第05讲 图形与坐标压轴题型专项训练（30道）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第05讲 图形与坐标压轴题型专项训练（30道） 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点A坐标为，点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形、垂直平分线的性质等知识点，正确的分类并画出图形是解题的关键． 分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P；再作的垂直平分线与x轴的交点也是满足条件的点P，由此即可解答． 【详解】解：如图：分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P 当时，可得满足条件， 当时，可得满足条件， 如图：作的垂直平分线与x轴的交点也是满足条件的点P， 当时，可得满足条件， 综上，满足题意的点P有4个． 故选C． 2．如图． 在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至． 然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动， 则的坐标是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形、点坐标规律型问题等知识点，根据已知条件归纳出规律是解题的关键． 根据坐标系确定前面的一些点，然后归纳规律，最后利用规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴点在第三象限， 由题意，，，，，，，，，，，， ∴， ∵，即， ∴． 故选：C． 3．如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键． 分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得． 【详解】，， ， ， ，， ，， ，， …， 观察发现， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴点的坐标是． 故选：B． 4．如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第秒时质点所在位置的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的规律探究，根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到时，用的时间为秒，且当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动一个单位，得到，进行求解即可，根据题意找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图和题意可知： 当点移动到时，用时秒， 当点移动到时，用时秒， 当点移动到时，用时秒， ， ∴点移动到时，用的时间为秒， 当点移动到时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒得到， 当点移动到时，向上移动秒，得到， 当点移动到时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒得到， ， ∴当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动秒，得到， ∴当点移动到时，用时秒，再向下移动秒，得到， 即第秒时质点所在位置的坐标是为， 故选：． 5．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标的规律的探索问题，根据反射角与入射角相等作出图形，可知每次反弹为一次循环，用除以，得到余数，根据余数的情况确定所对应的点的坐标即可，根据点的坐标找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，可知点从射出后碰到矩形边上的点依次为，，，，，，即第次碰撞时，回到出发点， ∵， ∴经历个循环之后又碰了次， 第次坐标为， 故选：．    6．在平面直角坐标系中，点，点，点为坐标轴上一点，若为等腰三角形，且为其中的一个底角，则点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，分点为顶点和点为顶点两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，点位置有个， 当点为顶点时，， ∴点，，； 当点为顶点时，， 当点在轴上时，设， 则， 解得， ∴， 当点在轴上时，设， 则， 解得， ∴； ∴点的坐标不可能是， 故选：． 7．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接．则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形，对称的性质，平移的性质，平移使点落在点处，连接，则点的对应点为，即，进而得出，再作点关于轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【详解】解：如图，平移使点落在点处，连接， 则点的对应点为，即， ，， 点， 作点关于轴的对称点，当点在同一条线上时，最小， ， ， 连接，则的最小值为， 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于点，，在轴上取点，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边三角形，使得点落在第一象限，连接．若，则的最小值为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】在直线上取点M，使，连接，过点M作轴于点G，连接并延长，交y轴于点E，证明，得出，证明轴，说明点F在过点M且平行于x轴的直线上，作点O关于的对称点N，连接，交于点H，连接，说明当点F在点H处时，最小，且最小值为，求出最小值即可． 【详解】解：在直线上取点M，使，连接，过点M作轴于点G，连接并延长，交y轴于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即轴， ∴点F在过点M且平行于x轴的直线上， ∴轴， ∴， 作点O关于的对称点N，连接，交于点H，连接， 则，， ∴， ∴， ∵两点之间相等最短， ∴当点F在点H处时，最小，且最小值为， 根据勾股定理得：， 即最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，找出使最小时，点F的位置． 9．已知x为实数，则的最小值为（　　） A．5 B． C． D．6 【答案】A 【分析】，令，，，则表示，点到点和点的距离的和，如图，可得当三点共线时，的值最小，值为，计算求解即可． 【详解】解：∵ ， 令，，， ∴表示，点到点和点的距离的和，如图，    ∴当三点共线时，的值最小，值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题 10．如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】首先确定，，进而可得，结合题意确定点的运动规律，进而可得第2025秒时，点运动到点，然后分点在第四象限和点在第一象限两种情况讨论，结合全等三角形的性质确定点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，点关于轴对称，点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动， 又∵， ∴第2025秒时，点运动到点，如下图所示， 此时可分两种情况讨论， 当点在第四象限时，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当点在第一象限时，过点作轴于点， 同理可证明， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的定义、坐标与图形、点的坐标规律探索、勾股定理等知识，解题关键是确定点的运动规律，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 11．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1） ； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质即可得解； （2）过点Q作于H，设点P在y轴的速度为x，则点P在上的速度为，表示出点P到达点B所用时间得到当有最小值时，点Q，点B，点H三点共线时，有最小值为的长，再由等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，， ∴， 故答案为：30； （2）如图，过点Q作于H， 设点P在y轴的速度为x，则点P在上的速度为， ∴点P到达点B所用时间， ∴当有最小值时，点P到达点B所用时间最短， ∵， ∴， ∴， ∴当点Q，点B，点H三点共线时，有最小值为的长， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：． 12．若点与点关于轴对称，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了关于对称的点的坐标特征，坐标与图形，由关于对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数可得点坐标，进而可得，据此即可求解，掌握关于对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 13．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别是，是的中点，点在边上运动．当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义和性质，根据点的坐标可得，，再分，和三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】， ， 是的中点， ， 分以下三种情况讨论： ①当时， 在中，， ， ∴点的坐标是； ②当时， 若为锐角，如图①， 过点作于点，则， ， ， ∴点的坐标是； 若为钝角，如图②，过点作于点， 同理可得， ， ∴点的坐标是． ③当时，则， 是等边三角形，如图③，过点作于点，则， 在中，， ∴该种情况不成立； 综上所述，点的坐标是或或． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，点坐标为，点在边上，点在的角平分线上移动，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，得出点关于的对称点在上，作点关于的对称点，过点作交于点，连接，并延长交于点，根据轴对称的性质可得，，结合三角形的三边关系可得出当点移动到点的位置时，，此时值的最大；根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，根据勾股定理求出，得出点的坐标，进一步求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在的角平分线上， ∴， 即点关于的对称点在上， 作点关于的对称点，过点作交于点，连接，并延长交于点，如图： 根据对称可得，， 则在中，， 当点移动到点的位置时，，此时值的最大； 在中，， ∴， 故，， ∴， 故点与点的纵坐标相同， 则此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的三边关系，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 15．如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径以及含的直角三角形的性质，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键．作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小， 等边三角形中，，点D是上一点，且． ，， 点D关于轴的对称点是M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F的横坐标为， 故答案为： 16．如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角板按如图所示放置，其中，，，则点A的纵坐标为 ． 【答案】3 【分析】本题考查坐标与图形，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，取的中点，连接，过点作轴，勾股定理求出的长，证明为等边三角形，进而推出，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，过点作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为3． 故答案为：3． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数． （1）当时，t的最大值为 ； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与直线间的距离，以及绝对值的几何意义，理解并掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当时，，根据绝对值的几何意义，可知表示与直线之间的距离，当点在点时，距离最大，由此得解； （2）先求出当点A和到直线距离相等时，此时，有最大值，然后画图分析可知，当直线在直线上方时，点距离直线距离最大，由于点P不与点A重合，此时取不到最大值，当直线在直线下方时，当P与点B重合时可以取到最大值，由此得解． 【详解】解：（1）当时，，根据绝对值的意义，可知表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，距离最大，此时． （2）如图，直线， 此时，折线段上，点、距离直线的距离最大，都是， 当时，，表示与直线之间的距离， 当点与点重合时，取得最大值， 如图：当直线，在直线上方，即，， 此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线之间的距离，由于P不与点A重合， 此时不存在最大值． 当直线，在直线下方，即，， 此时，折线段上，点距离直线距离最大， 若，，表示与直线之间的距离，此时存在最大值，即当在点处时取得最大值． 综上所述，，t存在最大值． 故答案为：①2；②． 18．在平面直角坐标系中，，，，三角形的面积为4，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形面积，根据题意列出方程是解题的关键．对于多种情况的问题，要注意分类讨论． 当点在轴右侧时，过点作轴于，梯形的面积，列出含的方程求解即可；当点在轴左侧时，记为，列出含的方程求解即可． 【详解】    ①当点在轴右侧时，过点作轴于， 则，，，． 梯形的面积为：， 又， ，． 梯形的面积， ． ②当点在轴左侧时，记为，即， ． 连接，则轴， ， 又， ， ． 由①可知，，轴，， ， ， 解得：． 综上所述，或． 故答案为：2或． 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系中， (1)画出 关于y轴对称的，并直接写出点的坐标 ； (2)在x轴上找一点D，使最小，在图中标出点D（保留作图痕迹）； (3)直线l过点且平行于x轴，在直线l上求一点Q，使 与的面积相等，请直接写出点Q的坐标 (4)F是坐标轴上的点，且为等腰三角形，满足条件的点 F有 个． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 (3)或 (4)7 【分析】（1）根据关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可描出格点，再顺次连接； （2）过点C作x轴的对称点，再与点A连接，与x轴的交点 点D； （3）利用割补法求解； （4）分类讨论，借助于画圆和垂直平分线性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点， （2）解：如图，点即为所求 （3）解：点Q在射线与交点左侧，过分别作直线的垂线，垂足为， 设， ∴， 解得：， ∴； 当Q在射线与交点右侧，过分别作直线的垂线，垂足为， ∴， 解得：， ∴， 综上：或； （4）解：当时，以A为圆心，为半径画弧与坐标轴交于三个点，与y轴负半轴交点与共线，不符合题意，有3个，如图： 当时，以C为圆心，为半径作弧，与y轴正半轴交于两个点，因此有2个，如图： 当时，作的垂直平分线与坐标轴交于两点，则符合题意的有2个，如图： 综上所述，总共有7个． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轴对称作图，最短路径问题，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．如图，在中，，，点A，B分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为 ； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，线段与的数量关系是否发生改变？如不变，试猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)不发生改变，且，理由见详解 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过点作轴于，由“”可证，可得，可求解； （2）延长，交于点，由“”可证，可得，由“”可证，可得，可得结论； （3）如图③，作轴于，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于， ， ， ， 点的横坐标为， ， 在和中， ， ∴， ∴， 点； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图②，延长，交于点， 平分， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ； （3）解：不发生改变，且， 理由：如图③，作轴于， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ． 21．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，直线经过点且与轴垂直，连接． (1)请在图中画出线段关于直线对称后的图形—线段，点的对称点的坐标为 ，点的对称点的坐标为 ； (2)直线上有一动点，当取最小值时，请在图中画出点； (3)在坐标轴上取点，使为等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】(1)作图见解析，； (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）根据对称的性质作出点的对称点、点的对称点，连接，再结合直角坐标系即可得出对称点的坐标； （2）连接，交直线于点即可； （3）分两种情况：当点在轴上时，设；当点在轴上时，设，根据两点间距离公式，分别用代数式表示出各边的长，再根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点是点的对称点、点是点的对称点，连接， 则即为所作， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （2）连接，交直线于点，连接、， ∵点与点关于直线对称， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， 此时的最小值为的长， 则点即为所作； （3）∵为等腰三角形，，， 当点在轴上时，设， ∴，， ， ①当时，则，得：， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为； ②当时，则，得：， 解得：或， 此时点的坐标为或； ③当时，则，得：， 解得：， 此时点的坐标为； 当点在轴上时，设， ∴，， ， ①当时，则，得：， 解得：或， 当时，，， 得：，不能构成三角形，不符合题意， 此时点的坐标为； ②当时，则，得：， 解得：或， 此时点的坐标为或； ③当时，则，得：， 解得：， 此时点的坐标为； ∴符合条件的点的坐标为，，，，，，， ∴这样的点有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变换—轴对称，考查了对称的性质，坐标与图形，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质，两点间的距离，利用平方根的定义解方程等知识点．正确理解题意、画出图形，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 22．如图，在中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方 (1)如图1，求证：平分． (2)如图2，连接，求证：． (3)直接写出点C的坐标 （用含m的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质和平角的定义可得出即可； （2）作于轴于，作轴于，交于点，根据角平分线性质得根据平行线的性质得由（1）得，得出，根据证明得，进一步可得出结论； （3）作轴于轴于，过作于．证明，得再根据求出，即可表示出点C的坐标． 【详解】（1）证明：设，则， 在中，， ， ， 平分； （2）证明：作于轴于，作轴于，交于点． ， 平分， ． 轴， 又 ， ， ． ． 垂直平分， ． （3）解：作轴于轴于，过作于． ， ∴ ∵ ∴ ∴． ， ，，． 又， ， ． ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外角性质，角平分线性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质图形的面积等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 23．如图1，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，把沿直线翻折，点恰好落在轴上的点处． (1)若，求点的坐标； (2)点为上一点，且，如图2，求的长； (3)如图3，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，当点在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1) (2)16 (3)，证明见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． （1）根据轴对称的性质，得，可得，求出，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由轴对称的性质，得， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，过点作于， ， ，， 在和中， ， ， 又， ， ，， ， ， 又， ， ， ； （3）解：； 证明：如图3，在的延长线上取一点，使， 平分，，， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 24．如图①所示，在平面直角坐标系中，若，且． (1)求A，B两点的坐标； (2)若以为直角边作等腰直角三角形，请直接写出所有可能的点C的坐标； (3)如图②，在（2）中，若点C为第三象限的点，且与y轴交于点N，与x轴交于点M，连接，过点C作交x轴于点P，求点C到的距离． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）由二次根式及平方的非负性质可得，再求解即可； （2）分点为直角顶点和点为直角顶点两种情况，构造全等三角形求解即可； （3）过点C分别作轴，轴，，垂足分别为D，E，F，先证，可得，再证，可得，再证，可得，最后由角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得， ； （2）解：以点为直角顶点，且在的上方时， 如图，作于点． ， ． ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 以点为直角顶点，且在的下方时， 同理可得； 当以点为直角顶点，且在的上方时 作于点．如图， 同理可求：，， ， ， 以点为直角顶点，且在的下方时， 同理可得； 综上，所有可能的点C的坐标有：． （3）解：如图，过点C分别作轴，轴，，垂足分别为D，E，F， ∵， ∴， 由（2）可知C点坐标为， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即点C到的距离为4 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，角平分线的性质，以及等腰三角形的定义等知识，数形结合是解答本题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称为的关联点． (1)在，，中，的关联点是_____； (2)如图2，若为内一点，且为的关联点， 当_____时，；此时，_____； (3)直线为过点，且与轴平行的直线，若直线上存在的三个关联点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)30，15 (3) 【分析】（1）根据、和之间的距离公式以及关联点定义解答即可； （2）由题意易知，进而可求得，则可得出，根据等角对等边和关联点定义即可证得结论； （3）由题意，在关联点P满足或或三种情况，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，关于y轴对称，点在y轴上， ，故是的关联点； ， ， ，故是的关联点； ， ， ， ， ∴故不是的关联点， 综上，的关联点是、， 故答案为：、； （2）解：∵点，，， ，，， ， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在y轴线段上，，若，此时P与C重合，不合题意； 若，则点P在线段的垂直平分线上，若，此时P在外， 不合题意； 若，则， 设， ，， ， ， ， ， 故答案为：30，15； （3）解：由题意，的关联点P满足或或三种情况， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在y轴线段上， 若，则点P在线段的垂直平分线上； 若，则点P在以点A为圆心，即长为半径的圆上， 如图，设的中点为G，则G的坐标为， 由图可知，当直线l为过点G和过点且与轴平行的直线在x轴之间时，直线上存在的三个关联点， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查两点之间距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键． 26．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点A在y轴的正半轴上，，点C的坐标为． (1)如图1，设，的面积为s，求s于m的关系式；（不要求写出m的取值范围） (2)如图2，过点C作交的延长线于点D，交y轴于点E，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，过点F作直线，交于点N，交x轴负半轴于点M，交于点G，连接，，，连接，，若的面积为18，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，可知，再结合点C的坐标可得答案； （2）由得，再根据，可知，即可解答； （3）根据平行线的性质可知，再根据，可知，得出，再证明，可知，然后根据三角形的面积公式求出m，可求，作，证明，可得，即可求出答案． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵点， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴， ∴． 作，交于点P， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，平行线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 27．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，则称点Q为点P的“关联点”．例如，点，则点是点P的“关联点”． (1)若点是点的“关联点”，则点的坐标为______； (2)若点是点的“关联点”，且点在x轴上，求t的值； (3)若点是点的“关联点”，且线段与x轴有交点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)点； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了新定义下的坐标与图形，解题的关键是理解新定义； （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义求出的坐标，再根据在x轴上点的特点解题即可； （3）根据新定义求出的坐标，再根据线段与x轴有交点则的纵坐标异号或至少一个为0解题即可． 【详解】（1）解：的坐标为， 故答案为：； （2）解：的“关联点”的坐标为：， 点在x轴上， ， 解得：， t的值为； （3）的“关联点”的坐标为：， 线段与x轴有交点， 的纵坐标异号或至少一个为0， 或， 解得：或， t的取值范围为或． 28．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， (1)求点C的坐标． (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． (3)坐标轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的坐标为：或或． 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求解，可得，从而可得答案； （2）先求解，可得，设，可得，再利用面积公式建立方程求解即可； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论：当，此时重合，当，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点D在y轴上， ∴设， ∴， ∵，且满足， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：当重合时，为直角三角形， ∴； 如图，当时，设， ∴，而， ∴， 解得：， ∴， 当时，设， 同理可得： ， 解得：， ∴， 综上：的坐标为：或或． 29．如图，中，，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上． (1)如图①，若点C的坐标是，点A的坐标是，求B点的坐标； (2)如图②，若y轴恰好平分，与y轴交与点D，过点A作轴于E，证明：． (3)如图③，点B在y轴正半轴运动，点C在x轴正半轴运动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，猜想之间的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、三角形的内角和定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）过点A作轴于D，由坐标与图形性质得到，，证明得到，进而可求解； （2）作的延长线交的延长线于点F，证明得到，再证明得到，进而可求解； （3）作轴于E，由坐标与图形性质得到，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：过点A作，如图，则， ∵点C的坐标是，点A的坐标是， ∴，，又， ∴， ∴， 即点B的坐标为； （2）证明：作的延长线交的延长线于点F， 如图， ∵中，，， ∴是等腰直角三角形，又轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵y轴恰好平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 证明：作轴于E，如图， ∵轴，轴， ∴，， ∵，又直角顶点C在x轴上， ∴，， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中： (1)若点B坐标为，点C坐标为，求点A的坐标； (2)若点B坐标为，点C坐标为，连接，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的点P的坐标（用含m，n的式子表示）； (3)已知，，在x轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点Q的坐标_____． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）先根据证明，然后根据全等三角形的性质得出、的长即可得出点A的坐标； （2）结合（1）求解点A的坐标为，作关于轴的对称图形得到；作关于的轴对称图形得到；作关于轴的对称图形得到，根据对称图形的性质即可知道所作的图形全等，即可写出点的坐标； （3）当以点A为顶点时有一个点符合，当以点为顶点时分钝角三角形和锐角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴，． ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：如图，点B坐标为，点C坐标为， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为； ①作关于轴的对称图形得到， ∴≌， ∴点的坐标为； ②∵点和点关于对称， ∴作关于轴的对称图形得到， ∴， ∴点的坐标为； ③作关于轴的对称图形得到， ∴≌， ∴≌， ∴点的坐标为， ∴综上所述点的坐标为或或； （3）解：如图， ①当以点A为顶点时，且是腰，，， ∵轴， ∴可以作点关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是以为腰的等腰三角形； ②当以点为顶点时，且是腰，形成锐角三角形时， 即， ∴点的坐标为； ②当以点为顶点时，且是腰，形成钝角三角形时， 即， ∴点的坐标为， ∴综上所述点的坐标为或或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形，解题的关键是数形结合，进行分类讨论，不漏解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 图形与坐标压轴题型专项训练（30道） 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点A坐标为，点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 2．如图． 在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至． 然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动， 则的坐标是(      ) A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第秒时质点所在位置的坐标是（ ） A． B． C． D． 5．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（      ）    A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点，点，点为坐标轴上一点，若为等腰三角形，且为其中的一个底角，则点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接．则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于点，，在轴上取点，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边三角形，使得点落在第一象限，连接．若，则的最小值为（    ） A．6 B． C．8 D． 9．已知x为实数，则的最小值为（　　） A．5 B． C． D．6 二、填空题 10．如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1） ； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ． 12．若点与点关于轴对称，且，则点的坐标为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别是，是的中点，点在边上运动．当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，点坐标为，点在边上，点在的角平分线上移动，则的最大值是 ． 15．如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 16．如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角板按如图所示放置，其中，，，则点A的纵坐标为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数． （1）当时，t的最大值为 ； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为 ． 18．在平面直角坐标系中，，，，三角形的面积为4，则的值为 ． 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系中， (1)画出 关于y轴对称的，并直接写出点的坐标 ； (2)在x轴上找一点D，使最小，在图中标出点D（保留作图痕迹）； (3)直线l过点且平行于x轴，在直线l上求一点Q，使 与的面积相等，请直接写出点Q的坐标 (4)F是坐标轴上的点，且为等腰三角形，满足条件的点 F有 个． 20．如图，在中，，，点A，B分别在坐标轴上． (1)如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为 ； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，线段与的数量关系是否发生改变？如不变，试猜想线段与的数量关系，并说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，直线经过点且与轴垂直，连接． (1)请在图中画出线段关于直线对称后的图形—线段，点的对称点的坐标为 ，点的对称点的坐标为 ； (2)直线上有一动点，当取最小值时，请在图中画出点； (3)在坐标轴上取点，使为等腰三角形，这样的点有 个． 22．如图，在中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方 (1)如图1，求证：平分． (2)如图2，连接，求证：． (3)直接写出点C的坐标 （用含m的式子表示） 23．如图1，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，把沿直线翻折，点恰好落在轴上的点处． (1)若，求点的坐标； (2)点为上一点，且，如图2，求的长； (3)如图3，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，当点在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 24．如图①所示，在平面直角坐标系中，若，且． (1)求A，B两点的坐标； (2)若以为直角边作等腰直角三角形，请直接写出所有可能的点C的坐标； (3)如图②，在（2）中，若点C为第三象限的点，且与y轴交于点N，与x轴交于点M，连接，过点C作交x轴于点P，求点C到的距离． 25．如图，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称为的关联点． (1)在，，中，的关联点是_____； (2)如图2，若为内一点，且为的关联点， 当_____时，；此时，_____； (3)直线为过点，且与轴平行的直线，若直线上存在的三个关联点，直接写出的取值范围． 26．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点A在y轴的正半轴上，，点C的坐标为． (1)如图1，设，的面积为s，求s于m的关系式；（不要求写出m的取值范围） (2)如图2，过点C作交的延长线于点D，交y轴于点E，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，过点F作直线，交于点N，交x轴负半轴于点M，交于点G，连接，，，连接，，若的面积为18，连接，求的面积． 27．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，则称点Q为点P的“关联点”．例如，点，则点是点P的“关联点”． (1)若点是点的“关联点”，则点的坐标为______； (2)若点是点的“关联点”，且点在x轴上，求t的值； (3)若点是点的“关联点”，且线段与x轴有交点，直接写出t的取值范围． 28．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， (1)求点C的坐标． (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． (3)坐标轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，中，，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上． (1)如图①，若点C的坐标是，点A的坐标是，求B点的坐标； (2)如图②，若y轴恰好平分，与y轴交与点D，过点A作轴于E，证明：． (3)如图③，点B在y轴正半轴运动，点C在x轴正半轴运动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，猜想之间的关系，并证明你的结论． 30．如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中： (1)若点B坐标为，点C坐标为，求点A的坐标； (2)若点B坐标为，点C坐标为，连接，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的点P的坐标（用含m，n的式子表示）； (3)已知，，在x轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点Q的坐标_____． 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