专题01 二次根式化简的五大形式（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题01 二次根式化简的五大题型 题型一：已知字母的范围进行化简或求值 题型二：根据数轴进行化简 题型三：根号外字母移到根号内进行化简 题型四：复合二次根式的化简 题型五：分母有理化化简 题型一：已知字母的范围进行化简或求值 1．已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值、二次根式的性质、完全平方公式等知识，根据题意可得，，将整理为，根据绝对值的性质和二次根式的性质，化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 3．若，，且，，则的值为（   ） A． B．7 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式性质、绝对值性质及代数式求值，根据题意先求出，再代入计算求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4．设实数，则的化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，不等式的性质，整式的加减等知识，先根据判断出，，，，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴， ∴ ， 故选：A． 5．当时，化简的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 6．若，化简的正确结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，化简绝对值，先判断，，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】， ， 故选B． 7．当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．若点与点关于点成中心对称，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了成中心对称的点的坐标特征，根据二次根式的性质化简，掌握中心对称的性质是解题的关键．根据成中心对称的两个点之间的坐标关系求出，即可解决问题． 【详解】解：点与点关于点中心对称， ，， 解得，， ∴ 故答案为：． 9．若，则化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质．先根据二次根式的性质化简，再算乘除法，即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 10．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)， 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）小亮的解法错误； （2）因为，利用此性质即可判断； （3）可化为，利用进行化简，再进一步计算求值即可． 【详解】（1）答：小亮的解法错误， 故答案为：小亮； （2）解：∵， ∴当时， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：当时， ， ， ， ， ． 11．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （2）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （3）根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案． 【详解】（1）解：小亮的解法中：， 当时，， ∴小亮的解法是错误的； 故答案为：小亮. （2）解：由（1）知，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：. （3）解：∵， ∴，， ∴原式 ． 12．已知，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式性质的应用以及绝对值化简，先根据的取值范围判断的正负性，再利用二次根式的性质化为绝对值，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【详解】 故答案为：． 题型二：根据数轴进行化简 13．若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解不等式组，由题意可得，然后解不等式组并在数轴上表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为， 故选：． 14．若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、化简绝对值、实数与数轴，根据实数a在数轴上的位置得到，再根据及绝对值的性质可得结论． 【详解】解：由数轴得， ∴ ， 故选：C． 15．已知实数、、在数轴上如图，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，立方根，绝对值，实数与数轴，熟练掌握相关性质是解题的关键．由数轴易得，则，，然后利用立方根的定义，绝对值的性质，二次根式的性质化简并计算即可． 【详解】解：由数轴易得， 则，， 原式 ， 故选：D． 16．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 17．实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用二次根式的性质化简，实数与数轴之间的对应关系，解题关键是根据a，b在数轴上的位置判断各数的符号以及绝对值的大小．首先结合数轴确定，易得，然后再根据运算法则进行计算，即可获得答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 18．如图，点、、、在数轴上表示的数分别为、、、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特征和应用，二次根式的性质，根据数轴上的点表示的数可知，，，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 19．已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式和绝对值，有理数的加减运算法则，正确推出是解题的关键． 【详解】解：由数轴，得， ∴， ∴ ． 20．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、利用二次根式的性质化简、整式的加减．先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由题意得：， 则 ． 故答案为：． 21．实数，，在数轴上对应的点的位置如图，那么化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子的符号，化简绝对值，平方根的性质，立方根的定义等，数形结合是解题的关键．根据绝对值的性质，平方根的性质，立方根的定义进行化简，然后根据整式的加减进行计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 22．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质和立方根的性质，化简绝对值，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 先确定各数的大小，然后将二次根式的式子化成绝对值形式，再利用去绝对值的法则进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：通过数轴可知，， ∴ ． 23．如图，a,b,c是数轴上三个点A,B,C所对应的实数．    (1)填空： _____________ _____________ _____________ (2)化简： 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）先根据数轴得到点表示数的大小，然后进行化简即可； （2）根据（1）中得到的结果进行计算． 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∴，，， 故答案为：；；； （2）解：由（1）可得，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质和概念、化简绝对值、求一个数的立方根，从数轴上得到点所代表数的大小是解题的关键． 题型三：根号外字母移到根号内进行化简 24．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 25．把式子中根号外的移到根号内，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，先根据二次根式有意义的条件求出，再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内，即可得出答案． 【详解】∵要是根式有意义，必须， ∴， ∴， 故选：C． 26．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此． 故选：C． 27．把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义得出，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， 故选：A． 28．将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质得把放到根号内并变为，即可得到答案，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 29．将中根号外的移到根号里后得到的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选：A． 30．把根号外的因式移到根号内，所得的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质，把放到根号内并变为，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 题型四：复合二次根式的化简 31．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 32．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 33．已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 34．①化简 ． ②已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用； ①根据完全平方公式以及二次根式的性质化简，即可求解； ②根据已知得出，进而可得，根据完全平方公式变形得出，进而根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：① 故答案为：． ②∵ ∴，即 ∴， ∴， ∴ ∴即 ∴ 故答案为：． 35．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 36．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 37．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 38．像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）先将凑成完全平方式，逐步对内部被开方数化简，计算即可． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：设，两边平方可得： ， 所以． 则． 又因为， 所以． （3）∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴原式． 39．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 题型五：分母有理化化简 40．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用，分别求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， 所以， 所以，，， 所以 ， 故选：A． 41．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化，根据题意利用平方差知识，分子分母同时乘以，继而得到本题答案． 【详解】解：， 故选：A． 42．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，平方差公式，通过分母有理化，将原式中的分母根号消去，转化为有理数形式． 【详解】解： ． 故选A． 43．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 44．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，先化简分母，再约分，最后分母有理化，即可解题． 【详解】解：； 故答案为：． 45．化简 【答案】 【分析】通过有理化分母来简化表达式即可．本题主要考查了根式的化简与有理化分母，熟练掌握如何通过有理化分母来简化根式表达式是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 46．已知 ， 那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先把进行分母有理化，然后利用完全平方公式将所求代数式变形为，最后代入计算即可，正确将进行分母有理化是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 47．设，则 ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，结合式子特征找出规律，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意得第n项为： 则有： ； 所以， ， 故答案为：． 48．阅读理解： ，，两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． 例1： 例2： 问题解决： (1)的有理化因式是 ； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，运用平方差公式进行运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）运用平方差公式进行运算得出有理化因式； （2）先将前面小括号里各项分母有理化，再相加，然后利用平方差公式进行运算． 【详解】（1）解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． （2）解： ． 49．计算： 【答案】 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的加减运算，正确分母有理化是解题的关键． 运用分母有理化把二次根式化简，再进一步运算即可得解． 【详解】解：， ． 50．阅读与思考 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ， ． ，， ，． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)的一个有理化因式是______． (2)化简： (3)若，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根有理化因式的概念和题中的方法进行解答即可； （2）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （3）先分母有理化得到，进一步得到，再整体代入计算即可 【详解】（1）解：∵ ∴的一个有理化因式是， 故答案为：（答案不唯一） （2）解： （3）解：∵ ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 51．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式化简的五大题型 题型一：已知字母的范围进行化简或求值 题型二：根据数轴进行化简 题型三：根号外字母移到根号内进行化简 题型四：复合二次根式的化简 题型五：分母有理化化简 题型一：已知字母的范围进行化简或求值 1．已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C．2 D． 3．若，，且，，则的值为（   ） A． B．7 C． D．3 4．设实数，则的化简结果是（   ） A． B． C． D． 5．当时，化简的正确结果是（    ） A． B． C． D． 6．若，化简的正确结果为（   ） A． B．1 C． D． 7．当时，化简的结果是 ． 8．若点与点关于点成中心对称，则 ． 9．若，则化简为 ． 10．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)先化简，再求值：，其中． 11．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 12．已知，化简：． 题型二：根据数轴进行化简 13．若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 14．若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 15．已知实数、、在数轴上如图，则（   ） A．0 B． C． D． 16．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 17．实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（   ） A． B． C． D．0 18．如图，点、、、在数轴上表示的数分别为、、、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 19．已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简= ． 20．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 21．实数，，在数轴上对应的点的位置如图，那么化简的结果是 ． 22．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 23．如图，a,b,c是数轴上三个点A,B,C所对应的实数．    (1)填空： _____________ _____________ _____________ (2) 化简： 题型三：根号外字母移到根号内进行化简 24．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 25．把式子中根号外的移到根号内，结果是（   ） A． B． C． D． 26．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 27．把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 28．将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 29．将中根号外的移到根号里后得到的式子为（    ） A． B． C． D． 30．把根号外的因式移到根号内，所得的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：复合二次根式的化简 31．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 32．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 33．已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 34．①化简 ． ②已知：，则 ． 35．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 36．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 37．计算的结果是 ． 38．像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 39．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 题型五：分母有理化化简 40．已知，则（   ） A． B． C． D． 41．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 42．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 43．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 44．计算： ． 45．化简 46．已知 ， 那么的值是 ． 47．设，则 ． 48．阅读理解： ，，两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． 例1： 例2： 问题解决： (1)的有理化因式是 ； (2)化简：． 49． 计算： 50．阅读与思考 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ， ． ，， ，． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)的一个有理化因式是______． (2)化简： (3)若，求的值． 51．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $