专项3 隐圆与最值-人教版九年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 3 隐圆与最值 1．(1) 2 10 (2) 6 9 6 18 3 6, 10 10 P         【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性 质综合 【分析】（1）在 x轴上取点  6,0H ，连接 AH，根据相似三角形的判定和性质得出 1 2 BP OP HP OH   ， 结合图形得出当点 P在 AH上时， 2PA PB PA HP AH    取得最小值，再由勾股定理求解即可； （2）设直线 AH的解析式为 y kx b  ，利用待定系数法确定函数解析式，设 1, 2 3 P x x      ，然 后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，在 x轴上取点  6,0H ，连接 AH， ∵点  0,2A ，点 3 ,02B       ， ∴ 32, , 6 2 AO OB OH   ， ∵ 3 1 32 3 2 6 OB OP OP OH     ， BOP POH  ， ∴ BOP POH ∽ ， ∴ 1 2 BP OP HP OH   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴ 2HP BP ， ∴ 2PA PB PA HP   ， 当点 P在 AH上时， 2PA PB PA HP AH    取得最小值， ∴ 2 22 6 2 10AH    ， 故最小值为 2 10 ； （2）∵  0,2A ，  6,0H ， ∴设直线 AH的解析式为 y kx b  ，将点代入得： 2 6 0 b k b     ，解得 2 1 3 b k      ， ∴ 1 2 3 y x   ， 设 1, 2 3 P x x      ， ∵ O 半径为 3， ∴ 2 2 1 2 9 3 x x        ， 解得： 6 9 6 10 x  （负值舍去）， ∴ 18 3 6 10 y  ， ∴ 6 9 6 18 3 6, 10 10 P         ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理 解题意，作出相应辅助线是解题关键． 2．① 37 ；②2 37；③ 2 373 ；④2 37． 【知识点】圆的基本概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】①在 CB上取点 D，使 1CD  ，连接 CP、DP、AD．根据作图结合题意易证  DCP PCB， 即可得出 1 2 PD BP ，从而推出 1 2 AP BP AP PD   ，说明当 A、P、D三点共线时，AP PD 最小， 最小值即为 AD长．最后在 Rt ACD△ 中，利用勾股定理求出 AD的长即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ②由 12 2( ) 2   AP BP AP BP ，即可求出结果； ③在 CA上取点 E，使 2 3 CE  ，连接 CP、EP、BE．根据作图结合题意易证  ECP PCA，即可 得出 1 3 EP AP ，从而推出 1 3 AP BP EP BP   ，说明当 B、P、E三点共线时，EP BP 最小，最小值 即为 BE长．最后在Rt BCE△ 中，利用勾股定理求出 BE的长即可； ④由 13 3( ) 3   AP BP AP BP ，即可求出结果． 【详解】解：①如图，在 CB上取点 D，使 1CD  ，连接 CP、DP、AD． ∵ 1CD  ， 2CP  ， 4CB  ， ∴ 1 2 CD CP CP CB   ． 又∵ DCP PCB   ， ∴  DCP PCB， ∴ 1 2 PD BP  ，即 1 2 PD BP ， ∴ 1 2 AP BP AP PD   ， ∴当 A、P、D三点共线时， AP PD 最小，最小值即为 AD长． ∵在 Rt ACD△ 中， 2 2 2 26 1 37    AD AC CD ． ∴ 1 2 AP BP 的最小值为 37 ； ②∵ 12 2( ) 2   AP BP AP BP ， ∴ 2 AP BP的最小值为 2 37 2 37  ； ③如图，在 CA上取点 E，使 2 3 CE  ，连接 CP、EP、BE． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∵ 2 3 CE  ， 2CP  ， 6CA  ， ∴ 1 3   CE CP CP CA ． 又∵ ECP PCA， ∴  ECP PCA， ∴ 1 3  EP AP ，即 1 3 EP AP ， ∴ 1 3 AP BP EP BP   ， ∴当 B、P、E三点共线时， EP BP 最小，最小值即为 BE长． ∵在 Rt BCE△ 中， 2 2 2 22 2 374 ( ) 3 3     BE BC CE ． ∴ 1 3 AP BP 的最小值为 2 37 3 ； ④∵ 13 3( ) 3   AP BP AP BP ， ∴ 3AP BP的最小值为 2 373 2 37 3   ． 【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线， 并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键． 3．（1）A，B，O在一条直线上（或 AB OB AO  ）；2；（2）2；（3） ，见解析；（4）2 17 2 ， 见解析；（5）1，见解析. 