专题02 几种常见的力（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优精练（高一上学期）

专题02 几种常见的力 一、单选题 1．（2022·全国竞赛）对于一定温度下金属的杨氏模量，下列说法正确的是（　　） A．只与材料的物理性质有关而与与材料的大小及形状无关 B．与材料的大小有关，而与形状无关 C．与材料的形状有关，而与大小无关 D．与材料的形状有关， 与大小也有关 2．（2022·浙江模拟）北京冬奥会、冬残奥会总结表彰大会2022年4月8日在京举行。冬奥冠军武大靖作为北京冬奥会、冬残奥会突出贡献个人称号获得者代表上台领奖。如图为他在水平冰面上的训练照片，根据该照片，此时刻我们可推知（　　） A．他受到的重力小于地面对他竖直向上的支持力 B．地面对他的作用力与重力大小相等 C．他正处于弯道转弯，合力方向与水平面平行 D．他正处于弯道转弯，合力方向与水平面成一个锐角 3．（2007·全国竞赛）春天在广场上有许多人放风筝．会放风筝的人，可使风筝静止在空中．图中的四幅图中，MN代表风筝截面，OL代表风筝线，风向水平．在图所示的四种情况中，风筝可能处于静止状态的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2022·江苏竞赛）自然界中有四种基本相互作用， 下列作用力中属于电磁相互作用的有（　　） A．地球与太阳间的作用力 B．将原子结合成分子的作用力 C．将核子结合成原子核的作用力 D．汽车与地面间的摩擦力 5．（2022·全国竞赛）在测量金属丝的杨氏模量实验中，常需预加2kg的负荷，其目的是（　　） A．消除摩擦力 B．使测量系统稳定，金属丝铅直 C．拉直金属丝，避免将拉直过程当作伸长过程进行测量 D．便于望远镜的调整和测量。 6．（2018·全国竞赛）由青岛大学学生自主设计研发的墙壁清洁机器人，利用8只“爪子”上的吸盘吸附在接触面上，通过这8只“爪子”的交替伸缩吸附，就能在竖直墙壁和玻璃上行走并完成清洁任务．如图所示，假设这个机器人在竖直玻璃墙面上由A点沿直线“爬行”到右上方B点，在这一过程中，若此机器人8只“爪子”所受玻璃墙对它的摩擦力的合力为F，则下列受力分析图中可能正确的是(   ） A． B． C． D． 【答案】AD 7．（2022·全国竞赛）“动态法”测杨氏模量与“静态拉伸法”相比，主要优点有（　　） A．其实验思想和测量方法更加直观 B．对脆性材料也能进行测量 C．避免了静态拉伸法受驰豫过程等的影响不能真实反映材料内部结构变化的缺点 D．测量的物理量比“静态拉伸法”要少，因而对实验结果不确定度的影响也较小。 三、实验题 8．（2023·北京顺义竞赛）在一定条件下，流体是分层流动的，由于各层流体的运动速度不同所产生的内摩擦力称为粘滞力。牛顿在大量实验的基础上于1686年提出内摩擦定律：粘滞力F与它分布的面积和流速梯度dv/dl 成正比，其表达式为式中η称为流体的粘度，在国际单位制中，单位为Pas。 满足内摩擦定律的流体被称为牛顿流体。试简述一种测量流体粘度η的方法． 四、解答题 9．（2013·全国竞赛）小明帮妈妈在厨房做菜的时候经常遇到玻璃瓶螺旋瓶盖拧不开的问题．他通过各种途径了解到三种开瓶的技巧：（1）将瓶子到过来，一手紧握瓶子，另一手用力拍打瓶底几下，然后可拧开瓶盖．（2）如图所示，用麻绳（或布条）在瓶盖上绕一圈，设法固定一头（如系在某固定物上），另一头让人拉紧，瓶子与绳垂直．用手紧握瓶子沿绳的方向使力使其平移，则可将瓶盖拧开．（3）将瓶子倒过来置于碗中，倒少许开水使瓶盖淹没，稍待片刻，即可拧开瓶盖． （1）请分别简要说明三种方法的物理原理； （2）图中握瓶子的手应是用力向左推还是用力向右边拉？ 10．（2019·全国竞赛）如图所示，有一均匀的弹性体，劲度系数为，质量为，悬挂后与地面接触不挤压．现将悬挂绳剪断，求弹性体再次稳定后上端与天花板的距离．（悬挂时上端与天花板的距离可以忽略） 11．