河南省新乡市名校2024-2025学年高三上学期阶段性诊断测试（期中）数学试题

高三阶段性诊断测试 7.定义李空数集M的和晤数H如下：将M中的元索技照递减的次序持列，然后将第…个元素 交特地加上，戴去后继的数所得的结果.俩如，樂合1,2,3,4,5计的“和睫数”是5十4一3十 数 学 -1=1,2,4的和数是中2-，的和晓数是上对于集合A-量∈N,neN 其解有非空子集的和碧数"的总和为 注意事项： A.2 R71 C12 12.70 1,答团衡，考生务必将月己的姓名考生号，考场号，座位号填写在答题卡上 8,已知1心州<n,4一b=知°r=笔m,则：A,e的大小关系是 2,可答选择题时，选出每小题容案后，用船笔把客题卡上对应题日的答案标号涂 八≥62a 且ba>e C.oa>l 0a6> 黑。如需改动，用檬皮干净后，再达涂其他答案标号。闻答非边择圆时，将答案写在 二，进择题：本共3小销，每小第6分，共18分.在每小原给出的四个菇项中，有多项符合题目 答题卡上。写在本试花上无效 的更求，全部选对的得年分，部分遗对的得银分分，有选错的得1分， 1,考试结束后，将本试操和答题卡一并交阿。 9.2019-2023年快递业务量及其增长速度的图所示，期 ,本试接上亚考试内客：高考全常内客（立体几刺，解析几其，数列除外） 亿相 划少边2☒年化词量等显提其帽长速图 ☐传诵索务量⊙-比上年增长 一，选择题：本循共8小置，每小赠5分，共0分在每小置给出的因个选项中，只有一个选项是 月0风3月 1105a 正确的 1下列命题托是真命螺又是存在精闻命题的是 AVrsl.>l B 3r6Q.rE0 00 3￥>1F Dy￥∈0，x3∈0 若(x)与()均为定义在我上的函数，则函数4(x》一了(》x)的部分图象可能为 A.010一23年快递业务量逐年上升 日01一2023年快速业务量的极整为85,5亿件 C2019-B023年快递业务量的增长击度的4B%分位数为19,4% D19一223年快递业务量的增长速度的平均数为21.58% 位已知丽数儿一子+2x十u中b的概小值点为1，极小值为一言期 玉已知函数/(x)=V/2一x十 ,丁则函数f(x的定义城是 Aa=一2 且6==1 C(x)有3个零点 D直线y一5与f(x)的图象有2个公共点 A(.1)U1.23 [-2.-1)U【-1.1)U1.2] 1L已知r>0,y>0,且不等式x(x+1)+y(y+1-〔w-4m)y30何成立，则 C[一z,1DU1w] D[-2,-1DU{-1,1》U12 人m的最小值为2一22 且m的最大值为2十2 《将7本不同的杂志分域3组，每组￥少2本，则不同的分组力法数为 Cw的最小值为2-28 D两的最大值为2+2月 A70 R84 C105 1h.210 三、填空骊：本题共3小m,每小置5分，共15分， 五投：上的实郁与虚部相等，且实富不为心，：的虚那是实南的2值，且：在复平血内对成的点 12已知平而向量a,b满是m一2,61一1，且(a十》·《a一36)-0，期。，b夹角的余弦值 位于第二象限，则：1在复平面内村位的点位于第一象限”是~在复平面内对位的，点位于第 为▲ 3,算一副三角板按如周所示的位置拼接：含的”角的三角板(AC)的长直 二象限”的 角边与含45角的=角板(ACD)的边拾好重合.AC与BD相交于点 人.充要备得 且必要不充分条用 0,若AC=25,期A0=▲ C充分不公要条件 ,既不充分也不必要条 么而数y一n一cas,z∈[一吾晋的新有零点的和为 M.已知前数r的定又城为R(吉)=立，且x+y)-f) 一.若关于x的不等式f(x+工)22在[1，]上有解，烟：的取值放限为 A.le 我 C.2x D联 【责三数学量1五（其4面川 【高三数学第2页共4西1 四、解答明：本殖共5小驱，共77分.解答应写出文字说明，正明过程蚊演算步廉。 18.(17分) 15,13分) 某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易相零件，在购买设备时可以领外购买这种县提零 已知函数a)一(3r十p一<o)在[0，上的域[-号小 件作为备作，价格为每个20元在设备使用别间，零件损坏，备件不足再出时离买该等件 价格为每个20元在使用期可，每台设各需要更换的零件个数T的分布列为 1)求g 4 《2》将()筒图象上质有点的横鱼标变为原来的方：纵坐标变为氟来的2倍，得判雨数 02 4 点.1 x(x的图象，求x(x)的解所式与单调递增区间 X表示2台设备使用期阿需更换的零件个数，开代表前买？