【知识点】求一点到圆上点距离的最值 【分析】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，这时 A，B， O在一条直线上； （2）作 AD⊥BC于点 D，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出 AD的长度，用 AD的长度 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 减去半径即为圆上动点 P到 BC的距离最小值； （3）根据点 C与点 O之间的距离永远不变说明点 C的运动轨迹为圆，利用弧长公式求路径长 即可； （4）先根据 EB为定值，确定点 B’的运动轨迹，然后当 D,B’,E三点共线时，DB’最小，利用 勾股定理求出 DE的长度，再减去半径即可； （5）过 O点作OP BC ，利用三角形中线的性质得出 OP,OQ 的长度，从而求出 PQ的最小值. 【详解】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，AB有最小值 为 3-1=2此时 A，B，O在一条直线上（或 AB OB AO  ）； （2）如图，作 AD⊥BC于点 D ∵ 5,AB AC AD BC   1 1 6 3 2 2 BD CD BC      由勾股定理得 2 2 2 25 3 4AD AB BD     点 P到 BC的距离最小值为 4 2 2  （3）如图，连接OC， ∵ 90O  ，C是 PQ中点， 4PQ  ，∴ 2OC  所以 C是以 O为圆心，半径为 2的圆上，所以 90 2 180 180 n rl      （4）如图，连接 DE 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 因为点E是定点， 2EB  ，所以 B的轨迹为以E为圆心，2为半径的圆上. 2 22 8 68 2 17DE     ， ∴DB的最小值为 2 17 2 （5）如图，过 O点作OP BC ，交圆 O于点 Q， 由三角形中线的性质得 1 4 2 OP AC  ， 1 3 2 OQ BC  ，所以 PQ最小值为 1 【点睛】本题主要考查根据材料求最小距离，找到动点的运动轨迹是解题的关键. 4．(1)对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形） (2)图见解析，点 D在 O 上 (3)详见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、写出命题的逆命题、用反证法证明命题 【分析】本题考查了反证法，命题与定理及线段的垂直平分线的性质及有关圆的性质是解题的 关键． （1）根据逆命题与原命题是条件、结论互换解答． （2）根据作过不共线的三个点的圆作法作图，先确定圆心再确定半径； （3）根据反证法的步骤进行证明． 【详解】（1）解：对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边 形）． （2）解：如图 1， O 为所求． 点 D在 O 上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 （3）证明：假设点 D在 O 外时，如图 3， CD交 O 于点 E，连结 AE， AEC 是 DEA△ 的外角， AEC ADC  ． 四边形 ABCE是 O 的内接四边形， 180ABC AEC    又 180ABC ADC    ， AEC ADC  ． 这与 AEC ADC  相矛盾，所以假设不成立， 所以点 D不可能在 O 外． 5．（1）① 23；②2；（2）2；（3）① AE DF AE DF ， ；② 5 π 4 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆 周角是直角 【分析】（1）①点 B、C、D都在 A 上，根据 46BAC  ，得 23BDC  ；② 90APB  ； （2）连接 AC，求出 5AC  ，由轴对称知 3AM  ，根据CM AC AM  ，得到CM的值最小为 2； （3）①根据正方形性质，结合DE CF ．证明  SASADE DCF ≌ ，得到 AE DF DAE CDF   ， ， 推出 90APF ADC     ，即得 AE DF ；②根据 90APD  ，知在点 E运动时，点 P从点 D开 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 始运动到正方形对角线交点 O，得点 P是在以 AD为直径的 G 上运动，路径长为 G 的 14周长， 为 5 π 4 OD  ． 【详解】（1）①∵ AB AC ， AD AC ， ∴点 B、C、D都在 A 上， ∵ 46BAC  ， ∴ 1 23 2 BDC BAC     ， 故答案为： 23； ②∵ 90ABC  ， ∴ 90ABP PBC   ， ∵ PAB PBC  ， ∴ 90BAP ABP   ， ∴  180 90APB BAP ABP      ， ∴ 点 P在以 AB (定弦)为直径的 O 上， ∴当点O， P，C三点共线时，CP的长最小 90ABC  ， ∴ 2 2 5OC OB BC   ， ∴CP长的最小值为5 3 2  ； （2）连接 AC， ∵矩形 ABCD中， 3 4AB BC ， ， 90ABC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴ 2 2 5AC = AB +BC = ， 由轴对称知 3AM AB  ， ∵CM AC AM  ， ∴当点 M在 AC上时，CM的值最小， 最小值为： 2CM AC AM   ； 故答案为：2； （3）① AE DF AE DF ， ．理由： ∵正方形 ABCD中， 90AD CD ADC DCB     ， ，且DE CF ． ∴  SASADE DCF ≌ ， ∴ AE DF DAE CDF   ， ， ∴ 90APF ADF DAE ADF CDF         ， ∴ AE DF ； ②∵ 90APF  ， ∴ 180 90APD APF     ， ∴点 P在以 AD为直径的 G 上运动， 当点 E从点 D开始运动到点 C时， 点 P也随之从点 D开始运动到正方形对角线交点 O， ∴由对称性知，点 P运动的路径长为 G 的 14圆周长， ∴ 1 5π π 4 4 OD AD   ． 故点 P的运动路径长为： 5 π 4 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【点睛】本题主要考查了圆和三角形、四边形综合．