精品解析：湖南省衡阳市衡阳市四校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024下初三年级数学学科期中考试试卷 考试时间：120分钟；总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据定义进行化简判断即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； 是最简二次根式，故选项B符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选B． 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般式，确定系数即可． 【详解】∵, ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式及其系数，熟练掌握基本概念是解题的关键． 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，二次根式的运算即可求解． 【详解】解：、、不是同类二次根式不能进行加减，故原选项错误，不符合题意； 、，故原选项错误，不符合题意； 、，故原选项正确，符合题意； 、，故原选项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质及运算，掌握运算法则是解题的关键． 4. 如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，（　） A. 7 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得，即可求解；掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 解得：； 故选：D． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，a＝1，b＝−4，c＝5， ∴Δ＝b2−4ac＝（−4）2−4×5=-4＜0， ∴方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与b2−4ac有如下关系：当Δ＝b2−4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2−4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2−4ac＜0时，方程无实数根． 6. 如图，在中，点分别在边上，，若，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，则，再根据相似三角形的性质进行解答即可．本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形性质的运用是解题的关键．需要注意的是：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴、，故原选项错误，不符合题意； 、，故原选项错误，不符合题意； 、，即面积比等于相似比的平方，故原选项错误，不符合题意； 、，即周长比等于相似比，故原选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，首先将方程常数项移到右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，即可求解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加4，可得，即． 故选：D． 8. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂生产零件的月平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设该厂生产零件的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：A． 9. 如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件知，已有条件，则可分别添加或，可判定，或添加，可判定，则可得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴当或时，由有两个角对应相等的两个三角形相似可判定； 当时，由有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定； 即选项A、B、D不符合题意，而选项C中条件不能判定，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了两个三角形相似的判定，熟悉相似三角形的判定定理的内容是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；证明∠EFM＝∠EBF即可证明；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF， 由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°， 即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF＝MF， ∴DF＝CF，在△DEF与△CFN中， ∴△DFE≌△CFN， ∴EF＝FN， ∵∠BFM＝90°−∠EBF，∠BFC＝90°−∠CBF， ∴∠BFM＝∠BFC， ∴BF平分∠MFC；故②正确； ∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN， ∴∠BFE＝∠BFN， ∵∠BFE＋∠BFN＝180°， ∴∠BFE＝90°， 即BF⊥EN， ∴BF垂直平分EN，故①正确； ∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°， ∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°， ∴∠EFM＝∠EBF， ∵∠DFE＝∠EFM， ∴∠DFE＝∠FBE， ∴；故③正确； ∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM， ∴BE＝3EM， ∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF； 故④正确． 综上所述：①②③④都正确， 故答案选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断．此题难度适中，证得△DFE≌△CFN是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 12. 如果，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知比例关系，设 ，（），再代入所求表达式进行化简． 【详解】解：由 ， 设 ，（）， 则 ． 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键． 14. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 15. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有______个球队参赛． 【答案】6 【解析】 【分析】设x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据共15场比赛即可列出方程求解即可． 【详解】解：设x个球队参加比赛， 由题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意舍去）． 所以有6个球队参加比赛． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，并根据等量关系准确地列出方程是解答本题的关键． 16. 如图，小康想测量池塘两端的距离，他采用了如下方法：在的一侧选择一点C，连接，再分别找出的中点，连接，现测得米，则之间的距离为_______米． 【答案】92 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理．根据中位线定理可得：，即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点，米， ∴米． 故答案为：92 17. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键． 【详解】解：∵线段两个端点的坐标分别为，，原点为位似中心， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 18. 如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，反比例函数系数的几何意义，利用条件构造三角形相似是解题的关键．过作轴于点，过作轴于点，由条件证得，从而得出，即可得到，解方程求得的值． 【详解】解：， ， ， 可设， ， ， 过作轴于点，过作轴于点， ；， ， ， ，且， ， ， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题（19、20每题6分，21、22每题8分，23、24每题9分，25、26每题10分，共66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，化简二次根式，实数的运算： （1）根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再计算负整数指数幂和零指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活选用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用直接开平方法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 21. （1）若有意义，则满足条件__________． （2）若，，求下列式子的值： ①； ② 【答案】（1） ；（2）①1；②15 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式乘法运算，理解相关知识是解答关键． （1）根据二次根式的被开方数不能为负数来求解； （2）根据二次根式的乘法运算法则求解；先变形为完全平方式，再代入求解． 【详解】解：（1）有意义， ， 故答案为：． （2），， ． 22. 如图，已知在直角坐标系平面中的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）的面积是 ； （3）将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点P，则点P的坐标为________． （4）以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请作出满足条件的一个图形． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点坐标画图即可； （2）根据割补法进行计算即可； （3）根据平移的性质得到答案即可； （4）由位似得到点的坐标画出图形即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 【小问2详解】 解：， 故答案为：6； 【小问3详解】 解：将点先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点P，则点P的坐标为，即； 【小问4详解】 解：，，，以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半， 或即为所求． 23. 如图，正方形中，M为上一点，F是的中点，，垂足为F，交的延长线于点E，交于点N． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 24. 已知方程：，请解答以下问题： （1）当m________时，它是关于未知数的一元二次方程． （2）在（1）的条件下，若它有实数根，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，若它有两实数根分别为，，求的值． 【答案】（1） （2）且 （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握公式法是解题的关键； （1）根据一元二次方程的定义即可求解； （2）利用公式法求解即可； （3）根据根与系数的关系求解即可； 【小问1详解】 解：是关于未知数的一元二次方程， ， 解得：， 故答案为： 【小问2详解】 解：它有实数根， ，即， 解得：且， 【小问3详解】 解：它有两实数根分别为，， ，， 25. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出____个水杯，月销售利润是____元． （2）若每个水杯售价上涨元，每月能售出______个水杯（用含x的代数式表示）． （3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价． （4）在涨价的前提下，利润是否存在最大值？若能，求出最大值及售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）550，8250； （2） （3）售价为50元 （4）存在，利润最大值为12250元，售价为65元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用、有理数的混合运算等知识点，熟练掌握二次函数的应用，一元二次方程的应用是解决此题的关键． （1）利用平均每月的销售量每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元； （2）利用每月的销售量每个水杯上涨的价格，即可用含x的代数式表示出每个水杯售价上涨x元时的月销售量； （3）利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入中即可求出每个水杯的售价为50元． （4）设月销售利润为y元，列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 （个）， （元）， 故答案为：550；8250； 【小问2详解】 依题意得：若每个水杯售价上涨x元，每月能售出个水杯， 故答案为：； 【小问3详解】 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时，， 又∵要尽量减少库存， ∴， ∴， 答：每个水杯的售价为50元； 【小问4详解】 设月销售利润为y元， ∴， ∵， ∴每个书包涨价25元时，利润最大，此时书包的售价为元， ∴书包的售价为元时，最大利润为12250元． 26. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则_______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 【答案】 （1），理由如下： 如图1， ，理由如下： 设，交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）可证得，再由全等三角形的性质可得； （2）作，交于，做，交于，可证得，从而，进而得出结果； （3）作，交的延长线于点，作直线于点，由（2）知：，进一步得出结果； （4）以、为邻边作平行四边形，连接，过点作于点，先根据勾股定理求出的长，再证和全等，得出，求的最小值转化为求的最小值，当、、在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图2， 作，交于，做，交于， 四边形是矩形， ，，， 四边形和四边形是平行四边形， ，， ， ， 同理（1）可得：， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3， 作，交的延长线于点，作直线于点， ， ， 四边形是矩形， 又， 由（2）知：， 是等边三角形， ，， ， ， ； （4）以、为邻边作平行四边形，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当、、在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，为． 【点睛】本题考查了矩形和正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作根据轴对称的性质转化线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024下初三年级数学学科期中考试试卷 考试时间：120分钟；总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，（　） A. 7 B. C. 8 D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 6. 如图，在中，点分别在边上，，若，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算：_______． 12. 如果，那么的值是________． 13. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是______． 14. 点关于原点对称的点的坐标是________． 15. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有______个球队参赛． 16. 如图，小康想测量池塘两端的距离，他采用了如下方法：在的一侧选择一点C，连接，再分别找出的中点，连接，现测得米，则之间的距离为_______米． 17. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为______． 18. 如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为________． 三、解答题（19、20每题6分，21、22每题8分，23、24每题9分，25、26每题10分，共66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解下列方程： （1） （2） 21. （1）若有意义，则满足条件__________． （2）若，，求下列式子的值： ①； ② 22. 如图，已知在直角坐标系平面中的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）的面积是 ； （3）将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点P，则点P的坐标为________． （4）以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请作出满足条件的一个图形． 23. 如图，正方形中，M为上一点，F是的中点，，垂足为F，交的延长线于点E，交于点N． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 已知方程：，请解答以下问题： （1）当m________时，它是关于未知数的一元二次方程． （2）在（1）的条件下，若它有实数根，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，若它有两实数根分别为，，求的值． 25. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出____个水杯，月销售利润是____元． （2）若每个水杯售价上涨元，每月能售出______个水杯（用含x的代数式表示）． （3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价． （4）在涨价的前提下，利润是否存在最大值？若能，求出最大值及售价；若不能，请说明理由． 26. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则_______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $