精品解析：河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 6. 已知数列为等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 7. 在锐角中，已知，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 存在实数，使得的图象关于点对称 B. 当时，的极值之和为 C. 存在实数，，使得有三个零点 D. 当时，有两个零点 11. 已知函数图象的任意一个对称中心到与之相邻的对称轴的距离为，且将该图象向左平移个单位长度得到的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 直线为的图象的一条对称轴 C. 若在单调递增，则的最大值为 D. 对任意，关于的方程总有奇数个不同的根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等比数列的前项和为，若，，则______. 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的最小值为______. 14. 若在恒成立，则实数的取值范围是______.（用区间表示） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）记和分别为数列和的前项和，证明：. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不等实根，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若函数有极大值，且极大值不大于0. ①求实数的取值范围； ②求证： 19. 对于数列，若，使得都有成立，则称数列为“数列”.已知为“数列”，，，，设函数. （1）求，，的值； （2）若函数在区间上无极值点，求的取值范围； （3）求数列的通项公式，并求其前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的描述得到集合元素的范围，再利用集合的交集的运算得到结果. 【详解】∵，即，∴，故 ∴. 故选：B. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】由题意得， 则. 故选：D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性可排除D；取可排除A；利用导数判断时的单调性可排除C，然后可得正确答案. 【详解】的定义域为R. 是偶函数，排除D； 又，排除A； 当时，，， ， 在上单调递增，排除C． 故选：B． 4. 已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的运算律求出，再利用投影向量的意义求解即得. 【详解】由及，得，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 5. 《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，数列是以为公差的等差数列，然后结合等差数列的求和公式可求，然后代入可求． 【详解】解：记这位公公的第n个儿子的年龄为，则数列为等差数列，公差， ，解得， ∴， 故选：A. 6. 已知数列为等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据可以得到，当时均有，得到答案. 【详解】设数列的公比为，首项为， 若，则，即，满足必要性； 当时，对任意正整数均有，不满足充分性， 所以甲是乙的必要不充分条件， 故选：B. 7. 在锐角中，已知，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，根据锐角三角形的角度关系，结合正弦函数的性质得角度大小关系. 【详解】由，可得， 因为为锐角三角形，所以，所以， 因为，所以， 则，从而， 由，可得 当时，与均属于， 因为函数在上递减，且， 所以，即，所以， 即，所以， 又在上递增，所以； 当时，，则， 即，所以， 又在上递增，所以； 综上所述，. 故选：A. 8. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由，将与作差，利用条件证明其值为即得； 对于B，易得，由赋值即得； 对于C，结合的奇偶性与对称性求出周期，利用计算即得； 对于D，利用函数的周期性与奇偶性推得函数的周期性与奇偶性，利用计算即得. 【详解】对于A，因，则， 由， 因， 故， 则得的图象关于对称，故A正确； 对于B，由A项已得的图象关于对称，则， 由，可得，则，故B正确； 对于C，因为奇函数，故也是奇函数，图象关于对称， 因的图象关于对称，故函数的周期为， 又，则，解得，故C错误； 对于D，因为奇函数，且周期为，则， 由，因， 故，即函数为偶函数； 由，可得， 因的周期为，则，求导得， 即函数的周期为. 于是，， 故得，即D正确. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数与导函数的奇偶性，周期性，对称性等性质的应用，属于难题. 解题思路在于根据选项内容，采用相应策略，如对称轴判断，可考虑构造证其值为0；对于与导函数有关的值的判断，一般需要将原函数求导，并结合原函数的奇偶性和周期性，推导导函数的相应性质并应用解题. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本不等式的证明即可判断ABC选项，D选项先通过条件找打的最小值，由指数函数的单调性得到结论. 【详解】∵∴，即，当且仅当时取等号，故A选项错误； ∵，∴，当且仅当时取等号，故B选项正确； ∵，∴， ∴，故C选项正确； ∵且，∴，∴， ∵，∴，故D选项正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. 存在实数，使得的图象关于点对称 B. 当时，的极值之和为 C. 存在实数，，使得有三个零点 D. 当时，有两个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据时，则，即可判断A，求导，可得函数的极值点，即可代入计算求解B，举例即可求解C，根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解D. 【详解】， 当时，则， 故存在实数，使得的图象关于点对称，A正确， 当时，，当或时，， 当， 故分别是的极大值点和极小值点，故的极值之和为，故B错误， 由于，故令， 此时有三个零点，故C正确， ，当时，此时，此时， 故单调递增，此时至多只有一个零点，故D错误， 故选：AC 11. 已知函数图象的任意一个对称中心到与之相邻的对称轴的距离为，且将该图象向左平移个单位长度得到的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 直线为的图象的一条对称轴 C. 若在单调递增，则的最大值为 D. 对任意，关于的方程总有奇数个不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据函数的性质求函数的解析式，再利用整体代入的方法判断函数的对称轴，结合函数的单调区间，求的值，最后利用数形结合，结合对称性，判断实数根的个数. 【详解】A.由题意可知，，得， ，函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 因为函数的图象关于轴对称，所以, 得，因为，所以 ， 所以，故A正确； B.当时，，所以直线为的图象的一条对称轴，故B正确； C.当时，，由题意可知，， ，，得，，只有当有解， 得，所以的最大值为，故C错误； D.，所以函数关于对称，而也关于对称， 所以两个函数图象必有一个交点，若有其他交点，交点也关于对称， 所以交点个数是奇数个，方程总有奇数个不同的根，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等比数列的前项和为，若，，则______. 【答案】63 【解析】 【分析】由和的关系求出的值，从而求出的值，然后求 【详解】， ∴， ∴， ∴. 故答案为： 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的最小值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】由题意，可推得在区间上恒成立，可通过求在区间上的最大值得到实数的最小值. 【详解】由题意，可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因在上为增函数，故， 故得，即实数的最小值为0. 故答案为：0. 14. 若在恒成立，则实数的取值范围是______.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用参变分离法将题意转化成在恒成立，设，求导得，再设，判断得在上单调递增，利用零点存在定理判断存在，使，分析讨论得在时取得最小值，接着利用同构思想，研究函数的单调性，推得，代入求得，即得的取值范围. 【详解】因在恒成立，则在恒成立， 设，则， 设，则在上恒成立， 即在上单调递增. 又 则存在，使，即（*）. 当时，，则，故在上单调递减； 当时，，则，故在上单调递增. 故. 又由（*），可得， 设，则得. 由可得在上单调递增，故得， 即， 于是， 故得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立求参数范围问题，属于难题. 通过不等式恒成立求参问题，一般有以下思路方法： （1）分类讨论法：直接将不等式右边化为0，利用求导，按照参数分类讨论左边函数的单调性，极值，零点等性质得到； （2）参变分离法：将不等式中的待求参数移到一边，求另一边函数的最值得到. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）选①，不符合题意；选②或③，面积为 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）选条件①，判断得矛盾；选条件②，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得；选条件③，由正弦定理求出，再由和角的正弦及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及由正弦定理得， 由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 选条件①，由，，得，与矛盾， 此时不存在，即条件①不符合要求，不选①； 选条件②，由（1）知，由，得， 由余弦定理得，即，而，解得， 所以的面积为. 选条件③，由，得， 在中，由正弦定理得，则， 又， 所以的面积为. 16. 设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）记和分别为数列和的前项和，证明：. 【答案】（1），. （2） 由（1）可得. 数列的前项和，① 则.② 由①②得 ， 即. 由， 可得，得证. 【解析】 【分析】（1）设的公比为，利用等比数列的基本量运算代入计算求出即得； （2）利用等比数列求和公式计算，利用错位相减法计算，运用作差法比较两者即得证. 【小问1详解】 因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，设的公比为， 由，可得，解得：或（舍去）. 故，. 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）方程化为，分析函数在的性质，利用数形结合思想求出范围. 【小问1详解】 函数 ， 函数的最小正周期. 由，，得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）得，由， 得，由，得， 由，得，函数在上单调递增，函数值从增大到2， 由，得，在上单调递减，函数值从2减小到1， 依题意，在上恰有两个不等实根， 则直线与在上的图象有两个交点，则， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数. （1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若函数有极大值，且极大值不大于0. ①求实数的取值范围； ②求证： 【答案】（1） （2）①； ②记数列的通项公式为，则为数列的前项和； 数列的前项和，即. 所以当时，； 当时，； 经检验，对也成立， 所以. 由①知：当时，所以当时，有， 即（当且仅当时等号成立）. 所以取，则有，即. 当依次取，则有：，，…，， 累加得：，即. 【解析】 【分析】（1）求导，根据垂直可得斜率关系求解. （2）①对进行讨论，即可求解函数的极大值，构造，利用导数求解函数单调性，即可根据单调性求解不等式，②根据，取，则有，即，即可利用累加法求解. 【小问1详解】 的定义域为，. 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以，解得：. 【小问2详解】 . ①当时，，所以函数在上单调递减，所以无极值； 当时，令得：； 令得：. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为. 因为极大值不大于0，所以. 因为，所以. 记，，则， 所以在上单调递增. 而，所以由可解得. 即实数的取值范围为. ②略 【点睛】关键点点睛：根据，取，则有，利用数列求和求解. 19. 对于数列，若，使得都有成立，则称数列为“数列”.已知为“数列”，，，，设函数. （1）求，，的值； （2）若函数在区间上无极值点，求的取值范围； （3）求数列的通项公式，并求其前项和. 【答案】（1）0，3，； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即可. （2）利用二次函数极值点的意义，列式求出得答案. （3）变形定义式，换元并构造新数列，再利用构造法求出通项；分奇偶并结合等差数列前项和公式求出前项和. 【小问1详解】 依题意，，而，，， 所以；；. 【小问2详解】 二次函数图象的对称轴为， 由函数在区间上无极值点，得或，解得：或， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由，得， 即， 令，则，，， 令，则，又， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 则，即，数列是首项为，公差为的等差数列， ，则， 所以； 当为偶数时，； 当为奇数时，. 所以. 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $