精品解析：湖北省仙桃市田家炳实验高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

实验高中2024年秋季学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线l的方程为，则l的倾斜角是（    ） A. B. C. D. 2. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（   ） A. B. C D. 5. 两平行直线和之间距离为（ ） A. B. C. D. 6. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 7. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则与相互独立 D. 若发生时一定发生，则 10. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l的一个法向量为 B. 若直线m：，则 C. 点到直线l的距离是2 D. 过与直线l平行的直线方程是 11. 如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 点到距离为 C. 直线与平面平行 D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______． 13 若直线与直线垂直，则＝___________ 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为 ，乙同学晋级的概率为，甲、乙两人是否晋级互不影响. （1）求甲、乙两人同时晋级的概率； （2）求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 17. 在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为. （1）求点C坐标； （2）在线段上是否存在一点F，使得？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． （1）证明：PD⊥平面ABCD； （2）当点为棱中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求． 19. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实验高中2024年秋季学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线l的方程为，则l的倾斜角是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率即可求解. 【详解】的斜率为，故倾斜角为， 故选：B 2. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求解. 【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为. 故选：A. 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得 . 故选：B. 5. 两平行直线和之间的距离为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两条平行线之间的距离公式即可求解． 【详解】将直线变形为， 所以两平行线间的距离为. 故选：A． 6. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】若，则， 解得或， 当时，和的方程都是，两直线重合，不符合题意. 经验证可知，符合. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 7. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角； 【详解】以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，所以，， 所以， 故选：A. 8. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则与相互独立 D. 若发生时一定发生，则 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，利用互斥事件的概率公式，即可求解；选项B，利用，求得，即可求解；选项C，利用相互独立的判断方法，即可求解；选项D，由题知，即可求解. 【详解】对于选项A，因为与互斥，则，所以选项A错误， 对于选项B，与相互独立，则，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以，由相互独立的定义知与相互独立，所以选项C正确， 对于选项D，因为发生时一定发生，所以，则，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l一个法向量为 B. 若直线m：，则 C. 点到直线l的距离是2 D. 过与直线l平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据直线平行分析求解. 【详解】对于A，因为直线l：的斜率， 但，可知不为直线l的一个法向量，故A错误； 对于B，因为直线m：的斜率，且， 所以直线l与直线m不垂直，故B错误； 对于C，点到直线l的距离，故C正确； 对于D，过与直线l平行直线方程是，即，故D正确． 故选：CD. 11. 如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 点到距离为 C. 直线与平面平行 D. 三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算A；利用点到直线距离公式计算B；利用线面平行的判定定理判定C；借助C中的线面平行，利用等体积法判定D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为原点， 以，，所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 如图所示： 因为、、分别为、、的中点， 则、、、， 对于A，，，， 设直线与直线所成角， 所以，故A正确； 对于B，，， 所以，， 所以， 所以点到AF距离为，故B错误； 对于C，连接、，， 在正方体中，因为、分别为、的中点，则， 又易得，所以，故、、、四点共面， 又因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故C正确； 对于D，因为平面， ∴，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由空间数量积的定义求解即可. 【详解】因为，， 则. 故答案为：. 13. 若直线与直线垂直，则＝___________ 【答案】 【解析】 【分析】根基两直线垂直可得，从而可得出答案. 【详解】解：因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故答案为：. 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建系，设，，根据可得，进而利用两点间距离公式结合二次函数分析求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为点，分别为棱，的中点，所以，， 设，，其中，， 则，. 因为，则，解得， 又因为，，则， 可得， 所以，此时，即线段的长度的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为 ，乙同学晋级的概率为，甲、乙两人是否晋级互不影响. （1）求甲、乙两人同时晋级的概率； （2）求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互对立事件的乘法计算公式即可求解， （2）根据相互对立事件的乘法公式以及对立事件的概率即可求解. 【小问1详解】 设“甲晋级”为事件，“乙晋级”为事件， 设“甲、乙两人同时晋级”为事件， 则 ； 【小问2详解】 设“甲、乙两人中至少有一人晋级”为事件， 由题事件，相互独立，则，也相互独立， 所以 ， 则 . 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可； （2）由点到面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 因为四棱锥中， 底面，底面，且底面是正方形， 所以两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 则由题意可得，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取可得平面的一个法向量， 因为，又平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 由（1）得，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 17. 在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为. （1）求点C坐标； （2）在线段上是否存在一点F，使得？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系得出直线斜率，再由点斜式得出直线方程； （2）根据题意设出点坐标，再由中点公式得出点坐标，代入直线方程即可得解. 【小问1详解】 因为边上的高所在的直线方程为， 所以， 又直线经过点， 所以直线的方程为：，即：. 联立，解得， 即点 【小问2详解】 由题知，满足条件的点F为点C关于直线BE的对称点， 直线AC的方程为：，设点， 所以， 将点E带入直线BE的方程得：，解得， 所以， 即存在点，使得. 18. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． （1）证明：PD⊥平面ABCD； （2）当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【小问1详解】 证明：因为， 所以，，所以 又，且 所以. 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量， 则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． 19. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ），轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【解析】 【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）（ⅰ）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程； （ⅱ）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入，即可求解. 【小问1详解】 解：设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为， 又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （ⅱ）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$