熟练掌握圆周角定理及其推论，矩形、正 方形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，轴对称性质，三角形外角性质， 三角形三边关系，圆周长（或弧长）公式，是解决问题的关键． 6．(1)25 (2)图见解析 (3)①4 2 2 2m   ② 7 2AD   【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、圆周角定理、画圆(尺规作图)、切线的性质定理 【分析】（1）取 BD的中点O，连接 AO、CO．由直角三角形的性质证明点A、 B、C、D共 圆，由圆的性质得出 BDC BAC  ，则可得出答案； （2）作出等边三角形OAB，再以 O为圆心，OA为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线 l的 交点即为点 P； （3）①在 BC上截取 4BF BA  ，连接 AF ，以 AF 为直径 O ，由图形可知BF m BQ  ，由勾 股定理求出 BF和 BQ的长，则可得出答案； ②作 ABC 的外接圆，过圆心O作OE BC 于点 E，作OF AD 于点 F，连接OA、OB、OC．由 圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图，取 BD的中点O，连接 AO、CO． 90BAD BCD    ， 1 2 OA BD  ， 1 2 OC BD ， OA OB OC OD    ， 点A、 B、C、D共圆， BDC BAC   ， 25BDC   ， 25BAC  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 故答案为：25； （2）作图如下： 由图知， 1 1 30 2 APB AOB     ；同理 2 30AP B  ． （3）① 4 2 2 2m   ．理由如下： 在 BC上截取 4BF BA  ，连接 AF ，以 AF 为直径作 O ， O 交 AD于 E，交 BC于 F，连接 EF， 过圆心O作OG EF 于H且交圆O于G，过G作 O 的切线KQ交 AD于K交 BC于Q，如图所示： 4BA BF  ， 4 2AF  ， O 的半径为 2 2，即 2 2OF OG  ， ∵OG EF ， 2FH  ， 2OH  ， 2 2 2GH   ， BF m BQ   ， 4 4 2 2 2m     ，即4 2 2 2m   ， 故答案为： 4 2 2 2m   ； ②如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE BC 于点 E，作OF AD 于点 F，连接OA、OB、 OC，则四边形OEDF 是矩形， ∴OE FD ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 45BAC   ， 90BOC  ． 在Rt BOC 中， 3 1 4BC    ， 2 2BO CO   ． OE BC ，O为圆心， 1 2 2 BE BC   ， 1DE OF   ． 在Rt BOE 中， 2 2BO  ， 2BE  ， 2OE DF   ． 在Rt AOF 中， 2 2AO  ， 1OF  ， 2 2 7AF OA OF    ， 7 2AD   ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、 等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关 键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 3 隐圆与最值 1．【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA k PB  （ 0k  且 1k  ）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿 氏圆”． 【模型建立】如图 1所示，圆 O的半径为 r，点 A、B都在圆 O外，P为圆 O上一动点，已知 r kOB ，连接 PA、PB，则当“PA kPB ”的值最小时，P点的位置如何确定？ 第 1步：一般将含有 k的线段 PB两端点分别与圆心 O相连，即连接 OB、OP； 第 2步：在 OB上取点 C，使得 2OP OC OB  ，即 OC OP OP OB  ，构造母子型相似 OCP△ ∽ OPB△ （图 2）； 第 3步：连接 AC，与圆 O的交点即为点 P（图 3）． 【问题解决】如图， O 与 y轴、x轴的正半轴分别相交于点 M、点 N， O 半径为 3，点  0,2A ， 点 3 ,0 2 B      ，点 P在弧 MN上移动，连接 PA，PB． (1) 2PA PB 的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点 P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2．如图 1，在 RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆 C的半径为 2，点 P为圆上一 动点，连接 AP，BP，求： ① 1 2 AP BP ， ② 2 AP BP， ③ 1 3 AP BP ， ④ 3AP BP的最小值． 3．阅读下列材料，回答问题. 材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出 题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该 动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成 圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值． 解决问题： （1）如图①，圆 O的半径为 1，圆外一点 A到圆心的距离为 3，圆上一动点 B，当 A、O、B 满足条件____________时， AB有最小值为____________. （2）如图②，等腰 ABC 两腰长为 5，底边长为 6，以 A为圆心，2为半径作圆，圆上动点 P 到 BC的距离最小值为__________. （3）如图③，OA OB ，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段 PQ的中点，且 4PQ  ， 则在线段 PQ滑动的过程中，求点 C运动形成的路径长，并说明理由. （4）如图④，在矩形 ABCD中， 4AB  ， 8AD  ，点 E是 AB中点，点 F是 BC上一点，把 BEF△ 沿着 EF翻折，点 B落在点 B处，求DB的最小值，并说明理由. （5）如图⑤，在 ABC 中， 10AB  ， 8AC  ， 6BC  ，以边 AB中点 O为圆心，作半圆与 AC相 切，点 P，Q分别是边 BC和半圆上的动点，连接 PQ，求 PQ长的最小值，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 4．综合探究 小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可 以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点 共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此， 他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整． (1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为： ________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆 的一个依据． (2)【验证】如图 1，在四边形 ABCD中， 180ABC ADC    ，请在图 1中作出过点 A B C、 、 三点 的 O ，并直接判断点 D与 O 的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法） (3)【证明】已知：如图 1，在四边形 ABCD中， 180ABC ADC    ， 求证：点 A B C D、 、 、 四点共圆． 证明：过 A B C、 、 三点作 O ，假设点 D不在 O 上， 则它有可能在圆内（如图 2），也有可能在圆外（如图 3）． 假设点 D在 O 内时，如图 2，延长CD交 O 于点 E，连结 AE， ADC 是 DEA△ 的外角， ADC AEC   ， 四边形 ABCE是 O 的内接四边形， 180ABC AEC   ， 又 180ABC ADC    ， ADC AEC  ． 这与 ADC AEC  相矛盾，所以假设不成立，所以点 D不可能在 O 内． 请仿照以上证明，用反证法证明“假设点 D在 O 外”（如图 3）的情形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 5．阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如 果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆 为显圆”．这类题目主要有两种类型． ① 类型一，“定点+定长”：如图 1，在△ABC中， 46AB AC BAC   ， ，D是 ABCV 外一点， 且 AD AC ，求 BDC 的度数． 解：若以点 A(定点) 为圆心，AB (定长) 为半径作辅助圆 A ，(请你在图 1上画圆)则点 C、D 必在 A 上， BAC 是 A 的圆心角， 而 BDC 是圆周角， 从而可容易得到 BDC  ． ② 类型二，“定角+定弦”：如图 2，Rt ABC△ 中， 6 4AB BC AB BC  ， ， ，P是 ABCV 内部的 一个动点，且满足 PAB PBC  ，求线段CP长的最小值． 解：∵ 90ABC  ， ∴ 90ABP PBC   ，∵ PAB PBC  ，∴ 90BAP ABP   ，∴ APB  (定角)，∴ 点 P在以 AB (定弦)为直径的 O 上， 请你完成后面的过程． (2)【问题解决】如图 3，在矩形 ABCD中，已知 3 4AB BC ， ，点 P是 BC边上一动点(点 P不 与 B，C重合)，连接 AP，作点 B关于直线 AP的对称点 M，则线段MC的最小值为 ． (3)【问题拓展】如图 4，在正方形 ABCD中， 5AD  ，动点 E，F分别在边DC CB， 上移动，且 满足DE CF ．连接 AE和DF，交于点 P． ① 请你写出 AE与DF的关系，并说明理由； ② 点 E从点 D开始运动到点 C时，点 P也随之运动，请求出点 P的运动路径长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 6．【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识 解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图 1，在△ABC中， AB AC ， 90BAC  ，D是△ABC外一点，且 AD AC ，求 BDC 的度数．若以点 A为圆心，AB长为半径作辅助圆 A ，则 C、D两点必在 A 上， BAC 是 A 的圆心角， BDC 是 A 的圆周角．则 45BDC  ． (1)如图 2，在四边形 ABCD中， 90BAD BCD   ， 25BDC  ，则 BAC  ； (2)如图 3，已知线段 AB和直线 l，用直尺和圆规在 l上作出所有的点 P，使得 30APB  （不 写作法保留作图痕迹）； (3)①如图 4①，已知矩形 ABCD， 4AB  ，BC m ，M为边CD上的点，若满足 45AMB  的点 M恰好有两个，则 m的取值范围为 ； ②如图 4②，在△ABC中， 45BAC  ， AD是 BC边上的高，且 3BD  ， 1CD  ，求 AD的长．