专题01 二次根式重难点题型培优专题训练（5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

专题01二次根式重难点题型培优专题训练 题型导引 题型一：利用二次根式的双重非负性求值 题型二：利用二次根式的性质化简 题型三：整体思想求值 题型四：分母有理化 题型五：复合二次根式的化简 知识要点精讲 1、二次根式的性质 （1）双重非负性:≥0，≥0；（主要用于字母的求值） （2）回归性:（≥0）；（主要用于二次根式的计算） （3）转化性: .（主要用于二次根式的化简） 2、二次根式的运算方法 （1）二次根式的乘法法则：. （2）二次根式的除法法则：或； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化； 具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 常用分母有理化因式：，， ，它们也叫互为有理化因式. （4）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 【注意】二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类的二次根式不能合并． 重难点题型训练 题型一：利用二次根式双重非负性求值 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知x，y为实数，且，则的值为（   ） A． B．9 C． D．18 2．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知a为有理数；求的值为________． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知满足，则_____． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）若，为实数，且，则的值是________． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则________． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）若，求的值． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知 ，求的值． 题型二：利用二次根式的性质化简 1．（24-25七年级上·上海·期中）化简得（   ） A．2 B． C． D． 2．（22-23九年级下·重庆·自主招生）把根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）化简的结果是__________． 5．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数满足，那么__________． 6．（24-25九年级上·河南鹤壁·期中）若，则__________． 7．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 题型三：整体思想求值 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若，则代数式的值是（   ）． A．2006 B．2005 C．2004 D．2003 2．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 4．（19-20九年级·浙江杭州·期末）已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 5．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 6．（21-22八年级上·全国·单元测试）已知，则代数式的值是________． 7．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，求的值． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 题型四：分母有理化 1．（24-25九年级上·海南海口·期中）阅读下列解题过程： ； 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出______； (2)利用上面的解法，化简 ． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期中）观察与计算： ；        ； ______；    ______． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如： ；；． 【应用】 （1）化简：①；② （2）化简： 3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践 观察下列等式： ①； ②； ③； …… 解答下列问题： (1)化简：__________，__________． (2)比较和的大小． (3)计算： 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如： ；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化，解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得________； (2)比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 7．（24-25八年级上·江西九江·期中）观察下列规律： ∵， ∴． ∴． … (1)__________； (2)__________； (3)利用上面的规律计算： ． 8．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）阅读材料：像；； …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)①比较大小：（填，或） ②已知，，则的值为； (2)已知正整数a，b满足，求a，b的值． (3)化简：． 题型五：复合二次根式的化简 1．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：_________ (2)化简：_________ (3)若，且为正整数，求的值． 3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 4．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 7．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． ( 16 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次根式重难点题型培优专题训练 题型导引 题型一：利用二次根式的双重非负性求值 题型二：利用二次根式的性质化简 题型三：整体思想求值 题型四：分母有理化 题型五：复合二次根式的化简 知识要点精讲 1、二次根式的性质 （1）双重非负性:≥0，≥0；（主要用于字母的求值） （2）回归性:（≥0）；（主要用于二次根式的计算） （3）转化性: .（主要用于二次根式的化简） 2、二次根式的运算方法 （1）二次根式的乘法法则：. （2）二次根式的除法法则：或； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化； 具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 常用分母有理化因式：，， ，它们也叫互为有理化因式. （4）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 【注意】二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类的二次根式不能合并． 重难点题型训练 题型一：利用二次根式双重非负性求值 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知x，y为实数，且，则的值为（   ） A． B．9 C． D．18 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴．故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故选：B． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知a为有理数；求的值为________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意得出，，求出，再代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴原式 ，故答案为：． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知满足，则_____． 【答案】2023 【分析】本题主要考查二次根式的性质，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质可得，由此可化简绝对值，得，所以有，由此即可求解． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2023 5．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）若，为实数，且，则的值是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式非负数的性质，求立方根，根据非负数的性质可求出、的值，进而可求出的值． 【详解】解：，为实数，且， ，， ，， ∴．故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴，故答案为：． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，能够理解平方数的非负性，并利用法则准确的计算化简是解决本题的关键． 先利用平方数的非负性及两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须为0的特点求出、的值，再将其代入二次根式求值即可． 【详解】解：． ，， ，． 当，时， 原式 ． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知 ，求的值． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、二次根式化简等知识，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件求出，再求出，然后将、的值代入求解即可． 【详解】解：根据题意可知，，解得， ∴， ∴， ∴． 题型二：利用二次根式的性质化简 1．（24-25七年级上·上海·期中）化简得（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式，先化简，得出，则，结合进行化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则 ，故选：A． 2．（22-23九年级下·重庆·自主招生）把根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴．故选D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【详解】解：由图知：， ，， ．故选：C． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）化简的结果是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此得到，即，再根据进行化简即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴ ，故答案为：． 