7.1  黄金螺旋线 同步分层作业-数学六年级上册（北京版）

7.1  黄金螺旋线 1．如图所示为某学校操场示意图，每条跑道的宽为1.25m，从内到外依次是第1道，第2道……绕第1道跑一圈正好是200m，则绕第2道跑一圈是（    ）。（取3.14） A．203.925m B．207.85m C．215.7m D．231.4m 2．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它是分别以1cm，1cm，2cm，3cm，5cm…为半径，依次作圆心角为90°的扇形所形成的螺旋线。若第1步中扇形的半径为1cm，按如图所示的方法依次作图，则前6步所画扇形的弧长总和为（    ）。 A．πcm B．πcm C．10πcm D．14πcm 3．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． D． 4．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案（如图1）。图2是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线，阴影部分内部是边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的。那么这一段斐波那契螺旋线的弧长为（    ）。 A． B． C． D． 5．数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，下面的图形是用一些数学家的名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ）。 A．科克曲线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．费马螺线 6．著名的斐波那契数列、、、、、、、…，其中的第个数是（ ）。 7．“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来的（如图），第一步中的扇形半径是，按照下面的方法画螺旋线，第五步的弧线长（ ）。 8．有一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，称为斐波那契数列，由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则这列数中第九项是（ ）。 9．下图中有六个小正方形，它们的边长是一组斐波那契数列，分别是：1，1，2，3，5，8（单位：），用这些数作半径，可画出美妙的螺旋线。请计算图中螺旋线的长度是（ ）。（结果可用含有的式子表示）。 10．甲、乙二人在圆形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方同时出发，同向跑，则经过3分20秒可以第一次相遇；若反向跑，则经过40秒也可以第一次相遇，已知甲跑步的速度每秒跑6米，这个圆形跑道的直径是（ ）米。（圆周率π取3） 11．艾波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34…，根据斐波那契数列画出来的图形是螺旋曲线（如下图）。如果小正方形1的边长是1厘米，图中的螺旋曲线长是多少厘米？（用含π的式子表示） 12．著名的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…从第三项开始每一项是前两项的和。此数列的第2008项除以8的余数是多少？ 13．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 14．学校教学楼共16级台阶，规定每次只能跨上1级或2级，要登上第16级，共有多少种不同的走法？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1  黄金螺旋线 1．如图所示为某学校操场示意图，每条跑道的宽为1.25m，从内到外依次是第1道，第2道……绕第1道跑一圈正好是200m，则绕第2道跑一圈是（    ）。（取3.14） A．203.925m B．207.85m C．215.7m D．231.4m 【分析】由图可知，第2道比第1道多了π×1.25×2，再用第2道比第1道多的米数加上第1道跑一圈的米数就是第2道跑一圈的米数，据此解答。 【解答】3.14×2×1.25 ＝6.28×1.25 ＝7.85（m） 200＋7.85＝207.85（m） 则绕第2道跑一圈是207.85m。 故答案为：B 【点评】解决本题的关键是根据图形找出周长的组成部分，再计算。 2．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它是分别以1cm，1cm，2cm，3cm，5cm…为半径，依次作圆心角为90°的扇形所形成的螺旋线。若第1步中扇形的半径为1cm，按如图所示的方法依次作图，则前6步所画扇形的弧长总和为（    ）。 A．πcm B．πcm C．10πcm D．14πcm 【分析】根据题意找出半径的变化规律，前面两个半径的和等于下一个半径的长度，所以第六个半径的长度是3＋5＝8cm，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，再把这6个圆弧相加即可。 【解答】3＋5＝8（cm） 由题意得：前6步的半径依次是以1cm，1cm，2cm，3cm，5cm，8cm ∴前6步所画扇形的弧长总和为： ×π×1×2＋×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2＋×π×5×2＋×π×8×2 ＝π＋π＋π＋π＋π＋4π ＝10π（cm） 所以则前6步所画扇形的弧长总和为10πcm。 故答案为：C 【点评】本题考查的是弧长的计算、数字的变化规律，根据题意找出半径的变化规律是解题的关键。 3．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（    ）。 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答。 【解答】A．是轴对称图形，故该选项是正确的； B．不是轴对称图形，故该选项是错误的； C．不是轴对称图形，故该选项是错误的； D．不是轴对称图形，故该选项是错误的； 故答案为：A 4．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案（如图1）。图2是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线，阴影部分内部是边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的。那么这一段斐波那契螺旋线的弧长为（    ）。 A． B． C． D． 【分析】根据图可知，这个螺旋线是由4个大小半径不同的圆弧组成的，每个正方形的边长都是扇形的半径，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出对应的圆的周长再乘即可求出对应的圆弧长度，再把这4个圆弧相加即可。 【解答】阴影部分内部是边长为1的正方形， 由内往外第一个扇形的半径为1，第二个扇形的半径为2，第三个扇形的半径为3，第四个扇形的半径为5； ×π×1×2＋×π×2×2＋×π×3×2π×5×2 ＝π＋π＋π＋π ＝π 将圆弧连接起来得到的这一段斐波那契螺旋线的弧长为： 故答案为：C 5．数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，下面的图形是用一些数学家的名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ）。 A．科克曲线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．费马螺线 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。据此即可选择。 【解答】A．不是轴对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不合题意。 故答案为：Ａ 6．著名的斐波那契数列、、、、、、、…，其中的第个数是（ ）。 【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和，由此即可求解。 【解答】有分析可知： 第个数是： 第个数是： 所以其中的第9个数是55。 【点评】本题考查数字类规律，根据题意找到规律是解题关键，属于基础题。 7．“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来的（如图），第一步中的扇形半径是，按照下面的方法画螺旋线，第五步的弧线长（ ）。 【分析】观察图形可知，从第三步的扇形开始，每个扇形的半径是前面两个扇形半径之和，第一个扇形半径是1cm，第二个扇形半径是1cm，第三个扇形半径是1＋1＝2cm，第四个扇形半径是1＋2＝3cm，第五个扇形半径是2＋3＝5cm，第五步弧线长就是半径为5cm圆的周长的，根据圆的周长公式：π×半径×2，即可求出弧长。 【解答】根据分析可知，弧长：3.14×5×2× ＝15.7×2× ＝31.4× ＝7.85（cm） 【点评】本题考查扇形弧长的求法，根据圆的周长公式进行解答，确定扇形的半径是解题的关键。 8．有一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，称为斐波那契数列，由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则这列数中第九项是（ ）。 【分析】根据题意找出半径的变化规律，前面两个数的和等于下一个数的大小，所以第九项的长度应该是第七项和第八项的和，据此即可填空。 【解答】由分析可知： 该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和， 这列数中第九项是。 【点评】本题考查了数字的规律，正确理解题意时解题的关键。 9．下图中有六个小正方形，它们的边长是一组斐波那契数列，分别是：1，1，2，3，5，8（单位：），用这些数作半径，可画出美妙的螺旋线。请计算图中螺旋线的长度是（ ）。（结果可用含有的式子表示）。 【分析】由图示可知，刨出去一个半径为1的圆的长度，则剩下图中斐波那契螺旋线的长度就是由半径分别为1、2、3、5、8的圆的周长的组成，利用圆的周长公式可计算出来。 