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若a＜b，则下列不等式中成立的是（　　） A．a﹣3＞b﹣3 B．a+3＞b+3 C．﹣3a＞﹣3b D． 3．（3分）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　） A．50° B．65° C．80° D．100° 4．（3分）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．FG∥HM 5．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，则BE的长度是（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 6．（3分）给出下列命题：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何一外角等于两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．① 7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长为（　　） A．5 B． C．5或4 D．5或 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（　　） A．3 B． C．5 D． 10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）“x的3倍与y的差是负数”用不等式表示为 　 　． 12．（4分）已知三角形的三边长分别为3，5，x，若x是整数，则x的值可取 　 　（只填一个）． 13．（4分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 　 　． 14．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|2＝0，则△ABC是 　 　三角形． 15．（4分）如图，△ABC的周长为24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝3，则△ADB的周长是 　 　． 16．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是BC上一动点，将△ABD沿AD折叠得到△ADE，当△ADE与△ABC重叠部分是直角三角形时，∠BAD的度数为 　 　． 三、解答题（本大题共有8小题，共66分） 17．（8分）解不等式（组），把解集在数轴上表示出来． （1）3﹣x＜2x+6； （2）． 18．（6分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A′B′C′； （2）在直线MN上找一点P，使PA+PC的值最小，标出点P的位置（保留作图痕迹）． 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝4，BC＝6，CD＝2，求∠ADC的度数． 20．（6分）2如图，AB＝AE，∠B＝∠E，∠BCA＝∠EDA，AF⊥CD． （1）求证：△ABC≌△AED； （2）试说明∠BAF与∠EAF的数量关系． 21．（8分）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高． （1）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的度数； （2）若AD是BC边上的中线，，，求S△AEC． 22．（10分）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3台 5台 1620元 第二天 4台 10台 2760元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23．（10分）对m、n定义一种新运算“⊗”，规定：m⊗n＝am﹣bn+5．（a，b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5⊗6＝5a﹣6b+5． （1）已知2⊗3＝1，3⊗（﹣1）＝10． ①求a、b的值； ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围； （2）若运算“⊗”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m⊗n＝n⊗m”都成立，试探究a、b应满足的关系． 24．（12分）如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE． （1）求证：AD＝BE． （2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长． （3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）． 2024-2025学年浙江省宁波市余姚市子陵教育集团八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2．（3分）若a＜b，则下列不等式中成立的是（　　） A．a﹣3＞b﹣3 B．a+3＞b+3 C．﹣3a＞﹣3b D． 【分析】根据不等式的性质进行分析判断． 【解答】解：A、在不等式a＜b的两边都减3，不等号的方向不变，即a+1＞b+1，原变形错误，故本选项不符合题意； B、在不等式a＜b的两边同时都加3，不等号的方向不变，即a+3＜b+3，原变形错误，故本选项不符合题意； C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣3，不等号的方向改变，即﹣3a＞﹣3b，原变形正确，故本选项符合题意； D、在不等式a＜b的两边同时乘以，不等号的方向不变，即，原变形错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（3分）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　） A．50° B．65° C．80° D．100° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可确定． 【解答】解：∵等腰三角形的底角等于50°， ∴180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴等腰三角形的顶角为80°， 故选：C． 4．（3分）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．FG∥HM 【分析】根据三角形全等的判定方法即可求解． 【解答】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM， A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意； D．由FG∥HM可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件FG∥HM，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，则BE的长度是（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出AB长，根据勾股定理求出BE即可． 【解答】解：∵BE⊥AC， ∴∠BEA＝90°， ∵DE＝5，D为AB中点， ∴AB＝2DE＝10， ∵AE＝8， ∴由勾股定理得：BE＝＝6， 故选：C． 6．（3分）给出下列命题：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何一外角等于两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．① 【分析】利用三角形的三边关系、外角的性质、全等三角形的判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①三角形任何两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意； ②三角形任何一外角等于不相邻的两内角之和，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③两边和夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 真命题有①， 故选：D． 