安徽省六安新世纪学校2024-2025学年高二上学期B班期中考试数学试卷

六安新世纪学校 2024年秋学期高二数学期中试卷B班 必修二第八章、第九章、第十章第1节 一、单选题（每题5分总计40分） 1．本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是（   ） A． B． C． D． 3．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（    ） A． B． C． D． 4．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图可以看出下列说法正确的 ①性别与喜欢理科有关 ②女生中喜欢理科的比为 ③男生不比女生喜欢理科的可能性大些 ④男生不喜欢理科的比为 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 5．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 6．甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（    ） A．118 B．121 C．122 D．123 7．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（   ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个白球 C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是白球 8．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，多选或答错不得分，部分答对答部分分，总计18分） 9．下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（    ） A． 这10年粮食年产量的极差为15 B． B．这10年粮食年产量的第65百分位数为33 C．这10年粮食年产量的中位数为29 D．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 10．已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 11．已知四棱锥的底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，，，E为棱BP上一点，，且PA⊥AC，若四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，且球O的体积为，则（    ） A． B． C．平面ADE⊥平面PAB D．点E到平面PCD的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题）（每空5分，总计15分） 12．已知数据，，，，的方差为6，则数据，，，，的方差为 ； 13．一定时段内，降落到水平地面上(假定无渗漏、蒸发、流失等)的雨水深度叫做雨量，如日降雨量是在1日内降落在某面积上的总雨量已知日降雨量小于10mm称为小雨、日降雨量在10~25mm称为中雨、日降雨量在25~50mm称为大雨、日降雨量在30~100mm称为暴雨某天下雨，小明将一个无盖的圆锥形的容器放置于屋外，一天后测得圆锥内水的深度为24mm，已知圆锥的高为48mm，则日降雨量为 mm. 14．如图，在正方中，分别是的中点，存在过点的平面与平面平行，平面截该正方体得到的截面面积为    四、解答题（总分77分） 15（第一小题4分，第二小题9分，总计13分）．柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 (1)写出试验的样本空间； (2)求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. (3)求取出的鞋不成双的概率. 16（第一小题8分，第二小题7分总计15分）．某校随机抽取了100名同学参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名同学的成绩（单位：分），然后按，，…，分成6组，并绘制成下面的频率分布直方图，已知． (1)求a，b的值，并估计参加竞赛的同学成绩的第30百分位数； (2)已知成绩在内所有同学的平均成绩为84分，方差为6，成绩在内所有同学的平均成绩为98分，方差为10，求成绩在内所有同学的平均成绩和方差． 17（第一小题7分，第二小题8分总计15分）．．已知正方体的棱长为1，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 18（第一小题8分，第二小题9分总计17分）．某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：.其中，且.该50名学生的期中考试物理成绩统计如下表： 分组 频数 6 9 20 10 5 (1)根据频率分布直方图，求的值，并估计数学成绩的平均分（同一组数据用该区间的中点值代表）； (2)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率. 19（第一小题8分，第二小题9分总计17分）．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C B D C B ABC BD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据概率的加法公式即可求解. 【详解】记吹风为事件，下雨为事件， 因为， 所以既吹南风又下雨的概率为， 故选：B. 2．B 【分析】由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数，计算平均数即可. 【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人， 用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本， 则高一、高二及高三年级分别抽人，人，人， 抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、， 所以该校学生的平均身高为. 故选：B 3．B 【分析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】记另3名同学分别为a，b，c， 所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种． 小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种， 综上，小王和小张都没有挑出的概率为． 故选：B. 4．C 【分析】直接读图读出对应百分比，依此对选项进行判断即可. 【详解】由图知女生中喜欢理科的比为，男生不喜欢理科的比为，因此性别与喜欢理科有关，故①②④正确. 故选：C. 5．B 【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理即可求解. 【详解】解：还原四边形，如图所示： 依题意可得：． 取的中点，连接， 则，且， 故. 故选：B. 6．D 【分析】根据百分位数的定义计算． 【详解】已知数据按从小到大排列为：， ，因此第75百分位数是第8个数123. 故选：D． 7．C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断. 