湖南省常德市桃源县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年湖南省常德市桃源一中高一（上）期中考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集，，则(    ) A. B. C. D. 2.下列函数中为偶函数的是(    ) A. B. C. D. 3.已知命题p：R，，则命题p的否定为  (    ) A. R， B. R， C. R， D. R， 4.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”．烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度单位：米与时间单位：秒之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是  (    ) A. 第4秒 B. 第5秒 C. 第秒 D. 第3秒 5.已知，当时，取得最小值为b，则(    ) A. B. 2 C. 3 D. 8 6.幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则m的值  (    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.设奇函数的定义域为R，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知函数，下面有关结论正确的有  (    ) A. 定义域为 B. 值域为 C. 在上单调递减 D. 图象关于原点对称 10.已知函数，则  (    ) A. B. C. 的最小值为 D. 的图象与x轴有1个交点 11.下列命题正确的是(    ) A. 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B. 若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的定义域为__________. 13.已知函数，则__________ 14.设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意都有，则m的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 求值： ； ； 16.本小题12分 已知集合，集合 当时，求，； 若，求k的取值范围． 17.本小题12分 吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时，；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完． 求“冰墩墩”玩具手办销售利润万元关于产量万盒的函数关系式； 当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 18.本小题12分 已知指数函数的图象过点，函数 求的解析式； 判断在上的单调性，并用定义证明； 若不等式对R恒成立，求t的取值范围． 19.本小题12分 若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数. 已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由； 已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； 如果是定义域为R的奇函数，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】本题考查的交集运算，属于基础题. 利用交集的定义求解即得. 【解答】 解：依题意，，而， 所以 故选：C 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了奇偶函数定义，属于基础题. 利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【解答】 解：对于A，函数的定义域为不关于原点对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定，属于基础题． 根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得结果． 【解答】 解：命题，的否定为：对， 故选 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了二次函数最值问题，属于基础题. 结合二次函数性质，找到函数对称轴即可. 【解答】 解：由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第4秒． 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础题． 由已知可得  ，然后结合基本不等式可求． 【解答】 解：因为  ，所以  ，  ， 当且仅当  即  时取得等号， 所以  ，  ，  故选：  6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查幂函数的性质和应用，是基础题． 由题意，可得，由此能求出 【解答】 解：幂函数 的图象关于y轴对称， 且在上是减函数， ，即 ， 解得 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，属于中档题. 利用分段函数的单调性，列出不等式组即可求解. 【解答】 解：因为  的对称轴为  ， 所以  在  上单调递减，在  上单调递增， 又  ，当  即  时，在  上单调递减， 函数  是定义域上的减函数，则  ，解得  . 故选： 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的应用，注意构造新函数，并分析的奇偶性与单调性，属于综合题． 根据题意，设，分析可得为偶函数且在上为增函数，即，结合函数的奇偶性，分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，设， 若函数是定义在R上的奇函数，即， 则，则为R上的偶函数， 又对任意，，且时，都有成立， 即，即函数在上为增函数，在上为减函数， 由得， 由得，即 所以当，，，当， 由函数的单调性和奇偶性得或 即或 综合可得：不等式的解集是； 故选： 9.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查具体函数的定义域、求函数的值域等，属于中档题. 根据具体函数的定义域、求函数的值域、判断或证明函数的单调性、函数的奇偶性等一一判断即可. 【解答】 解：对于A中，函数  有意义，则满足  ， 所以函数  定义域为  ，所以A正确； 对于B中，当  时，可得  ， 当且仅当  时，即  时，等号成立，所以  ； 当  时，可得  ， 当且仅当  时，即  时，等号成立，所以  ， 所以函数  的值域为  ，所以B正确； 对于C中，函数  在  上单调递减，所以C不正确； 对于D中，函数  定义域为  ，关于原点对称， 且满足  ，所以函数  为奇函数， 函数的图象关于原点对称，所以D正确. 故选： 10.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查函数解析式以及二次函数的性质，属于基础题. 根据已知可得，然后即可求出函数解析式，利用二次函数的性质判断即可. 【解答】 解：因为 所以， 所以，故B错误； ，故A正确； ， 当时，函数取得最小值为，故C正确； 令，解得或舍去， 所以的图象与x轴有1个交点，故D正确. 故选 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程根的分布，一元二次不等式恒成立问题，由基本不等式求最值，一元二次不等式与相应函数和方程的关系等知识点，属于中档题. 选项A：结合二次函数图象性质即可判断; 选项B：已知不等式在区间内恒成立，结合二次函数性质列不等式求解即可; 选项C：根据不等式解集得出a与b的关系，再解分式不等式即可; 选项D：利用基本不等式判断即可. 【解答】解：对于A，要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 令，则有， 即，解得故A正确； 对于B，因为在上恒成立， 令， 则，即，解得故B错误； 对于C，因为关于x的不等式的解集是， 所以，则关于x的不等式等价于， 即，解得或故C正确； 对于D，由且 ，可得，当且仅当时取等号.故D正确. 故选 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查具体函数的定义域，属于基础题. 根据函数有意义的条件即可求解. 【解答】 解：的定义域满足且，解得且 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查求分段函数的函数值，属于基础题. 根据分段函数解析式直接求解即可. 【解答】 解：， 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属于较难题． 由，画出函数的图象，结合图象可得m的取值范围． 【解答】 解：当  时，  ， 则  ， 即当  时，  ， 同理当  时，  ； 当  时，  . 以此类推，当  时，都有 ， 函数  和函数  在  上的图象如下图所示： 由图可知，  ，解得  ， 即对任意  ，都有  ，即 m 的取值范围是  . 15.【答案】解：原式 原式 原式   【解析】本题考查了指数幂的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 利用指数幂的运算性质即可求解． 16.【答案】解：当时，， 又， 所以或， 所以， 因为，所以， ①当，即时，，满足 ②当时，由得 解得， 综合①②可知k的取值范围  【解析】本题考查集合的运算和集合之间的关系，属于中档题. 将代入集合B，然后在计算，； 由，从而由包含关系求参数的取值范围. 17.【答案】解：当产量小于或等于50万盒时，， 当产量大于50万盒时，， 故销售利润万元关于产量万盒的函数关系式为：； 当时，， 当且仅当，即时，取等号， 所以当时，y的最大值为1000； 当时，， 当时，取到最大值，为 因为， 所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．  【解析】本题考查分段函数求解析式的实际应用题，函数的最值，属于中档题.直接利用利润=总收益-总成本分段列出利润y的表达式，即可得解； 分别求出每段函数上的最大值，比较可得结果 18.【答案】解：设且， 因为指数函数的图象过点， 所以， 解得， 所以； 在上单调递增． 证明如下： 易知， 因为，且， 所以 ， 因为， 所以，， 此时，， 所以， 即， 则在上单调递增； 易知， 所以是偶函数， 若，即， 易得， 因为在上单调递增， 所以 所以，解得 故t的取值范围为  【解析】本题考查不等式恒成立问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．根据指数函数的定义及函数图象所过点求解； 利用函数单调性的定义证明即可； 根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解． 19.【答案】解：定义域 R，，是， 取，，不是， 函数是区间上的增长函数，函数不是； 依题意，， 而，关于x的一次函数是增函数，时， 所以得，从而正整数n的最小值为9； 依题意，，而， 在区间上是递减的，则x，不能同在区间上，， 又时，，时，， 若，当时，，不符合要求， 所以，即 因为：当时，①，显然成立； ②时，，，，； ③时，， 综上知，当时，为R上的增长函数， 所以实数a的取值范围是   【解析】本题借助新定义考查了函数的单调性，奇偶性以及最值的求解，考查了学生的分析能力以及逻辑推理能力，属于难题. 依据增长函数的定义进行验证即可; 将增长函数问题转换为关于n的不等式在给定区间恒成立问题进行解决即可; 分情况讨论，利用定义，然后建立不等式依次进行求解. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$