专题05 轴对称—最短路径问题【挑战压轴题】（尖子生拔高卷）-2024-2025学年人教版数学八年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年人教版数学八年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题05 轴对称—最短路径问题 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.37（难） 题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•乐清市期中）如图，是△的角平分线，，，，分别是和上的任意一点，连结，，则的最小值是　　 A． B． C．10 D．12 解：连接，，过点作于点， 是△的角平分线，， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， ， ， 又， 由勾股定理，得， ， ． 故选：． 2．（2分）（2024秋•武昌区校级期中）如图，已知等边△的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边△，连接，则△周长的最小值是　　 A． B． C． D． 解：连接并延长，作点关于射线的对称点，连接，，连接交延长线于点，连接，如图： △和△是等边三角形， ，，， ， 即， △△， ， ，， ，且平分， ， ， 即点在射线上运动， 点和点关于射线对称， ，， ， 又， △是等边三角形， ， ， ， 又， 当最小时，△周长取得最小值， 即时，△周长取得最小值， ， 故选：． 3．（2分）（2024秋•连江县期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝5，△BED≌△BAC，且A，B，D在同一条直线上，点P在直线BE上，连接AP，则AP+CP的最小值为（　　） A．10 B．12.5 C．15 D．17.5 解：如图，连接PD． ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝5， ∴AB＝2BC＝10，∠CBA＝60°． 由旋转的性质可得到∠DBE＝∠CBA＝60°，BC＝BD＝5， ∴∠CBP＝∠DBP＝60°， ∵在△BCP和△BDP中， ， ∴△BCP≌△BDP（SAS）． ∴PC＝PD． ∴AP+CP＝AP+DP≥AD， ∴AP+CP有最小值为AD的长． ∴PA+CP的最小值＝AB+BD＝10+5＝15． 故选：C． 4．（2分）（2024秋•天山区校级期中）如图，在△中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为　　 A． B． C． D． 解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 当点、、在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， 当点、、在同一直线上，且时，， ， ， ， 故选：． 5．（2分）（2024秋•玄武区校级期中）如图，点在等边△的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 解：作点关于的对称点，过作于点，交于点，连接， ， ， 此时的值最小， △是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 6．（2分）（2024秋•行唐县期中）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　 A．6 B．10 C．15 D．16 解：如图： 连接交于点， 等腰的底边长为6， 点为边的中点， ，， 是腰的垂直平分线，连接， ， 此时的周长为： 的长为3固定， 根据两点之间线段最短， 的周长最小． ， ， ， ． 故选：． 7．（2分）（2024春•罗湖区校级期末）如图，在△中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是　　 A． B． C． D． 解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交，于点，，连接，，，， 则，， 四边形的周长， 长固定， 点与重合，点与点重合时，四边形的周长最小，此时， 由对称性和三角形外角性质可知：，， ， 设与交于点， ，， ， ， ， 即当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 8．（2分）（2023秋•金安区校级期末）如图，在中，，面积是20，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故选：． 9．（2分）（2021秋•梁溪区校级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为　　 A．160 B．150 C．140 D．130 解：如图， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点即为所求点． 过点作直线的延长线于点，则线段的长即为的最小值． ，，， ，，， ， 即的最小值是． 如图， 延长交于点， ，， 当点运动到点时，最大， ，，， 过点作，则，， ． 为最大， 即， ． 故选：． 10．（2分）（2023•罗山县校级三模）如图，已知，，点从点出发，先移动到轴上的点处，再沿垂直于轴的方向向左移动1个单位至点处，最后移动到点处停止，当点移动的路径最短时（即三条线段、、长度之和最小），点的坐标为　　 A． B． C． D． 解：如图，将沿方向平移长的距离得到，连接，则， 四边形是平行四边形， ， 当，，在同一直线上时，有最小值，最小值等于线段的长，即的最小值等于长， 此时、、长度之和最小， ，，， ， 设的解析式为，则 ，解得， ， 令，则，即， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•海珠区校级期中）如图，在等边三角形中，是中线，点，分别在，上，且，动点在上，则的最小值为　3　． 解：如图，在上其一点，使，连接，，， △是等边三角形，于点， 直线是△的对称轴，点与点关于对称，， ， ， 的最小值为线段的长， ， ， △是等边三角形， ，， ， ， △是等边三角形， ， ， 的最小值为3， 故答案为：3． 12．（2分）（2024秋•南岗区校级月考）如图，现有、两个村庄，要在笔直的公路上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择上、、、，4个点中的 　　点建立货站． 解：由题意，，关于直线对称， ，此时点满足条件． 故答案为：． 13．（2分）（2024秋•北京期中）如图，等边△的边长为5，点在上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，的长为　3.5　． 解：如图，作点关于的对称点，连接，，过作于点， 则， ， 即当的值最小时，点位于处． △是等边三角形， ， ， ， 等边△的边长为5，， ， ， 当的值最小时，的长为3.5， 故答案为：3.5． 14．（2分）（2024秋•太仓市期中）如图，在钝角三角形中，，．点是边上任意一点，点是边上一动点，当取得最小值时，的长为 　　． 解：作点关于直线的对称点，连接、、、， 垂直平分， ，， ， ， 作于点，则， ， ， ，且， 当，且的值最小时，的值最小， ， 当点与点重合时，，此时的值最小， ， 故答案为：． 15．（2分）（2023秋•广州期末）如图，在中，，，面积为16，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 　8　． 