4.1 整式 （第2课时 多项式）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（冀教版2024）

冀教版（2024）七年级数学上册 第四章 整式的加减 4.1 整式 第二课时 多项式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。 2.经历多项式、整式概念的形成和运用过程，知道多项式项、次数的确定方法，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。 3.体会多项式、整式的实际背景，进一步感受字母表示数的意义。进一步培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识。 情景导入 1.温度由t℃下降5℃后是 ℃. 2.买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要 元. （3x+5y+2z） （t-5） 列式表示下列数量 3.如图三角尺的面积为 . a b · r 新知探究 在课本p132的“做一做”中，我们还得到了像10y+x，10x+y，这样的代数式，它们都是由单项式相加组成的代数式.我们把这样的代数式叫作多项式. 多项式是若干个单项式的和.我们把多项式中的每一个单项式都叫作这个多项式的项，把不含字母的项叫作常数项. 新知探究 多项式含有几项，这个多项式就叫作几项式. 在多项式里，最高次项的次数，叫作这个多项式的次数. 多项式的次数是几，这个多项式就叫作几次式. 如多项式10y+x和10x+y是一次二项式;多项式是二次二项式，最高次项为. 单项式和多项式统称为整式. 课本例题 解：（1）（ 150-m ），它的项是150和-m，次数是1. 例2 请写出下列个体中的代数式.如果是单项式，请指出它们的系数和次数；如果是多项式，请指出它们的项和次数. （1）目前，在地球上生存的动物约有150万种.其中，无脊椎动物约有m万种，脊椎动物约有 万种. （2）如图，是某古城墙及门洞的示意图，其中门洞的下部是长方形，上部是半圆形，它的面积是 .若城墙上面的垛口都可看作长为a、宽为b 的长方形, 则5个垛口的面积和是 . （2）该多项式的项是2rh和 ，次数是2. 5ab，该单项式的系数是5，次数是2. （3）一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，这个三位数可表示为 . （3）100c+10b＋a， 该多项式的项是100c，10b和a，次数是1. 做一做 请按要求填表： 多项式 项 常数项 次数 几次几项式 2a －1 2a、 －1 －2x、x3、 －3 x3、 －2xy2、y3、 －x2y －1 －3 0 1 3 3 一次二项式 三次三项式 三次四项式 课本例题 解：（1）这个组合体的体积是a3+a2b. （2）这个代数式是多项式，它是三次二项式. 例3 如图所示是一个正方体和一个长方体组成的组合体. （1）请用代数式表示这个组合体的体积. （2）这个代数式是多项式还是单项式？如果是多项式，请你说出它是几次几项式. 课堂练习 1. 请指出下列各多项式的项和次数: （2） 解：（1）二次二项式. （2）四次三项式. 分层练习-基础 1. [新考法·定义识别法]在 x2－2，－1，－2 x －1，π， ， x2＋ ＋1，4 x 中，多项式有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【点拨】 多项式有 x2－2，－2 x －1， .对于 x2＋ ＋1，由 于 不是单项式，所以 x2＋ ＋1不是多项式. C 知识点1 多项式的定义 2. [新考法·规律探究法]一组按规律排列的代数式： a ＋2 b ， a2－2 b3， a3＋2 b5， a4－2 b7，…，则第 n 个式子 是 ⁠. 【点拨】 根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中 a 的次 数是式子的序数；第二项的符号是＋，－，＋，－，…； 第二项中 b 的次数是序数的2倍减1. an ＋(－1) n＋1·2 b2 n－1　 知识点2 多项式的项与次数 3. 若多项式 xy｜ m－ n｜＋( n －2) x2 y2＋1是关于 x ， y 的三次多项式，则 mn ＝ ⁠. 【点拨】 因为多项式 xy｜ m－ n｜＋( n －2) x2 y2＋1是关于 x ， y 的三次多项式， 所以 n －2＝0，1＋｜ m － n ｜＝3. 所以 n ＝2，｜ m － n ｜＝2. 所以 m － n ＝2或 n － m ＝2. 所以 m ＝4或 m ＝0.所以 mn ＝0或8. 0或8　 4. 多项式－ x2－ x －1的各项分别是(　B　) A. － x2， x ，1 B. － x2，－ x ，－1 C. x2， x ，1 D. x2，－ x ，－1 【点拨】 多项式的每一项都包括它前面的符号，故本题多项式 的各项分别是－ x2，－ x ，－1. B 5. [2024·成都青羊区模拟]多项式1＋2 xy －3 xy2的次数及最 高次项的系数分别是(　A　) A. 3，－3 B. 2，－3 C. 5，－3 D. 2，3 A 知识点3 整式及整式的值 6. 把下列各式分别填在相应的大括号里. 4， ， ＋ b ，π R2－π r2， x2，2 x －3，－ x2＋ yz ， a2＋ ＋2. 单项式： ； 多项式： ； 整式： . 7. 下列说法错误的是(　C　) A. m 是单项式也是整式 B. ( m － n )是多项式也是整式 C. 整式一定是单项式 D. 整式不一定是多项式 【点拨】 单项式是整式，多项式也是整式.整式中含加减运算 的是多项式，不含加减运算的是单项式. C 8. [新考法·2023·南通·整体求值法]若 a2－4 a －12＝0，则2 a2 －8 a －8的值为(　D　) A. 24 B. 20 C. 18 D. 16 D 9. [2023·重庆]用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是(　B　) A. 39 B. 44 C. 49 D. 54 【点拨】 由题图可得，图案①有4＋5＝9根木棍， 图案②有4＋5×2＝14根木棍， 图案③有4＋5×3＝19根木棍， … 所以第 个图案有(4＋5 n )根木棍. 所以第⑧个图案有4＋5×8＝44根木棍. 故选B. B 【答案】 10. [2024·周口期末]已知关于 x 的多项式( a ＋ b ) x5＋( a －3) x3－2( b ＋2) x2＋2 ax ＋1不含 x3和 x2项，则当 x ＝－1 时，这个多项式的值为 ⁠. 【点拨】 因为多项式不含 x3和 x2项，所以 a －3＝0， b ＋2＝ 0.所以 a ＝3， b ＝－2.所以原多项式为 x5＋6 x ＋1.当 x ＝－1时，原式＝(－1)5＋6×(－1)＋1＝－6. －6　 确定多项式各项及各项系数时，易漏掉前面的符号而致错 11. 对于多项式－3 x －2 xy2－1，下列说法中，正确的是(　C　) A. 一次项系数是3 B. 最高次项是2 xy2 C. 常数项是－1 D. 是四次三项式 【点拨】 多项式的每一项都是单项式，且每一项都包括它前 面的符号，特别是单项式的符号为负号时，一定不要漏 掉该项的符号. C 分层练习-巩固 利用整式的相关定义求字母的值 12. 下列说法中正确的有(　B　) ① a 和0都是单项式； ②多项式－3 a2 b ＋7 a2 b2－2 ab ＋1的次数是3； ③单项式－8π a2 b 的系数为－8； ④ x2＋2 xy － y2可读作 x2，2 xy ，－ y2的和. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 13. [母题 教材P136习题C组T6]已知关于 x 的整式( k2－9) x3＋( k －3) x2－ k . (1)若该整式是二次式，求 k2＋2 k ＋1的值； 【解】由题意，知 k2－9＝0且 k －3≠0， 所以 k ＝－3，此时 k2＋2 k ＋1＝(－3)2＋2×(－3)＋1＝4. (2)若该整式是二项式，求 k 的值. 【解】当 k ＝0时，原式＝－9 x3－3 x2，符合题意. 当 k2－9＝0时， k ＝±3. 当 k ＝3时，原式＝－3，不符合题意，舍去； 当 k ＝－3时，原式＝－6 x2＋3，符合题意. 综上， k ＝－3或0. 利用多项式表示图形的面积 14. 如图，将边长为 m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方 形和两个长方形，拿掉边长为 n 的小正方形纸板后，将 剩下的三个(阴影部分)拼成新的长方形. (1)用含 m 或 n 的式子表示拼成的新长方形的周长； 【解】拼成的新长方形的长为 m ＋ n ，宽为 m － n ，则周长为2[( m ＋ n ) ＋( m － n )]＝2·2 m ＝4 m . (2)若 m ＝7， n ＝4，求拼成的新长方形的面积. 【解】拼成的新长方形的面积为( m ＋ n )( m － n ). 把 m ＝7， n ＝4代入，得(7＋4)×(7－ 4)＝11×3＝33. 即拼成的新长方形的面积为33. 分层练习-拓展 利用求整式的值探求实际中的应用问题 15. [新考法·2023·宁夏·建模法]如图是某种杆秤.在秤杆的点 A 处固定提纽，点 B 处挂秤盘，点 C 为0刻度点，当秤盘 不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点 C ，秤 杆处于平衡.秤盘放入 x 克物品后移动秤砣，当秤砣所挂 位置与提纽的距离为 y 毫米时秤杆处于平衡，测得 x 与 y 的几组对应数据如下表： x /克 0 2 4 6 8 10 y /毫米 10 14 18 22 26 30 由表中数据的规律可知，当 x ＝20时， y ＝ ⁠. 50　 由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米， 当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10＋2×2＝14(毫米)， 当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10＋2×4＝18(毫米)， 【点拨】 当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10＋2×6＝22(毫米)， 当放入8克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10＋2×8＝26(毫米)， 当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10＋2×10＝30(毫米)， … 所以当放入 x 克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距 离为(10＋2 x )毫米. 所以当放入20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距 离为10＋2×20＝50(毫米). 利用整式探求排列规律 16. [新考法·2023·安徽·归纳法]【观察思考】 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： (1)第 n 个图案中“◎”的个数为 ⁠； 3 n 　 (2)第1个图案中“★”的个数可表示为 ，第2个图案中“★”的个数可表示为 ，第3个图案中“★”的个数可表示为 ，第4个图案中“★”的个数可表示为 ，…，第 n 个图案中“★”的个数可表示为 ⁠. 　 课堂小结 多项式 及整式 多项式 由单项式相加组成的代数式叫作多项式 多项式中的每一个单项式都叫作这个多项式的项 单项式+多项式 整式 多项式里，最高次项的次数，叫作这个多项式的次数 $$