【详解】A选项，至少有一个黑球包括一个黑球一个白球和两个黑球两种情况，与都是黑球不互斥，故A错； B选项，至少有一个白球包括一个白球一个黑球和两个白球两种情况，与至少有一个黑球不互斥，故B错； C选项，恰好有一个黑球、恰好有两个黑球还有恰好没有黑球这种情况，所以互斥但不对立，故C正确； D选项，至少有一个黑球和都是白球互斥且对立，故D错. 故选：C. 8．B 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为. 故选：B. 9．ABC 【分析】ABC选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；D选项，根据图形及方差的意义得到D错误. 【详解】A选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40， 这10年的粮食年产量极差为，故A正确； B选项，，结合A选项可知第65百分位数为第7个数33，故B正确； C选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数， 这10年的粮食年产量的中位数为，故C正确； D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动， 所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D错误； 故选：ABC. 10．BD 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得答案. 【详解】对于A，若，，则或与异面，故A不正确； 对于B，根据面面垂直的性质定理可知，B正确； 对于C，若，，且，则或与相交，故C不正确； 对于D，若，，则，过作平面，使得，因为，所以，所以，因为，所以.故D正确.    故选：BD 11．ACD 【分析】根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理可判断C，由外接球的球心在中点，利用球的体积可求出，据此求出可判断B，再由勾股定理求出判断A，利用等体积法可求出E到平面PCD的距离判断D. 【详解】如图，则平面ADE⊥平面PAB， 因为平面PAB⊥平面ABCD，是交线，AD⊥AB，平面ABCD， 所以AD⊥平面PAB，因为平面ADE，则平面ADE⊥平面PAB， 又因为平面PAB，所以 AD⊥AP， 又因为PA⊥AC，，平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD， 平面ABCD，所以，故 AD，AB，AP两两垂直， 所以是以AD，AB，AP为长、宽、高的长方体的对角线， 故侧棱PC为球O的直径，由，解得， 所以，解得，则，，故. 由，平面，所以AB⊥平面APD 又因为，所以CD⊥平面APD， 因为平面APD ，所以CD⊥PD，由勾股定理得. 设点E到平面PCD的距离为d，由，可知，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则，且， 由，得， 解得. 综上，ACD正确，B错误. 故选：ACD 12． 【分析】根据公式计算即可. 【详解】因为数据，，，，的方差为6， 所以数据，，，，的方差为： . 故答案为： 13．2 【分析】根据相似可得雨水的截面圆半径，根据圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥内水的深度为24mm，已知圆锥的高为48mm， 由相似得雨水的截面半径为，由定义，日降雨量为. 故答案为：2 14． 【分析】首先作出过点与平面平行的平面，进而可得截面形状为正六边形，再求面积即可得答案. 【详解】分别取的中点，连接， 可证平面平面，则存在过点的平面与平面平行， 正六边形是平面截该正方体得到的截面， 截面的面积是， 故选：C.    15．(1)见解析 (2), (3) 【分析】（1）通过列举法写出试验的样本空间； （2）（3）结合（1）所求的样本空间，利用古典概型的概率公式逐一求解即可． 【详解】（1）该试验的样本空间可表示为,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,； （2）记：“取出的鞋都是一只脚的” ,，,，,，,，,，,， ， ； 记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”， , , ,，,，,，,， ， ， （3）记“取出的鞋不成双”， 由（1）得， ，,，,，， ， ； 16．(1)，参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计为 (2)， 【分析】（1）根据在频率直方图所有小矩形的面积之和为，结合第30百分位数的性质进行求解即可； （2）根据由部分平均数、方差求总体平均数和方差的公式进行求解即可. 【详解】（1）因为在频率直方图所有小矩形的面积之和为， 所以， 于是有， 因为， 所以参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计在，设为， 于是有； （2）成绩在和成绩在内的学生人数之比为， 所以有， . 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由正方体的结构特征得到，，再由线面平行及面面平行的判定证面面，最后利用面面平行的性质定理即得结论； （2）利用棱锥的体积公式求体积即可. 【详解】（1）连接，由正方体的性质易得，， 由面，面，则面， 由面，面，则面， 因为且都在面内，则面面， 由于面，故平面. （2）由正方体结构特征，易知三棱锥的底面为等腰且高为， 所以三棱锥的体积. 18．(1)，117.8 (2). 【分析】（1）计算，再利用频率分布直方图估计平均数； （2）计算得到两科均为“优”的人数为3人，设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【详解】（1）依题意，， ， 解得， 所以数学成绩的平均分： ； （2）数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人， 因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，则两科均为“优”的人数为3人. 设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为， 则从4人中随机抽取2人的所有情况有：， 符合题意的情况有：， 故两人恰好均为物理成绩“优”的概率. 19．(1)证明见解析；(2)30°；(3)存在，. 【分析】(1)首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可求解； (2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条件即可求解； (3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【详解】(1)因为，是的中点，所以， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，，, 又因为， 所以平面， 由题意，易知，， 所以四边形是平行四边形，故， 所以平面； (2) 因为平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以， 所以与平面所成的角为30°； (3) 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连结，，如下图： 所以，所以，，， 四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故， 所以为中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$