4.2.3对数函数的性质与图象(一)第一课时练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4．2.3　第1课时　对数函数的性质与图象(一) 必备知识基础练 1．(5分)(易错题)下列函数，其中为对数函数的是(　　) A．y＝ (－x) B．y＝2log4(1－x) C．y＝ln x D．y＝log(a＋a)x 2．(5分)函数y＝的定义域为(　　) A．(0，1] B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 3．(5分)对数函数的图象过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log5x B．y＝x C．y＝x D．y＝log3x 4．(5分)已知y＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点P(3，1)，则y＝xa的图象大致为(　　) 5．(5分)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________． 6．(5分)已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6，3)，则f(2)＝________． 关键能力综合练 7.(5分) 函数y＝ax与y＝x(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象可以是(　　) 8．(5分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q. 科学研究发现v与log3成正比. 当v＝1 m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当v＝2 m/s时，其耗氧量的单位数为(　　) A．1 800 B．2 700 C．7 290 D．8 100 9．(6分)(多选)已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列四个选项中，可能成立的有(　　) A．a＞b＞1 B．a＜b＜1 C．b＜a＜1 D．a＝b 10．(5分)已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围是________． 11．(5分)函数f(x)＝logax＋1在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a＝________． 12．(12分)已知函数f(x)＝b＋logax(x>0且a≠1)的图象经过点(8，2)和(1，－1). (1)求f(x)的解析式； (2)[f(x)]2＝3f(x)，求实数x的值． 核心素养升级练 13.(5分)已知当x∈(1，2]时，不等式(x－1)2≤logax恒成立，则实数a的取值范围为________. 14．(17分)已知函数f(x)＝ (1)求f(f(－1))的值； (2)若f(f(x))＝x，求x的取值范围． 参考答案 必备知识基础练 1．(5分)(易错题)下列函数，其中为对数函数的是(　　) A．y＝ (－x) B．y＝2log4(1－x) C．y＝ln x D．y＝log(a＋a)x 答案：C 解析：函数y＝(－x)，y＝2log4(1－x)的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数y＝ln x是对数函数，C是； 函数y＝logx的底数含有参数a，而a的值不能保证a2＋a是不等于1的正数，D不是．故选C. 易错提醒：判断一个函数是否为对数函数必须抓住解析式的结构特征：(1)解析式只有一项；(2)底数a为常数，a>0，a≠1，真数为自变量x；(3)真数中只含有一个x的一次项，系数为1，且再无其他项． 2．(5分)函数y＝的定义域为(　　) A．(0，1] B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 答案：B 解析：由⇒0<x<1. 所以函数的定义域为(0，1).故选B. 归纳总结：常见函数的定义域主要从以下方面考虑求解：(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方数为非负数；(3)对数的真数要大于零，底数大于零且不等于1；(4)零次方的底数不能为零． 3．(5分)对数函数的图象过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log5x B．y＝x C．y＝x D．y＝log3x 答案：A 解析：设函数解析式为y＝logax(a>0且a≠1). 由于对数函数的图象过点M(125，3)， 所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选A. 4．(5分)已知y＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点P(3，1)，则y＝xa的图象大致为(　　) 答案：B 解析：因为y＝logax的图象经过点P(3，1)，所以loga3＝1，所以a＝3，所以所求函数为y＝x3，显然y＝x3为奇函数，排除A，C；又因为y＝x3为增函数，所以排除D.故选B. 5．(5分)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________． 答案：(0，－2) 解析：依题意，x＋1＝1，即x＝0时，y＝loga(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2). 6．(5分)已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6，3)，则f(2)＝________． 答案：2 解析：因为函数f(x)＝loga(x＋2)的图象过点(6，3)， 所以loga(6＋2)＝3⇒loga8＝logaa3， 则a3＝8⇒a＝2， 所以f(x)＝log2(x＋2)，f(2)＝log2(2＋2)＝2. 关键能力综合练 7.(5分)函数y＝ax与y＝x(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象可以是(　　) 答案：B 解析：若a>1，则0<<1，所以y＝ax在R上单调递增，且过点(0，1)，y＝x在(0，＋∞)上单调递减，且过点(1，0)，故B选项符合题意；若0<a<1，则>1，所以y＝ax在R上单调递减，且过点(0，1)，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且过点(1，0)，没有符合题意的选项．故选B. 8．(5分)[2024·北京丰台高一检测]大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q. 科学研究发现v与log3成正比. 当v＝1 m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当v＝2 m/s时，其耗氧量的单位数为(　　) A．1 800 B．2 700 C．7 290 D．8 100 答案：D 解析：设v＝klog3，因为v＝1 m/s时，Q＝900， 故1＝klog3＝2k，所以k＝，故v＝2 m/s时，2＝log3即Q＝8 100.故选D. 9．(6分)(多选)已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列四个选项中，可能成立的有(　　) A．a＞b＞1 B．a＜b＜1 C．b＜a＜1 D．a＝b 答案：CD 解析：实数a，b满足等式log2a＝log3b，即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等，当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时D成立；令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知A不成立；令log2a＝log3b＝－1，可得a＝，b＝，由此知C成立，B不成立，综上知可能成立的有CD两项． 10．(5分)[2024·上海校级月考]已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围是________． 答案：(0，)∪(2，＋∞) 解析：∵f(x)＝|log3x|， ∴函数在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 若f(a)>f(2)，则0<a<或a>2， ∴满足条件的a的取值范围为(0，)∪(2，＋∞). 11．(5分)函数f(x)＝logax＋1在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a＝________． 答案： 解析：因为函数f(x)＝logax＋1在[1，3]上的值域为[1，3]， 所以或 解得a＝或a的值不存在， 所以实数a的值是. 12．(12分)已知函数f(x)＝b＋logax(x>0且a≠1)的图象经过点(8，2)和(1，－1). (1)求f(x)的解析式； (2)[f(x)]2＝3f(x)，求实数x的值． 解析：(1)由已知得b＋loga8＝2，b＋loga1＝－1，(a>0且a≠1)， 解得a＝2，b＝－1； 故f(x)＝log2x－1(x>0). (2)[f(x)]2＝3f(x)，即f(x)＝0或3， ∴log2x－1＝0或3， ∴x＝2或16. 核心素养升级练 13.(5分)已知当x∈(1，2]时，不等式(x－1)2≤logax恒成立，则实数a的取值范围为________. 答案：(1，2] 解析：设y1＝(x－1)2，y2＝logax(a>1)，y3＝logax(0<a<1)，在同一直角坐标系中作出三个函数的图象，如图所示．若0<a<1，则当x∈(1，2]时，显然(x－1)2≤logax是不可能成立的；若a>1，则实数a应该满足解得1<a≤2.所以实数a的取值范围为(1，2]. 14．(17分)已知函数f(x)＝ (1)求f(f(－1))的值； (2)若f(f(x))＝x，求x的取值范围． 解析：(1)f(－1)＝3－1>0， 故f(f(－1))＝f(3－1)＝log33－1＝－1. (2)当x≤0时，f(x)＝3x>0， f(f(x))＝f(3x)＝log33x＝x； 当0<x<1时，f(x)＝log3 x<0， f(f(x))＝f(log3x)＝3log3x＝x； 当x＝1时，f(x)＝log31＝0，f(f(x))＝f(0)＝30＝1； 当x>1时，f(x)＝log3x>0，f(f(x))＝log3(log3x)≠x，故使f(f(x))＝x的x的取值范围是(－∞，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$