精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 设，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A B. C. D. 5. ，，试用a，b表示（ ） A. B. C. D. 6. 已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 8. 两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡儿积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若集合元素个数分别为，则的元素个数为 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则或0 C. 已知，，则对应的的集合为 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为 10. 下列不等式正确的有（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 若，则 C. 当， D 若且，则 11. 已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若 恒成立，则实数的取值可能是（ ） A. -1 B. C. D. 1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 化简：______. 13. 已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为__________. 14. 若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 16. 设集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M点在的延长线上，N点在的延长线上，且对角线过C点.已知米，米.设米（单位：米） （1）要使矩形的面积大于32平方米，请问的长应在什么范围； （2）当的长度是多少米时，矩形的面积最小，并求出最小面积. 18. 已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 19. 已知函数，函数. （1）判断并证明函数在的单调性； （2）若命题：“”为真命题，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使函数在上的最大值为1？如果存在，求出实数所有的值，如果不存在，请说明理由. 20. 在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点“界函数”. （1）试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ （2）若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的运算求解即可. 【详解】， 故. 故选：B 2. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 3. 设，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数，指数函数单调性可比较大小. 【详解】因函数在R上递减，函数在上递增. 则，， 即. 故选：C 4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据，，即可排除BC. 【详解】由于的定义域为，且， 故为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除， 且当，，此时可排除B, 故选：A 5. ，，试用a，b表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则算计即得. 【详解】由，，则. 故选：B 6. 已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果. 【详解】因为函数是减函数，所以． 又因为函数5）图像的对称轴是直线， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是． 故选:B． 7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，两边同时取自然对数并整理， 得，， 则，则给氧时间至少还需要小时 故选： B 8. 两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡儿积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（ ） A 若，，则 B. 若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直积的定义可判断AD的正误，根据反例可判断BC的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误； 对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误； 对于D，任意，则存在， 使得，因为且，故且， 故，故 任意，则存在，使得， 故，故，故， 故， 故选：D 【点睛】关键点睛：证明两个集合相等，关键是证明它们彼此包含，后者依据定义证明. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则或0 C. 已知，，则对应的的集合为 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由充分、必要性定义判断；B根据时集合A为空集判断；C解分式不等式求对应的集合，进而写出其否定的对应集合判断；D由已知，进而确定集合子集的个数判断. 【详解】A：由所有有理数都为实数，但不是所有实数都为有理数，正确； B：当时，无解，即集合A为空集，错误； C：由得，所以对应的集合是，所以对应的的集合为，正确； D：，则，因为集合有2个元素，所以集合的个数为，正确． 故选：ACD 10. 下列不等式正确的有（ ） A. 若，则函数的最小值为2 B. 若，则 C. 当， D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质结合基本不等式一一判定选项即可. 【详解】对于A，， 由基本不等式知， 当且仅当时取得最小值， 易知，显然等号取不到，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，根据基本不等式有 ， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对于D，若且，则，所以， 故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若 恒成立，则实数的取值可能是（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】等价于恒成立，当时，函数的解析式进行去绝对值，所以讨论和的情况，再根据函数是奇函数，得到时的解析式或图像，结合图像得到的取值范围. 【详解】因为等价于恒成立. 当时，. 若，则当时，. 因为是奇函数，所以当时，，则，则. 综上，，此时为增函数，则恒成立. 若，当时，； 当时，； 当时，. 即当时，函数的最小值为，由于函数是定义在上的奇函数， 当时，函数的最大值为，作出函数的图像如图： 故函数的图像不能在函数的图像的上方，结合图像可得，即，求得. 综上，. 故选：AC. 【点睛】（1）运用函数图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含义，能够根据函数解析式和性质画出函数图像； （2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图像的关系，结合图像研究. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简：______. 【答案】## 【解析】 【分析】由分数指数幂及指数运算规则可得答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先得出的对称性结合的单调性可得的符号变化情况，由此可通过列表法求解. 【详解】由题意是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 又，所以， 所以当时，，当时，， 由对称性当时，，当时， 所以的符号随的变化情况如下表： - + + + + + - + - + - + 所以由上表可知不等式的解集为. 故答案为：. 14. 若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，则， 所以，即， 当，即，恒成立， 因为，则，所以． 当，即或时，恒成立， 因为， 所以． 综上，， 所以实数的最大值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）由分数指数幂运算规则可得答案； （2）由对数运算性质可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 设集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先解不等式依次求解集合，接着求出和时的集合A，再结合交集定义即可求解； （2）先由题意得集合是集合的真子集，从而得或，进而得解. 【小问1详解】 解方程得或， 所以不等式的解集为， 所以集合； 解不等式得或， 所以不等式的解集为或， 所以集合或， 所以， 若，则，所以. 【小问2详解】 由（1）得，或， 若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围为. 17. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M点在的延长线上，N点在的延长线上，且对角线过C点.已知米，米.设米（单位：米） （1）要使矩形的面积大于32平方米，请问的长应在什么范围； （2）当的长度是多少米时，矩形的面积最小，并求出最小面积. 【答案】（1）； （2）米，最小为24平方米. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平行线分推比例式建立面积的函数关系，再解不等式即可. （2）由（1）中函数，利用基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 依题意，由，得， 而，，则， 因此矩形的面积， 由，得，而， 则有，解得或， 所以长的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当的长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米. 18. 已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 【答案】（1）为奇函数，证明见解析； （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 分析】（1）先后令，可完成判断与证明； （2）由题可证明在上单调递减，然后结合及可得答案； （3）有4个不同的解等价于有4个不同的解，据此可得答案. 【小问1详解】 为奇函数，证明如下. 证明：令，则. 又令，则， 又定义域关于原点对称，且不恒为0，则为奇函数； 【小问2详解】 取任意. 则 ，因，则. 故在上单调递减， 则当时，，. 因，则； . 则函数最大值为，最小值为； 【小问3详解】 由（2）可知在上单调递减， 则. 又，则方程有4个不同的解，等价于有4个不同的解. 令，当有两个相异正根时，可满足条件.设两根为. 则，即的取值范围为. 【点睛】关键点睛：对于抽象函数的奇偶性判断，常采用赋值法，使同时出现与，再判断两者关系； 对于抽象函数的单调性判断，需要对或按题意作适当等价变形； 对于已知方程解个数求参数问题，可利用数形结合思想，将问题转化为直线与函数图象交点个数问题，也可如（3）转化为二次方程根的分布问题. 19 已知函数，函数. （1）判断并证明函数在的单调性； （2）若命题：“”为真命题，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使函数在上的最大值为1？如果存在，求出实数所有的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析 （2）实数的取值范围为. （3）存在或，使函数在上的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）先判断，再根据单调性定义法的步骤去计算证明即可； （2）先求出，接着令结合基本不等式得，从而由题意得“即”为真命题，进而得，再利用基本不等式求出即可得解. （3）先由（1）（2）得，接着分、和三种情况进行分类讨论，研究函数在上的最大值为1时相应函数的最值即可求解. 【小问1详解】 函数在上单调递增，证明如下： 任取，则， 因为，所以，所以， 所以即， 所以函数在上单调递增. 【小问2详解】 由题， 令，当且仅当即等号成立， 又因为“”为真命题， 所以“即”为真命题， 所以，又，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题可得即， 由（1）（2）可得当时，， 则， 若存在实数，使函数在上的最大值为1， 则当即时，为减函数， 所以函数在上有最小值0， 因为，所以此时在上单调递增， 所以，所以不符合； 当即时，， 则函数在上的最大值为1，满足条件； 当即时，为增函数， 所以函数在上有最大值0， 因为，， 所以若即，此时在上单调递减，在上单调递增， 故，所以符合； 若即，此时在上单调递减，在上单调递增， 故，所以不符合； 若即，此时在上单调递减， ，所以不符合； 综上，存在或，使函数在上的最大值为1. 【点睛】关键点睛：求解小问（3）的关键点1是依据复合函数指数式的底的特点分、和三种情况进行分类讨论，关键点2是通过函数在上的最大值为1转化成函数的相应最值，从而通过研究函数的最值即可求解. 20. 在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. （1）试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ （2）若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）是，不是 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据点的“界函数”的定义分析判断即可； （2）由题意得，则，都有，然后分，，和求解函数的值域，再结合求解实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，所以是点的界函数； 因为，，所以， 所以不是点的界函数； 【小问2详解】 因为在函数上，所以， 所以，都有. 当，即时，在上单调递减， 所以， 所以，得，解得或（舍去）； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，在上单调递增， 所以，所以，得，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$