【解答】×2π×1＋×2π×2＋×2π×3＋×2π×5＋×2π×8＋×2π×1 ＝×2π×（1＋2＋3＋5＋8）＋π ＝π×19＋π ＝10π（厘米） 【点评】我们需要仔细审题，细心观察图示，最后得出这些螺旋线就是半径呈斐波那契数列规律排列的圆组成的，在此基础上谨慎列式计算求解。 10．甲、乙二人在圆形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方同时出发，同向跑，则经过3分20秒可以第一次相遇；若反向跑，则经过40秒也可以第一次相遇，已知甲跑步的速度每秒跑6米，这个圆形跑道的直径是（ ）米。（圆周率π取3） 【分析】同向跑，甲和乙第一次相遇时，甲跑了一圈再加上乙的路程，此时，甲200秒的路程＝圆的周长＋乙200秒的路程。反向跑时，两人第一次相遇，两人的路程和恰好等于圆的周长。那么有数量关系：甲200秒的路程＝甲40秒的路程＋乙40秒的路程＋乙200秒的路程，圆的周长＝甲40秒的路程＋乙40秒的路程。将第一个数量关系左右两边同时减去甲40秒的路程，可以求出乙240秒的路程，从而利用除法求出乙的速度。将甲、乙的速度代入第二个数量关系，即可求出圆的周长。直径＝圆的周长÷3，据此可求出圆的直径。 【解答】60×3＋20 ＝180＋20 ＝200（秒） 6×200＝1200（米） （1200－6×40）÷（200＋40） ＝960÷240 ＝4（米） （6＋4）×40÷3 ＝400÷3 ＝（米） 所以，这个圆形跑道的直径是米。 【点评】本题考查了相遇问题和圆的周长，掌握速度、时间和路程之间的关系，熟记圆的周长公式是解题的关键。 11．艾波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34…，根据斐波那契数列画出来的图形是螺旋曲线（如下图）。如果小正方形1的边长是1厘米，图中的螺旋曲线长是多少厘米？（用含π的式子表示） 【分析】由图示可知，图中斐波那契螺旋线的长度就是由半径分别为1、1、2、3、5、8的圆的周长的组成，利用圆的周长公式：C＝2πr可计算出来。 【解答】×2π×1＋×2π×1＋×2π×2＋×2π×3＋×2π×5＋×2π×8 ＝×2π×（1＋1＋2＋3＋5＋8） ＝×2π×20 ＝10π（厘米） 答：图中的螺旋曲线长是10π厘米。 【点评】我们需要仔细审题，细心观察图示，最后得出这些螺旋线就是半径呈斐波那契数列规律排列的圆组成的，在此基础上谨慎列式计算求解。 12．著名的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…从第三项开始每一项是前两项的和。此数列的第2008项除以8的余数是多少？ 【分析】数列的规律是：从第三项开始，每一项是前两项的和，因此由余数的性质：两数的和除以A的余数等于这两数分别除以A的余数的和再除以A的余数。可以写出余数的规律是： 1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，3⋯它的循环周期是：1，1，2，3， 5，0，5，5，2，7，1，0，即12个数一个周期，由此用2008除以12看余数对应的循环周期中的第几个数即可。 【解答】2008÷12＝167⋯⋯4 在循环数中第4个数对应的是3，因此第2008项除以8的余数是3。 答：此数列的第2008项除以8的余数是3。 【点评】解答此题的关键是，根据两数的和除以A的余数等于这两数分别除以A的余数的和再除以A的余数，得出此数列除以8的余数的循环周期，由此得出答案。 13．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 【分析】由题意可知，第1步中扇形的半径是1厘米，第2步中扇形的半径是1厘米，第3步中扇形的半径是（1＋1）厘米，第4步中扇形的半径是（1＋1＋1）厘米，扇形的面积是所在圆面积的，最后利用“”求出第4步画的新扇形的面积，据此解答。 【解答】3.14×（1＋1＋1）2× ＝3.14×9× ＝3.14×9× ＝28.26× ＝7.065（平方厘米） 答：第4步画的新扇形的面积是7.065平方厘米。 【点评】根据图形求出扇形的半径并掌握圆的面积计算公式是解答题目的关键。 14．学校教学楼共16级台阶，规定每次只能跨上1级或2级，要登上第16级，共有多少种不同的走法？ 【分析】上第1级有1种方法， 上第2级有1、1，和2这2种方法， 上第3级，可以1、1、1或者1、2或者2、1这3种方法，3＝1＋2， 同理， 上第4级2＋3＝5种方法， 上第5级3＋5＝8种方法， 上第6级5＋8＝13种方法， 上第7级8＋13＝21种方法， 上第8级13＋21＝34种方法， 上第9级21＋34＝55种方法 上第10级34＋55＝89种方法。 这个走法随着台阶的增多，依次为： 1、2、3、5、8、13、21、34、55、89 由此得出：从第三项开始，每项＝他之前的两项的和。 【解答】第一台阶有1种走法， 第二台阶有2种走法， 第三台阶有1＋2＝3种走法， 第四台阶有2＋3＝5种方法， … 即斐波那契数列 依次有：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597； 共有1597种不再的走法 答：共有1597种不同的走法。 学科网（北京）股份有限公司 $$