解：如图，连接． ，， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 的最小值为4， 的最小值为， 故答案为：8． 16．（2分）（2024秋•新城区校级月考）【附加题】如图，在△中，，，，、为边的点，，点为上一动点，连接、，则的最小值为 　　． 解：如图，作点关于的对称点，连接，在上截取，使得，连接，，交于点，连接．则，关于对称，的最小值是线段的长． ， ， ， △是等边三角形， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 17．（2分）（2023秋•霸州市期末）如图，在中，以为底边在外作等腰，作的平分线分别交，于点，．若，，的周长为30，点是直线上的一个动点，则周长的最小值为 　18　． 解：是以为底边的等腰三角形，平分， 垂直平分， 点与点关于对称， ， 如图所示，当点与点重合时，， 此时的周长最小， ，，的周长为30， ， 周长的最小值为， 故答案为：18． 18．（2分）（2024秋•江阴市校级月考）如图，等腰△中，，，是△的对称轴，是上一动点，在上存在一点，能使的值最小，这个最小值为　　． 解：过点作于点，交直线于点，设直线交于点， 等腰△中，是△的对称轴， ，，， ， 即为最小值，当时，的长度最小， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 19．（2分）（2024秋•北碚区校级期中）如图，在直角△中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则△的周长的最小值是 　4.8　． 解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． 则，，，， ， ，，， ， 、、共线， △的周长， 当、、、共线时，且时，△的周长最小，最小值为， ， ， ， △的周长的最小值为4.8． 故答案为：4.8． 20．（2分）（2024春•淮安区校级期末）如图，在中，，，是边上的高，点，分别在，上，且，当的值最小时，的度数是 　70　． 解：如图所示，过作，使得，连接， ，， ， ， 又，， ， ， ， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， 此时，，，即是等腰直角三角形， ， 又中，， ， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•江都区校级月考）如图，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点，使△的周长最小，请画出草图，并求出△周长的最小值． 解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接，，，，，，， ，，，，，， ， ， △是等边三角形， ， △周长为， 当、、、四点共线时，△周长取最小值，最小值为12． 22．（6分）（2024秋•南海区校级月考）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，到的距离，到喷泉的距离． （1）求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长； （2）求出喷泉到小路的最短距离． 解：（1）在中，，，根据勾股定理得， ， ， 在中，， 供水点到喷泉，需要铺设的管道总长； （2），，， ， 是直角三角形， ， 喷泉到小路的最短距离是． 23．（8分）（2023秋•襄都区月考）如图，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从地出发，把马牵到草地与河边的交汇处点，牧马又饮马，然后回到处． 同学乙：作点关于直线对称的点，再作点关于直线对称的点，连接交直线于点，交直线于点，则路径为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 解：同学乙指出的最短路径正确． 理由：如图，在直线上任意选一点，在直线上任意选一点，连接，，，． 由轴对称性质，易得，． ， ， 当，，，共线时， 是最短路径． 24．（8分）（2022秋•路北区校级期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，则的度数是 　　度； （2）若，的周长是， ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 解：（1）， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故答案为：； （2）①，的周长是， 即， ， ， ， ． 的长度为． ②当与重合时，的周长最小． 理由：，， 当与重合时，，此时最小值等于的长， 的周长最小值． 25．（8分）（2021秋•卢龙县校级期末）如图，，，． （1）当的值最小时，求的值； （2）若，求的值； （3）已知线段的中垂线交于，若在的中垂线上，求、之间的函数关系． 解：（1）取点的对称点， 设， 把．，代入得：， 解得：， ， 令， 则， ，， 即； （2）过点作轴于， ， ， ， ， ， ，即， ， 或； （3）如图，连接，过点作于，连接、、， 在的中垂线上， ， ，， 轴， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 整理得：． 26．（8分）（2023秋•城关区校级期中）如图，、两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离千米，千米，且千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元． （1）请在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹） （2）最低费用为多少？ 解：（1）根据分析，水厂的位置为： （2）如图2，， 在直角三角形中，（千米），（千米）， （千米）， 铺设水管长度的最小值为50千米， 铺设水管所需费用的最小值为： （万元）． 答：最低费用为150万元． 27．（8分）（2021秋•吴川市校级期末）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． （1）当时，求证：； （2）在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； （3）连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． （1）证明：如图1中， ，， 是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：如图2中，的大小不变，．理由如下： ，， ， ，分别平分，， ， ． （3）解：如图3中，过点作于，过点作于，于，于． 平分，，， ， 平分，，， ， ， 平分， 作点关于的对称点，连接， ， ， ， ， ， ， 的最小值为4． 28．（8分）（2023春•祁阳县校级期中）已知中，，，，为边上的高．动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为． （1）求的长； （2）为何值时，为等腰三角形？ （3）若为上一动点，为上一动点，是否存在，使得的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由． 解：（1），，， ， ， 为边上的高， ， ； （2）①当点在上时， ， 若为等腰三角形，只有， ， ②当点在上时， 为等腰三角形， 分三种情况：当时，即，解得：， 当时，即，解得：， 当时，即，解得：， 综上所述：为6，8.4，9，9.5时，为等腰三角形； （3）如图作点关于的对称点，过作于，交于， 则就是的最小值， ， ， ， ， ， 即的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题05 轴对称—最短路径问题 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.37（难） 题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•乐清市期中）如图，是△的角平分线，，，，分别是和上的任意一点，连结，，则的最小值是　　 A． B． C．10 D．12 2．（2分）（2024秋•武昌区校级期中）如图，已知等边△的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边△，连接，则△周长的最小值是　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2024秋•连江县期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝5，△BED≌△BAC，且A，B，D在同一条直线上，点P在直线BE上，连接AP，则AP+CP的最小值为（　　） A．10 B．12.5 C．15 D．17.5 4．（2分）（2024秋•天山区校级期中）如图，在△中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2024秋•玄武区校级期中）如图，点在等边△的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2分）（2024秋•行唐县期中）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　 A．6 B．10 C．15 D．16 7．（2分）（2024春•罗湖区校级期末）如图，在△中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2023秋•金安区校级期末）如图，在中，，面积是20，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 9．（2分）（2021秋•梁溪区校级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为　　 A．160 B．150 C．140 D．130 10．（2分）（2023•罗山县校级三模）如图，已知，，点从点出发，先移动到轴上的点处，再沿垂直于轴的方向向左移动1个单位至点处，最后移动到点处停止，当点移动的路径最短时（即三条线段、、长度之和最小），点的坐标为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•海珠区校级期中）如图，在等边三角形中，是中线，点，分别在，上，且，动点在上，则的最小值为　　． 12．（2分）（2024秋•南岗区校级月考）如图，现有、两个村庄，要在笔直的公路上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择上、、、，4个点中的 　　点建立货站． 13．（2分）（2024秋•北京期中）如图，等边△的边长为5，点在上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，的长为　　． 14．（2分）（2024秋•太仓市期中）如图，在钝角三角形中，，．点是边上任意一点，点是边上一动点，当取得最小值时，的长为 　　． 15．（2分）（2023秋•广州期末）如图，在中，，，面积为16，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 　　． 16．（2分）（2024秋•新城区校级月考）【附加题】如图，在△中，，，，、为边的点，，点为上一动点，连接、，则的最小值为 　　． 17．（2分）（2023秋•霸州市期末）如图，在中，以为底边在外作等腰，作的平分线分别交，于点，．若，，的周长为30，点是直线上的一个动点，则周长的最小值为 　　． 18．（2分）（2024秋•江阴市校级月考）如图，等腰△中，，，是△的对称轴，是上一动点，在上存在一点，能使的值最小，这个最小值为　　． 19．（2分）（2024秋•北碚区校级期中）如图，在直角△中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则△的周长的最小值是 　　． 20．（2分）（2024春•淮安区校级期末）如图，在中，，，是边上的高，点，分别在，上，且，当的值最小时，的度数是 　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•江都区校级月考）如图，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点，使△的周长最小，请画出草图，并求出△周长的最小值． 22．（6分）（2024秋•南海区校级月考）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，到的距离，到喷泉的距离． （1）求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长； （2）求出喷泉到小路的最短距离． 23．（8分）（2023秋•襄都区月考）如图，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从地出发，把马牵到草地与河边的交汇处点，牧马又饮马，然后回到处． 同学乙：作点关于直线对称的点，再作点关于直线对称的点，连接交直线于点，交直线于点，则路径为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 24．（8分）（2022秋•路北区校级期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，则的度数是 　　度； （2）若，的周长是， ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 25．（8分）（2021秋•卢龙县校级期末）如图，，，． （1）当的值最小时，求的值； （2）若，求的值； （3）已知线段的中垂线交于，若在的中垂线上，求、之间的函数关系． 26．（8分）（2023秋•城关区校级期中）如图，、两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离千米，千米，且千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元． （1）请在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹） （2）最低费用为多少？ 27．（8分）（2021秋•吴川市校级期末）如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． （1）当时，求证：； （2）在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； （3）连接，是线段上的动点，是线段上的动点，当，时，求的最小值． 28．（8分）（2023春•祁阳县校级期中）已知中，，，，为边上的高．动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为． （1）求的长； （2）为何值时，为等腰三角形？ （3）若为上一动点，为上一动点，是否存在，使得的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$