第04讲 平面直角坐标系中的规律探索与面积计算（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第04讲 平面直角坐标系中的规律探索与面积计算（8大题型） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 分类讨论型图形的面积 题型九 平面直角坐标系中面积综合 知识点一：平面直角坐标系中图形的面积 1、 已知图形点的坐标求面积： 面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。 2、 已知图形面积求点的坐标： 可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。 【经典例题一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 1．一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即]，且每秒跳动一个单位，那么第秒时跳蚤所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个机器人从点 出发，向正西方向走 到达点 ；再向正北方向走 到达点 ，再向正东方向走 到达点 ，再向正南方向走 到达点 ，再向正东方向走 到达点 ，按如此规律走下去，当机器人走到点 时在第 象限． 3．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【经典例题二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 【例2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（  ） A． B． C． D． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以OA为边在其右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则，点的纵坐标为（   ） 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是 A． B． C． D． 2．如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是 ． 3．【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律： ，，，，，…． 【归纳·应用】 (1)直接写出点的坐标为______；点的坐标为______； (2)若点的坐标为，求n的值． 【经典例题三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 【例3】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北恩施·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将顺着x轴的正半轴无滑动的滚动，第一次滚动到①的位置，点B的对应点记作；第二次滚动到②的位置，点的对应点记作；第三次滚动到③的位置，点的对应点记作；；依次进行下去，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： (1)请按顺序写出点A，E，C的对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； 与D ；B 与；与F ；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均 ； (2)若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值． 【经典例题四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 【例4】（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，已知平行四边形的顶点．若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【经典例题五 求规则图形的面积】 【例5】如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 1．已知点，，，如果的面积是，则的值为（  ） A． B． C． D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，若点C的坐标是，则长方形的面积是 ．    3．长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，的坐标分别为，求长方形的面积． ‍ 【经典例题六 求不规则图形的面积】 【例6】如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 1．数学中有许多优美、寓意美好的曲线．在平面直角坐标系中，绘制如图所示的曲线，给出下列四个结论：①曲线经过的整点即横、纵坐标均为整数的点中，横纵坐标互为相反数的点有2个；②曲线在第一、二象限中的任意一点到原点的距离都大于1；③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，其中正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 2．在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点，，过点作轴交于点，且，求的面积． 【经典例题七 根据图形的面积求点坐标】 【例7】已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 1．已知点，，点C在y正半轴上，且的面积是8，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，点在轴上，且三角形的面积是2，则点的坐标是 ． 3．如图，三角形的顶点的坐标分别为，，．若三角形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形 (1)画出三角形，并直接写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若在轴有一点，使三角形的面积是，求点的坐标． 【经典例题八 分类讨论型图形的面积】 【例8】已知在平面直角坐标系中有点，，，． (1)在坐标系内描出的位置； (2)求出的面积； (3)在y轴上是否存在一点P使得以三点为顶点的三角形面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．      (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）． (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)求三角形的面积． (2)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． (3)若过B作交y轴于D，且分别平分，如图②，求的度数． 【经典例题九 平面直角坐标系中面积综合】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，以为顶点的三点坐标分别为． (1)如图，连接，得到．将沿着轴翻折后连接求的面积与的面积的差． (2)在上有一点．若对作平移运动，且平移后点的对应点坐标为，画出平移后的三角形，平移后点的坐标是______． (3)将沿着轴折叠，点的对应点是．若在轴上存在一点，使最小，求点的坐标． 1、如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长． 2．在平面直角坐标系中，为原点，点，，．若将点向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点．    (1)点D的坐标为______； (2)若点是轴上一动点，若的面积等于的面积，请求出点的坐标； (3)若点为轴上一动点，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，C是x轴负半轴上一点，且，P是y轴正半轴上一点，作于点D，连接OD． (1)C点坐标为______，______． (2)①当点P在线段OA上时，若是以OB为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的P点坐标． ②如图2，设DP交直线AC于点E，连结CP，若，则______（直接写出结果）． 1．如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2024次，点依次落在点，的位置，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2024次跳动至点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，若记为第1个点，则第12个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，A，B，C，且，并且．则的面积的最大值为（     ） A．6 B．13 C．15 D．16 5．已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 6．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，….根据这个规律，点 的坐标为 ． 7．如图所示，一个动点P在边长为1的方格中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从点运动到点，第二次从点运动到点，第三次从点运动到点，第四次从点运动到点，第五次从点运动到点……按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的位置是 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是 ． 9．七个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线l与x轴的交点B的横坐标为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，且满足，过点A作轴于点．若轴上存在点，满足三角形和三角形的面积相等，则点的坐标为 ．    11．在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)直接写出点到点的距离：___________． 12．如图，在平面直角坐标系中，第一将变成△，第二次将△变换成△，第三次将△变换成△已知，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将△变换成△，则的坐标是 ，的坐标是 ； (2)若按第（1）题找到的规律将进行次变换，得到△，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． (3)在前面一系列三角形变化中，你还发现了什么？ 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶，点坐标分别为． (1)求的面积； (2)若点P为x轴上一点，且，求点P的坐标． 14．如图，点在第二象限内，点 ，点． (1)将线段 平移得到，且点 A 与点C 对应，直接写出点 D 的坐标； (2)若三角形的面积不大于，求a的取值范围； (3)将线段向右平移n个单位长度，再向下平移若干个单位长度得到线段，使点A的对应点E落在x 轴上． 若点C在直线上，请直接写出n的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中、满足关系式．点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为t秒． (1) ， ，点的坐标是 ； (2)在点的运动过程中，用含的式子表示点的坐标； (3)在点的运动过程中，连接、，当三角形的面积是12时，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平面直角坐标系中的规律探索与面积计算（8大题型） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 分类讨论型图形的面积 题型九 平面直角坐标系中面积综合 知识点一：平面直角坐标系中图形的面积 1、 已知图形点的坐标求面积： 面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。 2、 已知图形面积求点的坐标： 可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。 【经典例题一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标规律探索，找到规律是解题的关键．根据题意可得，从一圈的长度为10，据此分析即可得细线另一端在绕四边形第202圈后的第3个单位长度的位置，从而求得细线另一端所在位置的点的坐标． 【详解】解：，，，， ，，，， 绕四边形一周的细线长度为， ， 细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置， 即点的坐标为． 故选：A． 1．一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即]，且每秒跳动一个单位，那么第秒时跳蚤所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律，通过观察可发现当n为奇数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；当n为偶数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；据此作答即可． 【详解】解：由题意得，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，表示秒后跳蚤所在位置的坐标，， 当n为奇数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标；当n为偶数时，表示秒后跳蚤所在位置的坐标； ∵没有一个整数的平方等于2022，而离2022较近的即为2025， ∴当，解得， ∴表示秒后跳蚤所在位置的坐标， ∴第秒时跳蚤所在位置应后退2个单位， ∴坐标是， 故选：D． 2．如图，一个机器人从点 出发，向正西方向走 到达点 ；再向正北方向走 到达点 ，再向正东方向走 到达点 ，再向正南方向走 到达点 ，再向正东方向走 到达点 ，按如此规律走下去，当机器人走到点 时在第 象限． 【答案】 【分析】此题考查了点在平面直角坐标系的坐标规律，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题．观察点的坐标规律即可求解． 【详解】观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时在一、三象限， 除以余数是的在第一象限，坐标为除以余数是的在第三象限， ∵， ∴在第三象限， 由，，，… ∴， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 【经典例题二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 【例2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键． 观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环， ∴， ∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是， 故答案为：C． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以OA为边在其右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则，点的纵坐标为（   ） 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标规律探究，根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角开 过点作轴的垂线，垂足为点得到点纵坐标是 ，根据以为边在右侧作等边三角形， 过点作轴的垂线，垂足为点，得到点纵坐标是 ， 以此类推得点的纵坐标是，解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解． 【详解】解：∵点的坐标是，以为边在右侧作等边三角开 过点作轴的垂线，垂足为点 ∴ ，， ∴ ，点纵坐标是 ， ∵以为边在右侧作等边三角形， 过点作轴的垂线，垂足为点， ∴，， ∴， ∴点纵坐标是 ，即， ∵以为边在右侧作等边三角形， 同理，得点纵坐标是 ， 按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即． 故选：C 2．如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意画出小球的轨迹示意图，进而得到每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，，再求出2024除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知小球的运动轨迹如下： 由图可知小球第一次碰到，第二次碰到，第三次碰到，第四次碰到，第五次碰到，第六次碰到， ∴每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，， ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 3．【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律： ，，，，，…． 【归纳·应用】 (1)直接写出点的坐标为______；点的坐标为______； (2)若点的坐标为，求n的值． 【答案】(1)； (2)1012 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，以及坐标找规律，一元一次方程的应用，解题的关键在于通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）根据图形写出坐标即可； （2）根据题意得到，，，，依此类推得到，再根据点的坐标为建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，点的坐标为， 点的坐标为； 故答案为：；． （2）解：，，，，， 且，，，，依此类推， ，即， 点的坐标为， ，解得． 【经典例题三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 【例3】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键； 观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后在第二象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第四象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为， 故选：C 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律．根据题目可知旋转三次为一个循环，图中第三次和第四次的直角顶点的坐标相同，由①→③时直角顶点的坐标可以求出来，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，旋转三次和原来的相对位置一样，点，， ∴，，， ∴， ∴旋转到第三次时的直角顶点的坐标为：， ∵， ∴旋转第24次的直角顶点的坐标为：， 又∴旋转第25次直角顶点的坐标与第24次一样是， 如图，点是第26次直角顶点，作于点， ∵，，，， ∵， ∴，， ∴旋转第26次的直角顶点的坐标是即， 故选：C． 2．（2024·湖北恩施·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将顺着x轴的正半轴无滑动的滚动，第一次滚动到①的位置，点B的对应点记作；第二次滚动到②的位置，点的对应点记作；第三次滚动到③的位置，点的对应点记作；；依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，点的坐标规律探索，先求出，再利用先利用翻转的性质、点坐标的变化规律分别求出点的坐标，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解；∵，， ， 由翻转的性质得：，则 由翻转过程可知，点重合，则， 点的横坐标为，纵坐标为2，即 同理可得：点重合，点的横坐标为，纵坐标为0， 即， 点的横坐标为，纵坐标为2，即 归纳类推得出以下规律：（其中，n为正整数） （1）点的横坐标变化规律为，纵坐标均为0 （2）点的横坐标变化规律为，纵坐标均为0 （3）点的横坐标变化规律为，纵坐标均为2 点的坐标变化规律符合（1） 则点的横坐标为，纵坐标为0，即 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： (1)请按顺序写出点A，E，C的对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； 与D ；B 与；与F ；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均 ； (2)若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值． 【答案】(1)，，，互为相反数 (2) 【分析】本题考查的是几何变换的类型，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据各点在坐标系中位置写出各点坐标即可； （2）根据（1）中各对应点的坐标特点得出关于a，b的方程，求出a，b的值即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ，，， 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数． 故答案为：，，，互为相反数； （2）由（1）知对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数， ∵点与点也是通过上述变换得到的对应点， ，， ． 【经典例题四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 【例4】（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第50个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式． 【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵， ∴第50个点在第10列上， ∴奇数列的坐标为 ； 偶数列的坐标为 ， 由加法推算可得到第50个点位于第10列自上而下第6行， 将10代入上式得， 即， 故选A． 1．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，已知平行四边形的顶点．若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， ∴每次轴对称变换重复一轮， ∵， ∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为为， 故选：． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标规律探究，根据图形，得到，每四次一个循环，每次循环的平移规则为向右，向上均平移个单位，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：，，， ∴， 从到的平移为：向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度， 从到的平移为：向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， 依次类推， 从到的平移为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵， ∴的坐标为， ∴向上平移个单位长度，得到， ∴，即：； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 【经典例题五 求规则图形的面积】 【例5】如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，过点分别作垂直于，垂足为点， ∵，，， ∴，，则 ∴三角形的面积是 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 1．已知点，，，如果的面积是，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据点的特征，得出两点在轴上，进而得出的长，再根据点的坐标，得出点到轴的距离为，再根据三角形的面积公式，即可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴两点在轴上， ∴， ∵， ∴点到轴的距离为， ∵的面积是， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、点到坐标轴的距离、三角形的面积，解本题的关键在计算点到轴的距离时，注意加绝对值． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，若点C的坐标是，则长方形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点C的坐标是，得到，根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：点C的坐标是，四边形是长方形， ， 长方形的面积是， 故答案为：． 3．长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，的坐标分别为，求长方形的面积． ‍ 【答案】6 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确确定的长度是解题关键．结合点，，的坐标确定的长度，然后根据长方形面积公式求解即可． 【详解】解：∵点，，的坐标分别为， ∴， ∴长方形的面积． 【经典例题六 求不规则图形的面积】 【例6】如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 1．数学中有许多优美、寓意美好的曲线．在平面直角坐标系中，绘制如图所示的曲线，给出下列四个结论：①曲线经过的整点即横、纵坐标均为整数的点中，横纵坐标互为相反数的点有2个；②曲线在第一、二象限中的任意一点到原点的距离都大于1；③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，其中正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中图形的面积，图形的对称性，点与象限的关系，点与圆的关系，熟练掌握图形的对称性，点与象限的关系，点与圆的关系，是解题的关键．根据曲线的对称性，正方形的性质，面积求法，结合坐标系可以判定． 【详解】解：如图，连接，， ∵曲线经过点，，，，，， ∴①错误； ∵曲线在第一、二象限中的任意一点都在以O为圆心，以1为半径的圆外， ∴曲线在第一、二象限中的任意一点到原点的距离大于1， ∴②正确； ∵的面积为， ∵四边形是长方形且，， ∴长方形面积为2， ∴长方形面积与的面积和为3， ∵曲线所围成的“心形”区域的面积大于矩形的面积与的面积和， ∴曲线所围成的“心形”区域的面积大于3， ∴③正确； 故选∶D． 2．在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点，，过点作轴交于点，且，求的面积． 【答案】6 【分析】本题考查了坐标与图形性质以及求三角形的面积．先计算出点与点的水平距离为6，以为底边，则和的高的和为6，所以． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， 因为点，，点，， 则， 所以 ． 【经典例题七 根据图形的面积求点坐标】 【例7】已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了图形与坐标，先设点的坐标为，结合点，，列式三角形的面积是，因为三角形的面积是，得出，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上 ∴设点的坐标为 依题意， 解得 ∴点的坐标是或 故选：C 1．已知点，，点C在y正半轴上，且的面积是8，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查坐标系中的坐标与图形，根据点A和点B在x轴上，距离可用横坐标之差的绝对值求出，C点在y轴的正半轴上，用面积列等式求解即可． 【详解】解：点C在y轴的正半轴上，点和点在x轴上， ， 的面积为8，得 ， 解得， 点， 故选：C． 2．已知，，点在轴上，且三角形的面积是2，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，则，根据三角形的面积是2，得到，解之即可得到答案． 【详解】解：设点P的坐标为，则， ∵三角形的面积是2， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 3．如图，三角形的顶点的坐标分别为，，．若三角形先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形 (1)画出三角形，并直接写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若在轴有一点，使三角形的面积是，求点的坐标． 【答案】(1)作图见详解，； (2)； (3)M的坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，面积的计算，点坐标的确定，掌握平移的性质，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）根据图形平移规律即可求解； （2）根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）设，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：三角形，如图所示， ； ∴； （2）解：； （3）解：已知， ∴设， ∴， 解得，， ∴M的坐标为或． 【经典例题八 分类讨论型图形的面积】 【例8】已知在平面直角坐标系中有点，，，． (1)在坐标系内描出的位置； (2)求出的面积； (3)在y轴上是否存在一点P使得以三点为顶点的三角形面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系点坐标画图，求网格中三角形面积，利用面积求点坐标等． （1）根据题意在平面直角坐标系中描出三个点，，，继而得到答案； （2）先在平面直角坐标系中找出点并顺次连接得到，根据补全法求三角形面积公式即可； （3）设点P的坐标为，继而利用面积公式列式继而求出点P的坐标． 【详解】（1）解：根据题意在平面直角坐标系中描出三个点，，，并顺次连接如下图所示： （2）解：∵，，， ∴在平面直角坐标系中顺次连接得到， ∴； （3）解：∵以三点为顶点的三角形面积为10， ∴点P的坐标为，在平面直角坐标系顺次连接， 设三点围成的三角形高为， ∴， ∵， ∴， ∴点到直线距离为， 当点在轴正半轴上时，，即， 当点在轴负半轴上时，，即， ∴点P的坐标为或． 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．      (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）． (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在满足条件的点，其坐标为或或或 【分析】（1）根据非负数的性质得，，解方程即可得出和的值，从而得出答案； （2）过点作，交轴于点，根据角平分线的定义得，，再利用平行线的性质可得答案； （3）连接，利用两种方法表示的面积，可得点的坐标，再分点在轴或轴上两种情形，分别表示的面积，从而解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）解：过点作，交轴于点，如图所示：   ， ， ， ， ，， ， ，分别平分，，， ，， ，， ； （3）解：存在． 理由如下：连接，如图所示：    设， ， ，解得， 点坐标为， ，，， ∴， 当点在轴上时，设， ， ，解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设，则，解得或， 此时点坐标为或， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，角平分线的定义，角的和差关系，三角形的面积等知识，利用分割法表示三角形的面积是解题的关键． 3．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)求三角形的面积． (2)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． (3)若过B作交y轴于D，且分别平分，如图②，求的度数． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）由，可得，可求，则，根据，计算求解即可； （2）设，则，，由，可得，计算求解，然后作答即可； （3）如图2，过点E作，则，，，，由分别平分，可得，由，可得，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴三角形的面积为． （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，或， ∴存在，P点坐标为或． （3）解：如图2，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，坐标与图形，绝对值方程，平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握算术平方根的非负性，坐标与图形，绝对值方程，平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． 【经典例题九 平面直角坐标系中面积综合】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，以为顶点的三点坐标分别为． (1)如图，连接，得到．将沿着轴翻折后连接求的面积与的面积的差． (2)在上有一点．若对作平移运动，且平移后点的对应点坐标为，画出平移后的三角形，平移后点的坐标是______． (3)将沿着轴折叠，点的对应点是．若在轴上存在一点，使最小，求点的坐标． 【答案】(1)的面积与的面积的差等于 (2)画图见解析， (3) 【分析】本题考查的是画轴对称图形，轴对称的性质，画平移图形，平移的性质，熟练的画图是解本题的关键． （1）先画图，可得与关于轴对称，从而可得答案； （2）由的对应点可得平移方式：向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；再画图即可，再根据平移方式可得平移后D的坐标； （3）先画关于轴对称的图形，结合，关于轴对称，再连接与轴交于点，则，此时最小，再结合图形可得答案． 【详解】（1）解：如图， ∵，；，关于轴对称，关于轴对称的点为， ∴与关于轴对称， ∴， ∴的面积与的面积的差等于． （2）如图，即为所求作的三角形； ∵平移到， ∴平移方式为：向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度； ∵， ∴平移后D的坐标为． （3）如图，与关于轴对称， ∵，关于轴对称， ∴连接与轴交于点，则，此时最小， ∴． 1、如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长． 【答案】(1)点C的坐标为 (2)点C，D之间的距离是为定值，定值为4，理由见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定及性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． （1）过点C作轴于点，利用互余可证，进而利用可证明，可得，，由，可得点的坐标； （2）连结，利用互余可证，进而利用可证明，可得，即可得结论； （3）过点C作轴于点F，由（1）可知，，得，结合题意可知，，再证，得， 根据，，可得，即，得，根据即可求解． 【详解】（1）解：过点C作轴于点， ， ， ， ， 在和中，， ， ，． ， ∴点C的坐标为． （2）点C，D之间的距离是为定值，理由如下： 连结， ， ， 在和中，， ． ， 即：点C，D之间的距离是为定值； （3）过点C作轴于点F，由（1）可知，， ， ， ，． ，，， ， ， ， 由题可知， ， ． ， ． 2．在平面直角坐标系中，为原点，点，，．若将点向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点．    (1)点D的坐标为______； (2)若点是轴上一动点，若的面积等于的面积，请求出点的坐标； (3)若点为轴上一动点，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，或或或． 【分析】本题考查坐标与图形变化，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）根据坐标的平移规律即可解答； （2）设点，先求出的面积，再表示出的面积即可得到方程，解方程即可解答； （3）分情况讨论，分别为腰和底时，利用等腰三角形的性质即可求出点的坐标． 【详解】（1），将点向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点． 的坐标为即的坐标为：； 故答案为：； （2）设点， 的面积为， 的面积为， 的面积等于的面积， ， 解得或， 的坐标为或； （3）为等腰三角形，当为底时，点在的垂直平分线上，如图：   ， 设，， 在中，， 解得， 的坐标为，； 当为腰时，如图，    若，此时的坐标为， 若，此时，的坐标为， 若，此时的坐标为， 综上所述，若为等腰三角形，点的坐标为，或或或． 3．如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，C是x轴负半轴上一点，且，P是y轴正半轴上一点，作于点D，连接OD． (1)C点坐标为______，______． (2)①当点P在线段OA上时，若是以OB为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的P点坐标． ②如图2，设DP交直线AC于点E，连结CP，若，则______（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】（1）根据点、坐标可得出、、的长，利用勾股定理即可求出答案； （2）①当时，利用可证明，得出，进而求出的长即可得点坐标；当时，利用等腰三角形点性质及直角三角形两锐角互余可得出，即可得点坐标；综上即可得答案；②分点在线段上和点在点上方两种情况，根据可求出，根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形两锐角互余及等角对等边得出，进而求出的长，根据三角形面积公式即可得答案． 【详解】（1）解：∵A点坐标为，B点坐标为，， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴． 故答案为：， （2）①当时， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为． 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为， 综上所述：点坐标为或． ②如图2，当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图3，当点在点上方时， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或 【点睛】本题考查坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形点判定与性质及三角形面积的计算，熟练掌握相关性质及判定定理，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键． 1．如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2024次，点依次落在点，的位置，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标规律，通过图形得到坐标点的规律是解题的关键．观察图形和各点坐标可知：由图可知的坐标为，的横坐标为，、的坐标为，的坐标为，的坐标为，正方形转到时与的方位相同，此时正方形刚好转完一周，即点的坐标是以个单位为周期往上加，按照此规律，求解即可． 【详解】解：根据题意知正方形的边长为， 由图可知的坐标为，的坐标为，、的坐标为，的坐标为，的坐标为，正方形转到时与的方位相同，此时正方形刚好转完一周，即点的坐标是以个单位为周期往上加， ， 当旋转周时对应的横坐标为：，纵坐标为1， 即的坐标为， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2024次跳动至点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据题意可以发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1，的坐标为，根据规律直接求解即可． 【详解】解：根据题意可以发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1， ∴的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，若记为第1个点，则第12个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标规律的探究，根据题意得到3个一循环的坐标规律，用12除以3得到具体位置即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵→→→→→→→…， ∴3个点为一组，每个的坐标为：，，， ∵， ∴第12个点的坐标为：，即； 故选A． 4．在平面直角坐标系中，A，B，C，且，并且．则的面积的最大值为（     ） A．6 B．13 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解不等式，三角形的面积，关键是得到的长和边上高的最大值． 观察三个点的坐标可知，再由，并且可得，可得边上高的最大值，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ∴， ∴ ， 边上高的最大值是， 面积的最大值为． 故选：C． 5．已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据三角形的面积求出的长，再分点在点的左边与右边两种情况讨论求解． 【详解】解：点， ， 解得， 若点在点的左边，则， 此时，点的坐标为， 若点在点的右边，则， 此时，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 6．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，….根据这个规律，点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系当中点的规律，正确找出平面直角坐标系当中点的规律是解题的关键． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由图可知，被4除余1的点在第三象限的角平分线的点上，再根据第三象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线的直线上， 由规律可得，，即点在第三象限的角平分线的直线上， ∴点， 故答案为：． 7．如图所示，一个动点P在边长为1的方格中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从点运动到点，第二次从点运动到点，第三次从点运动到点，第四次从点运动到点，第五次从点运动到点……按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的位置是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律，旨在考查学生的抽象概括能力．由题意得动点P运动次后，位置为；可依次得运动次、次、次的位置，即可寻得规律求解. 【详解】解：由题意得：动点P运动次后，位置为； 运动次后，位置为； 运动次后，位置为； 运动次后，位置为； ∵ ∴经过第次运动后，动点P的位置是 故答案为： 8．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得的坐标为，的坐标为，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：的坐标为，的坐标为 ∵ ∴点的坐标是，即 故答案为： 9．七个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线l与x轴的交点B的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分列方程求解是解本题的关键．作轴于D，轴于E， 设，则，根据题意有，代入相关数据即可求解． 【详解】解：作轴于D，轴于E ∵， ∴， 设，则， 则根据题意有： ∴， ∴， 解得： ∴直线l与x轴的交点B的横坐标为． 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，且满足，过点A作轴于点．若轴上存在点，满足三角形和三角形的面积相等，则点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题考查算术平方根、平方数的非负性及坐标与图形，直角坐标系内求三角形面积；利用坐标确定线段的长度是解题的关键．先求得出点A、B坐标，进而求出，根据题意求出结论即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 11．在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)直接写出点到点的距离：___________． 【答案】(1)；；； (2)1012 【分析】（1）根据题意可得点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；……由此发现规律，即可求解； （2）根据，可得点的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； …… 由此发现，点的坐标为； 故答案为：；；；； （2）解：∵， ∴点的坐标为，即， ∵点的坐标为， ∴点到点的距离1012． 故答案为：1012 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的规律题，明确题意，准确得到点的坐标为是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，第一将变成△，第二次将△变换成△，第三次将△变换成△已知，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将△变换成△，则的坐标是 ，的坐标是 ； (2)若按第（1）题找到的规律将进行次变换，得到△，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． (3)在前面一系列三角形变化中，你还发现了什么？ 【答案】(1)； (2)，；， (3)见解析 【分析】（1）根据点的坐标和等腰三角形的性质直接写出结论； （2）由题可得，A点的规律为：横坐标为2的下角标次方，纵坐标为3；B点坐标规律为：横坐标为2的下角标+1次方，纵坐标为0，再写出，的坐标即可； （3）根据题意得出结论即可． 【详解】（1），△为等腰三角形，且点与的横坐标相同，的纵坐标是3， ． ∵， ∴； 故答案为：；； （2）观察，发现：，，，，，， ，； ，，，，，， ，． 故答案为：，；，； （3）在前面一系列三角形变化中，我发现：点的纵坐标均为3，点都在轴上，△均为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，坐标规律，等腰三角形的性质等，仔细观察图形中点的横纵坐标变化的规律是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶，点坐标分别为． (1)求的面积； (2)若点P为x轴上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查了三角形的面积公式及坐标与图形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，求出，再结合三角形的面积公式即可求出的值； （2）设出点P的坐标，找出线段的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴的面积； （2）解：依题意，设点的坐标为， 则， 又∴， ， ， 即， 解得：或， 故点P的坐标为或． 14．如图，点在第二象限内，点 ，点． (1)将线段 平移得到，且点 A 与点C 对应，直接写出点 D 的坐标； (2)若三角形的面积不大于，求a的取值范围； (3)将线段向右平移n个单位长度，再向下平移若干个单位长度得到线段，使点A的对应点E落在x 轴上． 若点C在直线上，请直接写出n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了线段的平移，确定对应点，找到平移规律是解题关键． （1）设 ，由平移的规律得：，据此即可求解； （2）分别过点A、B、C向坐标轴作平行线，构造梯形，可得，根据可得；结合点在第二象限，即可求解； （3）过C作交x轴于E，则点E即为点A的对应点，设，由可求得，根据平移规律即可求解； 【详解】（1）解：设 ∵，， 由平移的规律得：， ∴， ∴D （2）解：分别过点A、B、C向坐标轴作平行线，构造梯形，如图所示： ∵，，， ∴， ∴ ， 依题意， 解得：. ∵点在第二象限内， ∴， ∴ （3）解：过C作交x轴于E，则点E即为点A的对应点，设 由(1)得点D在直线上，连. ∵，D 由得， 解得 ∴ ∴ 15．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中、满足关系式．点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为t秒． (1) ， ，点的坐标是 ； (2)在点的运动过程中，用含的式子表示点的坐标； (3)在点的运动过程中，连接、，当三角形的面积是12时，直接写出的值． 【答案】(1)6；； (2)当时，；当时，；当时， (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质： （1）由非负数的性质得，，解得，，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当时，②当时；③当时，分别求解即可； （3）分点P在点上，点P在上，两种情形根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵a，c满足关系式， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴； （2）解：由（1）可知， ①当时，点P在上，此时，； ②当时，点P在上，此时，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则； ③当时，点P在上，此时，， ∴； （3）解：当点P在上，此时， ∴， 解得； 当点P在上时，此时， ∴， 解得； 综上所述，或。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$