台设备的同时购实易裙零件的 个数. (1)求X的分布列 2)以啊买易损军件所需费用的期提为流策依据，试问在：■10和n一11中，皮花择零 个2 步 16.15分) 已知丽数了(x)=r一m(2x一1)， (1)当a-1时，求由线y一/()在点(1f代1)处的切线方程： (2)讨论了(x)的单调性 1917分) 设两数了(x的定义域为D,若±∈D,/《f氏x)一x,则称f(x)为“循环丽盘“ 商表一，是者为新环居量位男 2已知丽数红一2证明：存在常数C,快得x(x)一fr+C为缩环函数 17.15分) (3)已知对任意x3yet,函数x)g(x2都消是f(x)十fy)+gz)=3g(y3十士一3y AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知nA一2nB,b一2 -4y. （话=2，求C及m E期：/(x)为“循环函数 图 ②若f《-》=0,证明：当>1时gx>言十n(r- 位若△C的面积为产，求△C内切到的半爸 1应三数学某9页（并1可）1 【高兰数单第4西共4小高三阶段性诊断测试 数学参考答案 1.B选项A,D均不是存在量词命题，B,C均是存在量词命题，B为真命题，C为假命题. 2.D因为f(x)与g(x)均为定义在R上的奇函数，所以f(一x)=一f(x),g(一x)= 一g(x),所以h(一x)=f(一x)g(一x)=h(x),则h(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故 选D, 3.D由2一x2≥0且x2一1≠0，得一√2≤x≤√2且x≠士1，所以函数f(x)的定义域是 [-√2，-1)U(-1,1)U(1W2] 4.C依题意可得分组的本数分配只有1种，即2,23，则不同的分组方法数为A CC =105. 5.A依题意可设1=a十ai(a∈R,a≠0)，2=b十2bi(b∈R,b<0),若1在复平面内对应的 点位于第-象限，则a>0,则=a+a-4.1+i-4.1+i1-2D-a,3-i3a 2b+2bib·1+2ib 5 品，则%<0，一品>0，在复平面内对应的点位于第二象限，反之亦成立，所以“：1在复 平面内对应的点位于第一象限”是在复平面内对应的点位于第二象限”的充要条件， 6.A如图.画出)=inx与y=30os4r,x∈[一乏，]的图象，有8个交点，且这8个交点关 于直线x=交对称，则所有零点的和为乏×8=4元 7.AA={1,2,3,6},非空子集有15个. 当子集M为单元素集{1}，{2}，{3}，{6}时，“和睦数”分别为1,2,3,6，和为12： 当子集M为双元素集{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，{2,6)，{3,6}时，“和膝数”分别为3,4,7， 5,8,9,和为36： 当子集M为三元素集(1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,6}，{2,3,6}时，“和膝数”分别为4,7,8,7，和 为26： 当子集M为四元素集{1,2,3,6}时，“和睦数”为6十3一2十1=8. 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 故“和睦数”的总和为12+36+26+8=82. &D令函数)则了u),则u)在0，o上单递增，在e,o∞)止单调递减。 所以h”>nm,则mlnn>nlnm,n”>m,即a>h.又因为c=logm<log,n=1,b=m> 1,所以a>b>c. 9.ABD由图可知2019~2023年快递业务量逐年上升，A正确.2019~2023年快递业务量的极差为 1320.7一635.2=685.5亿件，B正确.因为5×0.4=2，所以2019~2023年快递业务量的增长速度 的40%分位数为184%，25.3%=25%，C错误2019一2023年快递业务量的增长速度的平均 2 数为21%+1849%+253%+29.9%+312%=21.58%，D正确. 5 10.AC由题意得f(x)=x2+x+a,则f)=2+a=0,得a=一2，A正确.由f1)= 号-2+6=-言得6=1，B错误了x)=x2+x-2=(-10+2),易知x)在(-©， 1 一2)，1，+©)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，则f(x)的极大值为f(-2)=1 3,所以 f(x)有3个零点，直线y=5与f(x)的图象仅有1个公共点，C正确，D错误， 11.CD因为x>0,y>0,所以不等式x(x十1)2+y(y十1)2一(m2一4m)xy≥0恒成立等价 于不等式m-4m<红+1)+y+1D恒成立.因为r>0,y>0,所以+1D+y+1D y ≥2 x+1)(y+D_2xy+x+y十D22√四+2W)=8,当且仅当x=y=1 y Vry √xy 时，等号成立，则m2-4m≤8，即m-4m-8≤0，解得2-23≤m≤2+23.故m的最小 值、最大值分别为2-23,2十2√3. 12. 因为a+b)(a-3b)=0,a=2.b=1.所以a·b=号(1a-3b)=2,所以 cos(a,b)-la4' a·b1 13.6-2√3由题可知AD=V6,AB=4,sin∠DAB=sin(30°+45°)=6+2 4 由Sam+SaAm=SAm,可得号AD·AOsin∠DAO+号AB·A0sin∠BA0=号AD· ABsin_DAB.则5A0·号+4·A0·号-后X4×5+2.解得40=6-2， 4 1[-+）令x=y=-则f(-1D=(-2)·f(--(-》=0令y 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 -1,则f(x-1)=f(x)·f(-1)+x=x,则f(x)=x+1.由f(x2+a.x)≥2在[1,2]上 有解，得x2十a.x-1≥0在[1,2]上有解.令g(x)=x2十a.x-1,则g(x)在[1,2]上的最大 值为g1或g(2.则1+a-1>0或4+2a-120,解得a>是 15.解：)当x∈[0，]时，3x+p∈[gx+p …1分 因为一吾<9<0，所以5<x十g<, 2分 则sing=一2， ……4分 因为-受<9<0.所以9=一吾 …5分 (2)由1)知fx)=sim(3x-君)月 依题意可得g(x)=2sin(6x-君)， ,0404444404*4000000*40000004*0000004000*04000*0*40年9分 令2km-吾<6r-吾<2kx+(k∈Z0. …11分 12分 所以g:)的单调递增区间为[智。智+晋]k∈D。 13分 16.解：(1)当a=1时，f(x)=x-ln(2.x-1), 2 则f'(x)=12x-1 4* 1分 则f'(1)=1一2=一1.… 2分 因为f(1)=1一0=1，… 3分 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y一1=一(x一1)，即y=一x十2. 4… …5分 (2)fx)的定义域为分，+e, 6分 f'(x)=2ux-a-2 2x-1 7分 当a<0时，f(x)<0,f(x)在(，+∞)上单调递减。 …9分 当a>0时，令f(x)=0,得x=a+2 2a 10分 a+2、a1 2a2a2' 11分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 当>0士时，c)>0.则f化c)的单调遥增区间为士君是.十e.…13分 当号<“法若时，0，则的单调造诚区同为利公，去 1a+2 15分 17.解：(1)因为sinA=2sinB,b=2,所以a=2b=4,…2分 所以cosC=a+62-c2_16+4-28 2ab 16 2, …4分 又C∈(0，x),所以C-2 3 5分 由nAic·得sinA-anC- 7 6分 sin 2 A c02 所以tan2 2 十 14_2②I A A 3 tan 2 A sin 2 AA sin A√2I sin 2cos 2 8分 (2)因为△ABC的面积S= 2absin C-4V1-cos C315 4 …10分 所以cosC=土6· 11 …11分 所以c2=a°+b2-2 abcos C=20-16cosC=9或31， 则C=3或/31.… 13分 3/15 2S 2 △ABC内切圆的半径r= 3√15 a+b+c 6+c 12+2c 当c=3时，r=5 分乡 14分 当c=√3I时，r= 315 18√/15-3√/465 12+2/31 10 15分 18.解：(1)X的可能取值为8,9,10,11,12,13,14， P(X=8)=0.32=0.09, …1分 P(X=9)=0.3X0.2X2=0.12,… 2分 P(X=10)=0.3×0.4×2+0.22=0.28,… 3分 P(X=11)=2×0.3×0.1十2×0.2×0.4=0.22，…4分 P(X=12)=0.4+0.2X0.1×2=0.2,… 5分 P(X=13)=0.4X0.1X2=0.08,… 6分 P(X=14)=0.12=0.01,… …7分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 则X的分布列为 X 8 9 10 11 12 13 14 P 0.09 0.12 0.28 0.22 0.2 0.08 0.01 …8分 (2)当n=10时，记购买易损零件所需的费用为Y1元， P(Y1=2000)=P(X≤10)=0.09十0.12+0.28=0.49，……9分 P(Y=2320)=P(X=11)=0.22, P(Y1=2640)=P(X=12)=0.2,…10分 P(Y1=2960)=P(X=13)=0.08, P(Y1=3280)=P(X=14)=0.01, 11分 E(Y1)=2000×0.49+2320×0.22+2640×0.2+2960×0.08+3280×0.01=2288. …12分 当=11时，记购买易损零件所需的费用为Y。元， P(Y2=2200)=P(X≤11)=0.49+0.22=0.71，…13分 P(Y2=2520)=P(X=12)=0.2, P(Y2=2840)=P(X=13)=0.08, P(Y2=3160)=P(X=14)=0.01,…15分 E(Y2)=2200×0.71+2520×0.2+2840×0.08+3160×0.01=2324.8.…16分 因为E(Y)<E(Y2),所以应选择n=10.…17分 19.(1)解：当x=0时，f(0)=0,f(f(0))=f(0)=0;…1分 当x<0时，f(x)=e2一1>0，则f(f(x)=一lner=x;…2分 当.x>0时，f(.x)=-ln(x十1)<0，则f(f(x)=er+》-1=x+1-1=x.…3分 1e7-1,x≤0， 故f(x)= 是“循环函数”。…4分 -ln(x+1),.x>0 (2)证明：当C=时gx)=32+号=+出 4.x-222.x-1' …5分 x+1 则g(g(x)= 227+1 x+1+2x-1 2x+D-12x+2-(2x-D ，…7分 2x-1 所以存在常数C=号，使得g(x)=f()十C为“循环函数、…8分 (3)证明：由题意得f(x)+g(x)-x2=3g(y)一f(y)-3y2一4y对x,y∈R恒成立， 所以存在常数a,使得f(x)十g(.x)一x2=3g(y)-f(y)-3y2-4y=a.…9分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 f(x)+g(x)-x2=a, 令y=x,得 3g(x)-f(.x)-3x2-4x=a 解得fx)=受-1gx)=r2+x+受 …10分 ①由fx)》=号-（受-x)=x,得fx)为循环函数”，…1分 ②若f(-3）=0,则号=-3gx)=x2十x-3。…12分 设函数p(x)=gr)号-ia(x2-r)=2+r一号-n(-)z>D,期px) 2x+1-3r-2红=-2x+1-3红-2_2x-10-2(x>1D,13分 x3-x2 x-x T'-x 当1<x<√2时，p'(x)<0,当x>2时，p'(x)>0,…14分 所以p(G）=p(②)=②-号n(2W2-2.…15分 易证1nx<x-1(x>1),则p2)>E-2+1-(22-2)=号-2>0，所以px)>0. 当x>1时，g(x)>7十ln(23z).…17 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】