5．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数满足，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，关键是依据题意，弄清的取值范围，体现了分类讨论思想．实数满足，分三种情况讨论，①②③，看哪个符合题意，然后把符合题意的代入，即可解答． 【详解】解：实数满足， ①当时，，不符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，， ．故答案为． 6．（24-25九年级上·河南鹤壁·期中）若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的化简运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，故答案为：． 7．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【答案】(1)4；(2)；(3)或 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质，结合的范围，进行化简即可； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵， ∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意； ∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：； 综上：或． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质． 依据数轴即可得到，再根据二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ， ． 题型三：整体思想求值 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若，则代数式的值是（   ）． A．2006 B．2005 C．2004 D．2003 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值和完全平方公式的运用，对原式能进行正确的变形是解答本题的关键．对原式配方再根据已知条件代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∴ ．故选：A． 2．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故选：B． 3．（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故选：C． 4．（19-20九年级·浙江杭州·期末）已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】C 【分析】先根据平方差公式，可得=1，进而即可求解． 【详解】∵ = ==1， ∴=．故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的值，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 5．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知等式求值，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ，即， ，故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 6．（21-22八年级上·全国·单元测试）已知，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【详解】∵， ∴ ．故答案为：． 7．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为负数， ∴ ． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 题型四：分母有理化 1．（24-25九年级上·海南海口·期中）阅读下列解题过程： ； 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出______； (2)利用上面的解法，化简 ． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算： （1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可； （2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期中）观察与计算： ；        ； ______；    ______． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如： ；；． 【应用】 （1）化简：①；② （2）化简： 【答案】观察与计算：；；应用：（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的乘法计算： 观察与计算：直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； 应用：（1）①先把分母化简，再把分子分母同时乘以即可得到答案；②把分子分母同时乘以，再计算化简即可得到答案； （2）证明（n为正偶数），再把所求式子裂项并计算求解即可． 【详解】解：观察与计算：； ； 应用：（1）①； ② ； （2）（n为正偶数） ， ∴ ． 3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践 观察下列等式： ①； ②； ③； …… 解答下列问题： (1)化简：__________，__________． (2)比较和的大小． (3)计算： 【答案】(1)；；(2)；(3) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，熟练的进行分母有理化是解本题的关键； （1）分子，分母分别都乘以，即可得到答案； （2）把化为，把化为，再进一步比较大小即可． （3）把原式化为：，再计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：． ． ， ， ． （3）解： ． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如： ；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化，解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得________； (2)比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 【答案】(1)，；(2)；(3)． 【分析】（）根据题中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解； （）将和进行分母有理化，然后作差值即可比较大小； （）将原式分母有理化，化简即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，的有理化因式是：； ， 故答案为：，； （2）解：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故答案为：； （3）解： ． 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 【答案】(1)；(2)2024；(3)10 【分析】本题考查分母有理化．二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分子分母分别乘即可； （2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并，再利用平方差公式计算即可．； （3）由条件可得：，，可得：，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简a，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，故答案为：． （2）解： 原式 （3）解：∵， ∴， ∴ ． 7．（24-25八年级上·江西九江·期中）观察下列规律： ∵， ∴． ∴． … (1)__________； (2)__________； (3)利用上面的规律计算： ． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的方法，明确平方差公式的结构特点． （1）根据平方差公式和分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据平方差公式和分母有理化的方法可以解答本题； （3）利用题目中式子的特点，先分母有理化，然后合并同类二次根式，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 8．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）阅读材料：像；； …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)①比较大小：（填，或） ②已知，，则的值为； (2)已知正整数a，b满足，求a，b的值． (3)化简：． 【答案】(1)①；②62；(2)；(3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法． （1）①根据题意得出，然后比较与的大小即可； ②先算出，，再将变形后代入求解即可． （2）先分母有理化，再移项变形得到，接着根据有理数和无理数的性质得到，然后解方程组即可． （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ，故答案为：． ②∵，， ∴， ， 则． （2）解：∵， ， 即， ，解得：． （3）解： ． 题型五：复合二次根式的化简 1．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：_________ (2)化简：_________ (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：；故答案为： （2）；故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)；；(2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 4．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；；；(2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ；故答案为：；；；； （2）解： ． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④，；(2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 7．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)；；(2)①；②；(3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ；故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴，∴． ( 28 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$