精品解析：广东省广州市荔湾区真光中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年广东省广州市荔湾区真光中学 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题有且只有一个正确选项） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm 【答案】B 【解析】 【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论． 【详解】A.∵5+4=9，9=9， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； B.8+8=16，16＞15， ∴该三边能组成三角形，故此选项正确； C.5+5=10，10=10， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； D.6+7=13，13＜14， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交于第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可． 3. 盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 4. 如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. ∠BDC=∠CEB D. BD=CE 【答案】D 【解析】 【分析】要使△ABD≌△ACE，则需对应边相等，夹角相等，可用两边夹一角，也可用两角夹一边判定全等． 【详解】已知条件中AB=AC，∠A为公共角， A中∠B=∠C，满足两角夹一边，可判定其全等，A正确； B中AD=AE两边夹一角，也能判定全等，B也正确； C中∠BDC=∠CEB，即∠ADB=∠AEC，又∠A为公共角，∴∠B=∠C，所以可得三角形全等，C对； D中两边及一角，但角并不是夹角，不能判定其全等，D错． 故选D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，是正确解题的前提；做题时要按判定全等的方法逐个验证． 5. 将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ） A. 140° B. 160° C. 170° D. 150° 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°. 故选B． 6. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵， ∴， 则的长为． 7. 如图，是广州市正在建设的一个精品口袋公园的示意图．现要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭的位置应选在(　　) A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，根据题意使该凉亭到公路，的距离相等，则点在的角平分线上，根据，则点在边上中线的交点，据此，即可求解． 【详解】解：如图，作的角平分线，边上中线，与交于，连接， 当点在的角平分线上， 点到公路，的距离相等， 是的边上中线， ，， ， 凉亭的位置应选在的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 8. 如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A. 210° B. 110° C. 150° D. 100° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论． 【详解】解：∵∠A=30°， ∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150° ∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180° ∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210° 故选A． 【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键． 9. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，，，将沿折叠，点A的对应点是点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理得到，再由中位线定理可得，根据平行线的性质得出，根据折叠的性质得，再求的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D、E分别是边、的中点， ∴， ∴， ∵将沿折叠， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后对应角相等． 10. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 若点与关于x轴对称，则点在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，从而得到点M的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】∵点与关于x轴对称， ∴，， ∴点M坐标为，在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长为腰或者底边时． 【详解】解：分情况考虑：当是腰时，则底边长是，此时不能组成三角形，应舍去； 当是底边时，腰长是，能够组成三角形．此时腰长是． 故答案为：． 13. 如图为一幅不完整的正n边形图案，若，则这个多边形的内角和为_____度． 【答案】1800 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和，熟练掌握正多边形性质和内角和算法是解题关键． 先算出的度数，再利用正多边形内角和公式，列出方程，解出n即可． 【详解】解：根据正n边形的性质得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和为：． 故答案为：1800． 14. 如图，在中，为中线，且，则边的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使得，连接，先证明，由此可得，，再根据三角形存在性，求得，即得到边的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵在中，为中线， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， 又∵，， ∴，， 在中， ∵， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了倍长中线构造全等三角形以及三角形存在性，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 15. 如图，在中，，M，N，P分别是边上的点，且，，，则的度数为___________°． 【答案】44 【解析】 【分析】先根据证明，可得，再根据，，可得，进而得出答案． 【详解】在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：44． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等，灵活选择全等三角形的判定定理是解题的关键． 16. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，同时计算绝对值，再计算加减法，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】 解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】略 19. 如图，的顶点都在格点上，点A坐标为． （1）将沿y轴正方向平移3个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标； （2）画出关于直线对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； ； （2） 如图所示：即为所求， ． 【解析】 【分析】本题主要考查平移作图以及轴对称作图，理解平移和轴对称的基本性质并掌握画法是解题关键． （1）先根据平移的性质确定平移后对应点位置，然后顺次连接即可完成画图，然后再直接写出点坐标即可； （2）先根据轴对称图形的性质确定对应点位置，然后顺次连接即可完成画图，然后再直接写出点坐标即可． 【小问1详解】 解：点坐标为． 【小问2详解】 解：点的坐标为． 20. 数学社团同学用四根小木棒钉成一个“筝形”仪器，其中，． （1）如图①，将“筝形”仪器上的点与的顶点重合，，分别放置在角的两边，上，并过点，画射线．求证：平分； （2）数学社团同学尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平． 如图②，在仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，如果线绳恰好经过点C，则可判断门框是水平的．数学社团同学的判断依据是_____； A．等角对等边 B．等边对等角 C．等腰三角形“三线合一” （3）如图③，在中，，，若点，分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，则的度数是______． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， 平分； （2）C （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）证明得出，即可得证； （2）根据是等腰三角形，根据三线合一，即可得证； （3）分情况讨论，①当，时，②当，时，分别画出图形，根据全等三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 是等腰三角形， 平分， ，依据是等腰三角形“三线合一”性质． 故选：C； 【小问3详解】 解：，， ， 四边形为“筝形”， ①当，时，如图， 四边形为“筝形”， ， ， ； ②当，时，如图， 四边形为“筝形”， ， ， ． 综上，的度数为或． 故答案为： 或 ． 21. 