（2007·全国竞赛）如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动滑轮D上，悬挂有砝码托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线（图中穿过弹簧的那条竖直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码1（两者未粘连）。已知三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量为l0，整个系统处在静止状态。现突然烧断拴住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间。 12．（2007·全国竞赛）如图所示，有一固定的、半径为a、内壁光滑的半球形碗（碗口处于水平位置），O为球心．碗内搁置一质量为m、边长为a的等边三角形均匀薄板ABC．板的顶点A位于碗内最低点，碗的最低点处对A有某种约束使顶点A不能滑动（板只能绕A点转动） （1）当三角形薄板达到平衡时，求出碗对顶点A、B、C的作用力的大小各为多少？ （2） 当板处于上述平衡状态时，若解除对A点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求此后三角形薄板可能具有的最大动能。 13．（2007·全国竞赛）如图所示，在倾角为的足够大粗糙斜面上，有一质点，质量为m，用一弹性绳栓住，绳的另一端固定在斜面上点，弹性绳的形变与弹性力服从胡克定律，绳原长为L，劲度系数（即倔强系数）为K，斜面与质点间的静摩擦系数为，试确定质点在斜面上可静止的区域并画出此区域边界的示意图。 14．（2019·全国竞赛）如图所示，静止的圆锥体竖直放置，顶角为，质量为，且分布均匀的链条水平地套在圆锥体上，忽略链条与锥面之间的摩擦力，试求链条中的张力. 15．（2019·全国竞赛）如图所示，一人对一均匀细杆的一端施力，力的方向总与杆垂直，要将杆从地板上无滑动地慢慢抬到竖直位置，问：杆与地板之间的静摩擦因数至少应为多大？ 16．（2017·北京强基计划）密度为的液体在容器的下部，密度为的液体在容器的上部，两种液体互不溶合。高H、密度为的长方体固体静止在液体中，如图所示，试求图中两个高度量、。 17．（2007·全国竞赛）一根细线竖直悬挂一根长为L的均匀细木杆，置于水桶内水平面上方，如图所示。当水桶缓慢上提时，细木杆逐渐浸入水中，当木杆浸入水中超过一定深度L′时，木杆开始出现倾斜现象。求L′。已知木杆的密度为ρ，水的密度为ρ0。 18．（2011·全国竞赛）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l． （1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）． （2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°．求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）． 19．（2019·全国竞赛）如图甲所示，杆放在圆筒内，杆的端用铰链固定在筒壁与筒底的交界处，杆的点靠在筒的边缘上．两点位于通过圆筒轴的竖直平面内，杆与水平线所成的角度为．使杆沿筒的边缘移动到点，为．试问：摩擦系数最小为多少，杆在位置能保持平衡？ 20．（2019·全国竞赛）如图所示，一光滑半球形容器，直径为，其边缘恰好与一光滑竖直的墙壁相切，现有一均匀直棒，其端靠在墙上，端与容器底相接触，当棒倾斜与水平成角时，棒恰好静止，求棒的长度． 21．（2019·全国竞赛）在水平桌面上放置一块正方形薄木板，在模板的正中点放置一个质量为的小木块，如图所示，先以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动角，再接着以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动同样的角度，在转动过程中木块在木板上没有滑动，则转动后木块受到的摩擦力大小为多少？ 五、填空题 22．（2019·全国竞赛）图中的为等边三角形，连接边、边的中点、，再连接、的中点、……如此继续下去，构成无限内接等边三角形系列．设所有线段的质量线密度相同，边的质量为，长度为，那么等边三角形系列的总质量为 ，系统质心与边的距离为 . 23．（2019·福建泉州竞赛）如图，半球型碗里放有质量分别为、的两个光滑球体A、B，两球心和碗球心O的连线、与水平方向夹角分别为、，取，则A球对碗的压力大小为 ；两球球心连线与水平方向的夹角大小为 。 24．（2016·广东竞赛）如图所示，.甲、乙两只相同的均匀光滑小球，每只球重为G、半径为r，置于半径为R的圆柱形空罐内，r与R满足．则两球间C点的弹力NC= （用G、r、R表示），NC的大小 （填“大于”、“小于”或“等于”）球重G． 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 几种常见的力 一、单选题 1．（2022·全国竞赛）对于一定温度下金属的杨氏模量，下列说法正确的是（　　） A．只与材料的物理性质有关而与与材料的大小及形状无关 B．与材料的大小有关，而与形状无关 C．与材料的形状有关，而与大小无关 D．与材料的形状有关， 与大小也有关 【答案】A 【详解】杨氏模量只与材料的物理性质有关而与与材料的大小及形状无关。 故选A。 2．（2022·浙江模拟）北京冬奥会、冬残奥会总结表彰大会2022年4月8日在京举行。冬奥冠军武大靖作为北京冬奥会、冬残奥会突出贡献个人称号获得者代表上台领奖。如图为他在水平冰面上的训练照片，根据该照片，此时刻我们可推知（　　） A．他受到的重力小于地面对他竖直向上的支持力 B．地面对他的作用力与重力大小相等 C．他正处于弯道转弯，合力方向与水平面平行 D．他正处于弯道转弯，合力方向与水平面成一个锐角 【答案】C 【详解】A．在转弯时，竖直方向上武大靖仅受到重力和支持力作用，而竖直方向上受力平衡，因此他受到的重力等于地面对他竖直向上的支持力，故A错误； B．在转弯时，地面对武大靖作用力一方面在竖直和重力平衡，一方面在水平方向提供向心力，因此地面的作用力大于重力，故B错误； CD．武大靖正处于弯道转弯，在竖直方向上受力平衡，地面对他竖直方向的支持力与重力大小相等，方向相反，而地面对他的摩擦力只能是水平方向，因此，他转弯时，所受合力方向与水平面平行，故C正确，D错误。 故选C。 3．（2007·全国竞赛）春天在广场上有许多人放风筝．会放风筝的人，可使风筝静止在空中．图中的四幅图中，MN代表风筝截面，OL代表风筝线，风向水平．在图所示的四种情况中，风筝可能处于静止状态的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知考查物体受力平衡问题．物体静止合力为零，先受力分析，再判断合力是否为零． 【详解】 设风筝受到的重力为G，绳子拉力为T，风对风筝的作用力为F，对四个选项风筝受力分析，发现只有B选项中的风筝合力为零，其它3个选项中风筝合力不可能为零．故B符合题意，ACD不符合题意． 二、多选题 4．（2022·江苏竞赛）自然界中有四种基本相互作用， 下列作用力中属于电磁相互作用的有（　　） A．地球与太阳间的作用力 B．将原子结合成分子的作用力 C．将核子结合成原子核的作用力 D．汽车与地面间的摩擦力 【答案】BD 【详解】A．地球与太阳间的作用力为万有引力，故A错误； B．将原子结合成分子的作用力属于电磁相互作用，故B正确； C．将核子结合成原子核的作用力属于强相互作用，故C错误； D．汽车与地面间的摩擦力属于电磁相互作用，故D正确。 故选BD。 5．（2022·全国竞赛）在测量金属丝的杨氏模量实验中，常需预加2kg的负荷，其目的是（　　） A．消除摩擦力 B．使测量系统稳定，金属丝铅直 C．拉直金属丝，避免将拉直过程当作伸长过程进行测量 D．便于望远镜的调整和测量。 【答案】BC 【详解】在测量金属丝的杨氏模量实验中，由于实验对象是金属丝，因此为了保证金属丝在施加作用力F时，排除金属丝本身的曲折对形变长度造成的影响，故要先施加一些负荷使其拉直，这些预先施加的外力不计做作用力F中。故选BC。 6．