7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案． 【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD， ∴∠B＝∠BCD， ∴DB＝DC， ∴点D是线段BC中垂线与AB的交点， 故选：B． 8．（3分）若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长为（　　） A．5 B． C．5或4 D．5或 【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是＝； ②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是＝5； 即第三边长是5或， 故选：D． 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（　　） A．3 B． C．5 D． 【分析】首先根据题意得到BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：设ED＝x，则AE＝6﹣x， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC； 由题意得：∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴EB＝ED＝x； 由勾股定理得： BE2＝AB2+AE2， 即x2＝9+（6﹣x）2， 解得：x＝3.75， ∴ED＝3.75． 故选：B． 10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°． 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则 OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°， 故选：B． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）“x的3倍与y的差是负数”用不等式表示为 　3x﹣y＜0　． 【分析】根据用字母表示数或数量关系及书写规程即可求解． 【解答】解：x的3倍表示为3x， ∴根据题意得，3x﹣y＜0， 故答案为：3x﹣y＜0． 12．（4分）已知三角形的三边长分别为3，5，x，若x是整数，则x的值可取 　3（答案不唯一）　（只填一个）． 【分析】根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：由三角形三边关系定理得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8． ∵x是整数， ∴x可以取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 13．（4分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 　两直线平行，内错角相等　． 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 14．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|2＝0，则△ABC是 　等边　三角形． 【分析】根据非负数的性质求出a﹣b＝0，且b﹣c＝0，进而判断出△ABC的形状． 【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|2|＝0， ∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为：等边． 15．（4分）如图，△ABC的周长为24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝3，则△ADB的周长是 　18　． 【分析】根据线段垂直平分线得出AD＝DC，AC＝2AE＝8，根据△ABC的周长求出AB+BC＝16，求出△ABD的周长＝AB+BC，代入求出即可． 【解答】解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AE＝3， ∴AD＝DC，AC＝2AE＝6， ∵△ABC的周长为24， ∴AB+BC+AC＝24， ∴AB+BC＝24﹣6＝18， ∴△ADB的周长是AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝18， 故答案为：18． 16．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是BC上一动点，将△ABD沿AD折叠得到△ADE，当△ADE与△ABC重叠部分是直角三角形时，∠BAD的度数为 　25°或50°或75°　． 【分析】分三种情况：当∠ADC＝90°时；当∠AFD＝90°时；当∠AHD＝90°时；分别求解即可得出答案． 【解答】解：如图，当∠ADC＝90°时， ， ∵∠B＝40°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°； 如图，当∠AFD＝90°时， ， 由折叠的性质可得：△ABD≌△AED，∠BAD＝∠EAD， ∵∠B＝40°， ∴∠BAF＝90°﹣∠B＝50°， ∴； 如图，当∠AHD＝90°时， ， 由折叠的性质可得：∠B＝∠E＝40°，∠ADB＝∠ADE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ∴∠HDC＝90°﹣∠C＝50°， ∴， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝75°； 综上所述，∠BAD的度数为25°或50°或75°， 故答案为：25°或50°或75°． 三、解答题（本大题共有8小题，共66分） 17．（8分）解不等式（组），把解集在数轴上表示出来． （1）3﹣x＜2x+6； （2）． 【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法画出数轴即可； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而得到不等式组的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法画出数轴即可． 【解答】解：（1）移项得：﹣x﹣2x＜6﹣3， 合并同类项得：﹣3x＜3， 系数化为1得：x＞﹣1， 在数轴上表示解集为： （2）， 解不等式①得：x＜3， 解不等式②得：x≥﹣1， 所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， 在数轴上表示解集为： 18．（6分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A′B′C′； （2）在直线MN上找一点P，使PA+PC的值最小，标出点P的位置（保留作图痕迹）． 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）连接A1C交直线MN于点P，可得A1P＝AP，即得△PAC的周长＝AP+CP+AC＝A1P+CP+AC＝A1P+AC，根据两点之间线段最短可知此时△PAC的周长最小，故点P即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点P即为所求． 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝4，BC＝6，CD＝2，求∠ADC的度数． 【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理判断∠CDB＝90°，计算即可． 【解答】解：连接BD， ∵∠A＝90°，AD＝AB＝4， ∴∠ADB＝45°， 在Rt△ADB中，BD2＝AD2+AB2＝16+16＝32， 在△CDB中，CB2﹣DC2＝62﹣22＝32， ∴CB2﹣DC2＝BD2， ∴∠CDB＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝135°． 20．（6分）2如图，AB＝AE，∠B＝∠E，∠BCA＝∠EDA，AF⊥CD． （1）求证：△ABC≌△AED； （2）试说明∠BAF与∠EAF的数量关系． 