如图，点D，点F在外，连接，，，且，，． （1）尺规作图：作的角平分线并与相交于点E（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【答案】（1） 解：如图： （2） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质可得，从而证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：△ABE≌ACD； （2）判断△AMN的形状，并说明理由． 【答案】 （1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）∵△ABE≌△ACD ∴BE＝CD，∠AEM＝∠ADC， ∵M、N分别为BE、CD的中点， ∴ME＝ND， 在△AEM和△ADN中，， ∴△AEM≌△ADN（SAS）， ∴AM＝AN， 即△AMN为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由∠BAC=∠DAE，等式左右两边都加上∠CAE，得到一对角相等，再由AB=AC，AD＝AE，利用SAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等； （2）由M与N分别为BE，CD的中点，且BE=CD，可得出ME=ND，由△ABE与△ACD全等，对应角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出△AME与△AND全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AM=AN，即△AMN为等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 23. 为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元． （1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元； （2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？ 【答案】（1）《西游记》、《水浒传》每本售价分别是60元、60元；（2）88本 【解析】 【分析】（1）设出《西游记》和《水浒传》每本的价格，根据题意列出关于单价的方程组，即可解决问题． （2）设这次购买《西游记》本，根据再购买上述四种图书，总费用不超过32000元列出关于a的不等式，即可解决问题． 【详解】解：（1）设《西游记》每本售价x元，《水浒传》每本售价y元， 则 解得 答：《西游记》、《水浒传》每本传价分别是60元、60元． （2）由题意可知《三国演义》每本售价为 (元)． 《红楼梦》每本售价为 (元)， 设这次购买《西游记》本，则： 解得 ∵为正整数， ∴取． 答：这次购买《西游记》最多为88本． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24. 如图，已知在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． （1）当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点Q以的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】（1）当点Q的运动速度为或时，能够使与全等 （2）经过点P与点Q第一次在的边上相遇 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及一元一次方程的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）分为若时与若时，两种情况分类讨论，求解即可； （3）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解方程可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， D为的中点。 ， 若时， 则，， ， 点，点运动的时间， ； 若时， 则，， 点，点运动的时间， ， 当点Q的运动速度为或时，能够使与全等； 【小问2详解】 设经过秒后点与点第一次相遇， 由题意，得， 解得， 经过点与点第一次相遇， ， 经过点P与点Q第一次在的边上相遇． 25. (1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 【答案】 （1）证明：， ， ，， ， ， ， ， ； （2）点的坐标为或或或； （3）猜想，证明如下： ①当点运动到点右侧时， 如图中，延长至，使，连接，，． 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，； ②当点运动到点左侧时， 同理可证，， 综上所述，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定： （1）利用证明，得到即可得到结论； （2）如图所示，过点B作轴，过点A作于M，过点C作于N，先求出，同理可证明，得到，则，同理，根据正方形的性质，得出另外两个符合题意的点坐标，即可求解． （3）分两种情形：当点运动到点A右侧时，如图②中，延长至，使，连接，，．利用全等三角形的性质求解．当点运动到点左侧时，同理可证，． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点作轴，过点作于，过点作于， 点，点， ，， 同（1）可得， ，， ； 同理，， 为的中点， ； 由题意得：四边形与四边形是正方形， 正方形对角的交点坐标为，与正方形对角的交点坐标为， ，． 综上，点的坐标为或或或； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州市荔湾区真光中学 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题有且只有一个正确选项） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm 3. 盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 4. 如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. ∠BDC=∠CEB D. BD=CE 5. 将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ） A. 140° B. 160° C. 170° D. 150° 6. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是广州市正在建设的一个精品口袋公园的示意图．现要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭的位置应选在(　　) A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 8. 如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A. 210° B. 110° C. 150° D. 100° 9. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，，，将沿折叠，点A的对应点是点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 若点与关于x轴对称，则点在第______象限． 12. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为 __________． 13. 如图为一幅不完整的正n边形图案，若，则这个多边形的内角和为_____度． 14. 如图，在中，为中线，且，则边的取值范围是___________． 15. 如图，在中，，M，N，P分别是边上的点，且，，，则的度数为___________°． 16. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号） 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 19. 如图，的顶点都在格点上，点A坐标为． （1）将沿y轴正方向平移3个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标； （2）画出关于直线对称的，并写出点的坐标． 20. 数学社团同学用四根小木棒钉成一个“筝形”仪器，其中，． （1）如图①，将“筝形”仪器上的点与的顶点重合，，分别放置在角的两边，上，并过点，画射线．求证：平分； （2）数学社团同学尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平． 如图②，在仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，如果线绳恰好经过点C，则可判断门框是水平的．数学社团同学的判断依据是_____； A．等角对等边 B．等边对等角 C．等腰三角形“三线合一” （3）如图③，在中，，，若点，分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，则的度数是______． 21. 如图，点D，点F在外，连接，，，且，，． （1）尺规作图：作的角平分线并与相交于点E（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 22. 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：△ABE≌ACD； （2）判断△AMN的形状，并说明理由． 23. 为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元． （1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元； （2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？ 24. 如图，已知在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． （1）当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点Q以的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 25. (1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $