13.4轴对称之最短路径问题 2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册 1、 基本类型 【问题1】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 连AB，与l交点即为P． 两点之间线段最短． PA+PB最小值为AB． 【问题2】“将军饮马” 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P． 两点之间线段最短． PA+PB最小值为A B＇． 【问题3】 作法 图形 原理 在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小． 分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N． 两点之间线段最短． PM+MN+PN的最小值为 线段P＇P＇＇的长． 【问题4】 作法 图形 原理 在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． 分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N． 两点之间线段最短． 四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长． 【问题5】“造桥选址” 作法 图形 原理 ∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN值最小． 将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M． 两点之间线段最短． AM+MN+BN的最小值为 A＇B+MN． 二、例题讲解 例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长； （2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值． 变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8． （1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？ （2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为 　 　． 例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 变式1.如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，△ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为 　 　． 变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点． （1）点D的坐标为　　； （2）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标． 例3.如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 变式1.已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． （1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数； （2）如图2，若OP＝6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数． 变式2.如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A．45° B．90° C．100° D．135° 变式3.如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为 　 　． 变式4.如图，在五边形中，∠BAE＝140°，∠B＝∠E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当△AMN的周长最小时，求∠AMN+∠ANM的值是（　　） A．100° B．140° C．120° D．80° 例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（　　） A．45° B．90° C．75° D．135° 变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（　　） A． B． C．1 D． 变式2.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，BC＝3，DC＝4，点E在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE的周长的最小值为 　 　． 例5.如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（　　） A．10° B．20° C．40° D．60° 变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。　 　． 例6.如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 变式1.如图，护城河在C，C′处直角转弯，宽度保持4米．从A处去B处，经过两座桥DD′，EE′．如何建桥（桥与河岸垂直），才能使从A处经过这两座桥到B处的路程最短？简要说明理由． 课后提升 1．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(，0)．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______． 2．已知A（2，4）、B（4，2）．C在轴上，D在轴上，则四边形ABCD的周长最小值为 ，此时 C、D两点的坐标分别为 ． 3．已知A（1，1）、B（4，2）． （1）P为轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标； （2）P为轴上一动点，求的值最大时P点的坐标； （3）CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标； 4．点C为∠AOB内一点． （1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数． 5．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CF＝CD； （2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由． 6．护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？ 学科网（北京）股份有限公司 $$