专项2 二次函数多结论问题-人教版九年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 2 二次函数多结论问题 1．二次函数  2 0y ax bx c a    的顶点坐标为  1 n ， ，其部分图象如图所示．以下结论错误的 是（ ） A． 0abc  B．4 2 0a b c   C．2 0a b  D． 24 0ac b  2．二次函数  2 0y ax bx c a  ＝ 的部分图象如图所示，其对称轴为直线 12x   ，且与 x轴的一 个交点坐标为  2 0 ， ．下列结论：① 0abc < ；② 0a b  ；③ 0a b c   ；④ 2 2 0b ac  ．其中正 确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知抛物线 2y ax bx c   的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（ ） ① 0abc  ；② 2 4b ac ； ③ <0a b c  ；④2 0a b  ；⑤ 1a c  ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．抛物线  ² 0y ax bx c a    的部分图象如图所示，与 x轴的一个交点坐标为  4,0 ，抛物线的 对称轴是直线 1x  ．下列结论： ① 0abc  ；② 2 0a b  ；③ 4 2 0a b c   ； ④方程 ² 2ax bx c   有两个不相等的实数根； ⑤若点  ,A m n 在该抛物线上，则 ²am bm c a b c     ．其中正确的个数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．在平面直角坐标系中，二次函数  2 0y ax bx c a    的图象如图所示，现给以下结论：① 0abc < ； ② 2 0c a  ；③9 3 0a b c   ；④ 24 0ac b  ；⑤  a b m am b   （m为任意实数）．其中错误结 论的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知二次函数  2 0y ax bx c a    图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 (5 0)， ，对称轴 为直线 2x  ．对于下列结论： 0b ① ；② a c b  ；③多项式 2ax bx c  可因式分解为 ( 1)( 5)x x  ； ④无论 m 为何值时， 2 4 2am bm a b   ．其中正确个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7．抛物线 2y ax bx c   的顶点为  1,2D  ，与 x轴的一个交点 A在点  3,0 和  2,0 之间，则以 下结论：① 2 4 0b ac  ；②当 1x   时，y随 x增大而减小；③ 0a b c   ；④若方程 2 0ax bx c m    没有实数根，则m>2；⑤3 0a c  ．其中正确结论的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，二次函数  2 0y ax bx c a    的图象与 x轴交于点  3,0A ，与 y轴交于点 B，对称轴为 直线 1x  ，下列四个结论：① 0bc  ；② 3 2 0a c  ；③若实数 1m  ，则 2am bm a b   ；④若 2 1c    ， 则 8 4 3 3 a b c      ，其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，已知抛物线 2y ax bx c   与直线 y kx m  交于    3 1 0 3A B ， ， ， 两点．下列结论： 0bc① < ； 2 4 0b ac ② ；③关于 x的不等式 2ax bx c kx m    的解集是 3 0x   ； 2 0a ab ac- + <④ ；⑤关于 x的方程 2 4 0ax bx c    无解；其中正确的有（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x轴交于点 A（﹣1，0），与 y轴的交 点 B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=1．下列结论：①abc ＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④ 13＜a＜ 2 3 ⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 2 二次函数多结论问题 1．D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判 断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与 y 轴 的交点可以对 A 进行判断；根据抛物线与 y 轴的交点情况可对 B 进行判断；根据对称轴的 位置，可对 C 进行判断；根据 0, 0c a  ，对称轴为直线 1 2 bx a     ，可对 D 进行判断． 【详解】解：A．抛物线开口向下， 0a  ， 对称轴为直线 1 2 bx a     ， 2 0b a   ， 抛物线与 y轴交于正半轴， 0c  ， 0abc  ， 故 A正确；不符合题意； B．当 2x   时，得到 4 2y a b c   ，由图象可知，当 2x   时， 0y  ． 故 B正确；不符合题意； C．对称轴为直线 1 2 bx a     ， 2b a  ， 2 0a b   ， 故 C正确；不符合题意； D． 0, 0c a  ，对称轴为直线 1 2 bx a     ， 2b a  ，  2 24 4 4 4 0ac b ac a a c a       ， 故 D错误．符合题意． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故选：D． 2．D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x轴的交点．关键是掌握二次函数的 性质．根据对称轴、开口方向、与 y轴的交点位置即可判断 a、b、c与 0的大小关系，然后将 由对称轴可知 a b ，图象过 (1,0)代入二次函数中可得 0a b c   ，再由图象与 x轴有两个交点 及系数的特点即可判断． 【详解】解：①由图可知： 0, 0, 0, 2 ba c a     0,b\ > 0,abc\ < 故①正确； ②由题意可知： 1 , 2 2 b a    0a b   ，故②正确； ③对称轴为直线 1 2 x   ，且与 x轴的一个交点坐标为  2,0 ． 与 x轴的另一个交点坐标为 (1,0)， 将 (1,0)代入 2y ax bx c   ，得 0a b c   ， 故③正确； ④ 0ac  ， 2 2 0b ac   故④正确； ∴正确结论的个数是 4个． 故选：D． 3．D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判 断式子符号 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与 b的关系， 以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 由抛物线的开口方向判断 a与 0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断 c与 0的关系，然后根据 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 对称轴及抛物线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与 y轴交于负半轴，对称轴位于 x轴负半轴，与 x轴有 2个交点， ∴ 0, 0, 0 2 ba c a     ， 2 4 0b ac  ， ∴ 0b  ， 2 4b ac ，故②正确； ∴ 0abc  ，故①错误； 当 1x   时， 0y a b c    ，故③正确； ∵ 1 0 2 b a     ， ∴ 2a b ，即 2 0a b  ，故④正确； 当 1x  时， 2y a b c    ， ∴ 2a c b   ， ∴ 2 0b b   ，即 1b  ， ∴ 2 1b  ， ∴ 1a c  ，故⑤正确； 故选：D． 4．C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判 断式子符号 【分析】由开口方向及与 y轴的交点可判断， 0a  ， 0c  ，再根据“左同右异”的方法可判断b的 符号，从而可判断①；由对称轴 2 bx a   可判断②；由图象得 2 4x  和对称轴可求 1 2x   ，可得 抛物线与 x的另一个交点为  2,0 ，代入即可判断③；设 1 2y  ，则图象为过  0,2 且垂直于 y轴 的一条直线，并且与抛物线有两个交点，可判断④；当 1x  时， y a b c  最大 ，即可判断⑤． 【详解】解：由图得： 0a  ， 0c  ， 对称轴在 y轴右侧， >0b ， <0abc ， 故①错误； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 抛物线的对称轴是直线 1x  ， 1 2 b a   ， 2 0a b   ， 故②正确； 由图象得 2 4x  ， 11 4 1x    解得： 1 2x   ， 抛物线与 x的另一个交点为  2,0 ，    22 2 0a b c       ， 即： 4 2 0a b c   ， 故③正确； 设 1 2y  ，则图象为过  0,2 且垂直于 y轴的一条直线， 与抛物线有两个交点， 方程 ² 2ax bx c   有两个不相等的实数根； 故④正确； 抛物线的对称轴是直线 1x  ， 且 0a  ， 当 1x  时， y a b c   最大 ，  ²am bm c a b c     ， 故⑤正确； 综上所述：正确的有②③④⑤，共 4个； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质，能利用数形结合的思想解题是解题的关键． 5．B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可．由抛物线的开 口方向判断 a与0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断 c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线 与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线可知：� > 0， 0c  对称轴 0 2 bx a    ， >0b ， <0abc ，故①正确； ②由对称轴可知： 12 b a    ， 2b a  ，  2 2y ax ax c   , 抛物线过点 1,0 ， 2 0a a c    ， 2 0c a a     ，故②正确； ③ 1,0 关于� =− 1的对称点为  3,0 ， 3x   时， 9 3 0y a b c    ，故③正确； ④抛物线与 x轴有两个交点， Δ 0  ， 即 2 4 0b ac  ，  24 0ac b  ，故④错误； ⑤当 1x   时，y的最小值为a b c  ， ∴ x m 时， 2y am bm c   ， ∴ 2am bm c a b c     ， 即  a b m am b   ，故⑤错误； 故错误的有：④⑤． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 6．B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 图象的性质等等： 先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为 1 2 2 2 x xx   可得抛物线与 x 轴的另一个交点为 ( 1,0) ，由此可判断②；根据抛物线与 x轴的两个交点坐标可判断③；根据 函数的对称轴为 2x  可知 2x  时 y有最大值，由此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴ 0a  ， ∵对称轴为直线 2 2 bx a    ， ∴ 4 0b a   ，结论①正确； ∵抛物线与 x轴的一个交点为  5 0， ，且对称轴为直线 2x  ， ∴抛物线与 x轴的另一个交点为  1,0 ， 即当 1x   时， 0y  ， ∴ 0a b c   ， ∴ a c b  ，结论②错误； ∵抛物线 2y ax bx c   与 x轴的两个交点为  1,0 ，  5 0， ， ∴多项式 2ax bx c  可因式分解为   1 5a x x  ，结论③错误； ∵对称轴为直线 2x  ，且函数开口向下， ∴当 2x  时，y有最大值， 由 2y ax bx c   得，当 2x  时， 4 2y a b c   ， 当 x m 时， 2y am bm c   ， ∴无论 m为何值时， 2 4 2am bm c a b c     ， ∴ 2 4 2am bm a b   ，结论④正确； 综上：正确的有①④． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 7．C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数 2y ax bx c   的图象与性质，熟记相关结论是解题关键．①根据 图象与 x轴的交点个数即可判断；②根据图象即可判断增减性；③根据顶点坐标可确定对称轴， 即可得抛物线与 x轴的另一个交点的范围，即可判断；④根据图象可知：当 >2m 时，抛物线与 直线 y m 没有交点，据此即可判断；⑤根据顶点坐标确定抛物线的对称轴，得 1 2 bx a     ， 结合③即可判断． 【详解】解：∵二次函数与 x轴有两个交点， ∴ 2 4 0b ac  ，故①错误， 观察图象可知：当 1x   时，y随 x增大而减小，故②正确， ∵抛物线的顶点为  1,2D  ，与 x轴的一个交点 A在点  3,0 和  2,0 之间， ∴抛物线与 x轴的另一个交点为在点  0,0 和 1,0 之间， ∴ 1x  时， 0y a b c    ，故③正确； ∵当m>2时，抛物线与直线 y m 没有交点， ∴若方程 2 0ax bx c m    没有实数根，则 >2m ，故④正确， ∵抛物线的对称轴 1 2 bx a     ， ∴ 2b a ∵ 0a b c   ， ∴3 0a c  ，故⑤正确， 故选：C． 8．C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判 断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴 的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ③，求出 3c a  ，进一步得到 1 2 3 3 a  ，又根据 2b a  得到 2 3 4a b c a a a a       ，即可判断 ④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， 0a  ； 对称轴在 y轴右侧， a 、b异号， 0b  ， ∵抛物线与 y轴交点在 y轴负半轴， 0c  ， 0bc  ，故①错误； ②二次函数 2y ax bx c   的图象与 x轴交于点  3,0A ，与 y轴交于点 B，对称轴为直线 1x  ， 1 2 b a   ， 2b a  ， 1x   时， 0y  ， 0a b c    ， 3 0a c   ， 3 2 0a c   ，故②正确； ③对称轴为直线 1x  ， 0a  ， y a b c    最小值， ∵ 1m  ， ∴ 2am bm c a b c     ， ∴ 2am bm a b   ， 故③正确； ④ 2 1c    ， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得  1 2 1 3 3 cx x a       ， 3c a   ， 2 3 1a     ， 1 2 3 3 a   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 2b a  ， 2 3 4a b c a a a a        ， 8 4 3 3 a b c      ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 9．C 【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次 函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数与不等式（组）、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物 线与 x轴的交点， 根据二次函数图象与系数的关系可判断①和②；结合图象可直接得关于 x 的不等式 2ax bx c kx m    的解集是 3x   或 0x  ，即可判断③；将 1x   代入 2y ax bx c   ，结 合图象可得 0y a b c    ，而 0a  ，则   2 0a a b c a ab ac      ，即可判断④；由图象可知， 抛物线 2y ax bx c   与直线 4y   没有交点，即关于 x的方程 2 4 0ax bx c    无解，即可判断⑤． 【详解】解：由抛物线图象可知， 0 0 0 2 ba c a > > - <， ， ， ∴ 0b  ， ∴ 0bc  ，故结论①不正确，不符合题意； ∵抛物线 2y ax bx c   与 x轴有两个交点， ∴一元二次方程 2 0ax bx c   有两个不相等的实数根， ∴ 2 4 0b ac  ，故结论②正确，符合题意； 由图象可知，关于 x的不等式 2ax bx c kx m    的解集是 3x   或 0x  ， 故结论③不正确，不符合题意； 由抛物线图象可知，当 1x   时，抛物线 2y ax bx c   对应的函数值小于 0， 即 <0a b c  ， ∵ 0a  ， ∴   2 0a a b c a ab ac      ，故结论④正确，符合题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 由抛物线图象可知，抛物线的最低点的纵坐标介于 3 和 2 之间， ∴抛物线 2y ax bx c   与直线 4y   没有交点， ∴关于 x的方程 2 4 0ax bx c    无解，故结论⑤正确，符合题意． 综上所述，正确的结论有 3个． 故选：C． 10．D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【详解】解：①∵函数开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在 y轴右侧， ∴a、b异号， ∵抛物线与 y轴交点在 y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵图象与 x轴交于点 A（﹣1，0），对称轴为直线 x=1， ∴图象与 x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当 x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误； ③∵图象与 x轴交于点 A（﹣1，0）， ∴当 x=﹣1时，y=    21 1a b c     =0， ∴a﹣b+c=0，即 a=b﹣c，c=b﹣a， ∵对称轴为直线 x=1， ∴ 2 b a  =1，即 b=﹣2a， ∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a， ∴4ac﹣ 2b =4•a•（﹣3a）﹣  22a = 216a ＜0， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∵8a＞0， ∴4ac﹣ 2b ＜8a， 故③正确； ④∵图象与 y轴的交点 B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间， ∴﹣2＜c＜﹣1， ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴ 2 3 ＞a＞ 13， 故④正确； ⑤∵a＞0， ∴b﹣c＞0，即 b＞c， 故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系，数形结合来进 行判断是解题的关键．