【分析】（1）根据AAS即可证明△ABC≌△AED； （2）根据全等三角形的性质得出AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，运用等腰三角形性质及角的和差解答问题． 【解答】（1）证明：在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（AAS）； （2）解：∠BAF＝∠EAF，理由如下： ∵△ABC≌△AED， ∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD， ∵AF⊥CD， ∴∠CAF＝∠DAF， ∴∠BAC+∠CAF＝∠EAD+∠DAF， ∴∠BAF＝∠EAF． 21．（8分）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高． （1）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的度数； （2）若AD是BC边上的中线，，，求S△AEC． 【分析】（1）利用三角形内角和先求∠BAC，再用外角性质和直角三角形性质求出∠DAE； （2）利用三角形中线定义及三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝45°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝85°， ∵AE是边BC上的高， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝5°． （2）∵AD是BC边上的中线，， ∴S△ABD＝S△ACD＝6cm2， ∵，S△ACD＝S△ADE+S△AEC， ∴S△AEC＝4cm2． 22．（10分）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3台 5台 1620元 第二天 4台 10台 2760元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，根据近两天的销售情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据总价＝单价×数量结合总价不超过5400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （3）根据总利润＝每台利润×数量结合总利润不少于1060元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，结合（2）的结论及a为整数，即可得出各采购方案． 【解答】解：（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元， 依题意，得：， 解得：． 答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元． （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台， 依题意，得：200a+150（30﹣a）≤5400， 解得：a≤18． 答：A种型号的电风扇最多能采购18台． （3）依题意，得：（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060， 解得：a≥16． ∵a≤18， ∴16≤a≤18． ∵a为整数， ∴a＝16，17，18． ∴共有三种采购方案，方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台． 23．（10分）对m、n定义一种新运算“⊗”，规定：m⊗n＝am﹣bn+5．（a，b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5⊗6＝5a﹣6b+5． （1）已知2⊗3＝1，3⊗（﹣1）＝10． ①求a、b的值； ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围； （2）若运算“⊗”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m⊗n＝n⊗m”都成立，试探究a、b应满足的关系． 【分析】（1）①依据题意，由2⊗3＝1，3⊗（﹣1）＝10，可得，进而计算可以得解； ②依据题意，结合（1）可得，，即，又不等式组有且只有两个整数解，从而可得2≤＜3，进而计算可以得解； （2）依据题意，由m⊗n＝n⊗m，从而ma﹣nb+5＝na﹣mb+5，变形为（a+b）（m﹣n）＝0，又m，n为任意数，故m﹣n不一定等于0，进而可得a+b＝0，即可得解． 【解答】解：（1）①由题意，∵2⊗3＝1，3⊗（﹣1）＝10， ∴可得方程组． ∴解得． ∴a＝1，b＝2． ②由题意，∵a＝1，b＝2， ∴不等式组可化为． ∴． 又∵上面的不等式组有且只有两个整数解， ∴2≤＜3． ∴23≤t＜26． （2）由m⊗n＝n⊗m， ∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5． ∴ma﹣nb﹣na+mb＝0． ∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0． ∴（a+b）（m﹣n）＝0． 又∵m，n为任意数， ∴（m﹣n）不一定等于0． ∴a+b＝0． 24．（12分）如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE． （1）求证：AD＝BE． （2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长． （3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）． 【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），即可得出AD＝BE； （2）设AE交BC于点H，由全等三角形的性质得出∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，证出∠AEB＝∠ACH＝90°，△CDE是等腰直角三角形，得出CM＝DM＝ME＝7，得出DE＝2CM＝14，求出AE＝24，由勾股定理即可得出答案； （3）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠CDM＝∠CEM＝30°．∠CMD＝90°，DM＝EM．由直角三角形的性质求出DE＝2DM＝2b．BE＝2a．即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； （2）解：设AE交BC于点H，如图2， 由（1）得：△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10， ∵∠AHC＝∠BHE， ∴∠AEB＝∠ACH＝90°， ∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∵CM⊥DE， ∴CM＝DM＝ME＝7， ∴DE＝2CM＝14， ∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°， ∴AB＝＝＝26； （3）解：AE＝2a+2b；理由如下： ∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°， ∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°． ∵CM⊥DE， ∴∠CMD＝90°，DM＝EM． 在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°， ∴CD＝2CM＝2b， ∴DM＝＝＝b， ∴DE＝2DM＝2b． ∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°， ∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°． 在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°， ∴∠NBE＝90°﹣∠BEN＝30°， ∴BE＝2NE， ∴BN＝＝NE＝a， ∴NE＝a， ∴BE＝2a． ∵AD＝BE，AE＝AD+DE， ∴AE＝BE+DE＝2a+2b． 学科网（北京）股份有限公司 $$