（2018·全国竞赛）由青岛大学学生自主设计研发的墙壁清洁机器人，利用8只“爪子”上的吸盘吸附在接触面上，通过这8只“爪子”的交替伸缩吸附，就能在竖直墙壁和玻璃上行走并完成清洁任务．如图所示，假设这个机器人在竖直玻璃墙面上由A点沿直线“爬行”到右上方B点，在这一过程中，若此机器人8只“爪子”所受玻璃墙对它的摩擦力的合力为F，则下列受力分析图中可能正确的是(   ） A． B． C． D． 【答案】AD 7．（2022·全国竞赛）“动态法”测杨氏模量与“静态拉伸法”相比，主要优点有（　　） A．其实验思想和测量方法更加直观 B．对脆性材料也能进行测量 C．避免了静态拉伸法受驰豫过程等的影响不能真实反映材料内部结构变化的缺点 D．测量的物理量比“静态拉伸法”要少，因而对实验结果不确定度的影响也较小。 【答案】BC 【详解】A. 静态拉伸法的实验思想和测量方法更加直观，A错误； B. 对脆性材料也能进行测量，B正确； C. 避免了静态拉伸法受驰豫过程等的影响不能真实反映材料内部结构变化的缺点，C正确； D.动态拉伸法实验工作量大，实验数据处理繁琐，D错误。 故选BC。 三、实验题 8．（2023·北京顺义竞赛）在一定条件下，流体是分层流动的，由于各层流体的运动速度不同所产生的内摩擦力称为粘滞力。牛顿在大量实验的基础上于1686年提出内摩擦定律：粘滞力F与它分布的面积和流速梯度dv/dl 成正比，其表达式为式中η称为流体的粘度，在国际单位制中，单位为Pas。 满足内摩擦定律的流体被称为牛顿流体。试简述一种测量流体粘度η的方法． 【答案】见解析 【详解】采用落球法测定液体的粘度，实验原理：根据斯托克斯公式可知小球在液体中受的粘滞力为 η为粘度、r为小球半径，v为小球下落速度，当小球受到重力、浮力和粘滞力平衡时有 设小球的直径为d，小球匀速运动的长度为l，时间为t，则 ， 则有 实验过程：选几个半径相同的小球，用游标卡尺测出小球的直径d，将盛有蓖麻油的长试管和刻度尺固定在铁架台上，用重锤线检验试管和刻度尺是否竖直，在试管外侧标出等间距的标线，将第一颗小球投入蓖麻油，用秒表测量出经过各标线的时间，选定小球做匀速运动的区域，用刻度尺测出长度l，然后分别将其他小球投入蓖麻油，测出每次经过匀速区域的时间t，取平均值，查出小球所用材质的密度和蓖麻油的密度，代入原理公式即可计算出流体粘度。 四、解答题 9．（2013·全国竞赛）小明帮妈妈在厨房做菜的时候经常遇到玻璃瓶螺旋瓶盖拧不开的问题．他通过各种途径了解到三种开瓶的技巧：（1）将瓶子到过来，一手紧握瓶子，另一手用力拍打瓶底几下，然后可拧开瓶盖．（2）如图所示，用麻绳（或布条）在瓶盖上绕一圈，设法固定一头（如系在某固定物上），另一头让人拉紧，瓶子与绳垂直．用手紧握瓶子沿绳的方向使力使其平移，则可将瓶盖拧开．（3）将瓶子倒过来置于碗中，倒少许开水使瓶盖淹没，稍待片刻，即可拧开瓶盖． （1）请分别简要说明三种方法的物理原理； （2）图中握瓶子的手应是用力向左推还是用力向右边拉？ 【答案】(1)第一种是利用惯性, 第二种是利用摩擦和力矩,第三种是利用物质的热胀冷缩性质  (2)用力向左边推 【详解】（1）第一种是利用惯性； 第二种是利用摩擦和力矩；通常拧开瓶盖的方法中拧瓶的手需要两方面使力，一是切向的力产生力矩，二是为了使手与瓶盖之间不滑动，需要紧握产生对其的压力从而能有足够的摩擦力．图答1的方法中拉绳的力F1产生绳对瓶盖的压力，容易产生足够大的摩擦力；F2产生开瓶需要的力矩．一般F2比手直接拧瓶盖时的摩擦力矩大．（只要指出了利用了绳的摩擦及推力产生力矩即给满分，没有图不扣分） 第三种是利用物质的热胀冷缩性质，不同物质的热胀冷缩效应的差别． （2）用力向左边推． 10．（2019·全国竞赛）如图所示，有一均匀的弹性体，劲度系数为，质量为，悬挂后与地面接触不挤压．现将悬挂绳剪断，求弹性体再次稳定后上端与天花板的距离．（悬挂时上端与天花板的距离可以忽略） 【答案】 【详解】将悬点记为，弹性体沿长度方向各部位均可用坐标标记（按弹性体中无弹力时的长度计算），取到段，则：. 该段的两端受力分别为 ， 上下受力相差一无穷小量，近似处理为. 该小段的伸长量为. 弹性体的伸长量为. 用同样的方法可求得当悬挂绳被剪断时，弹性体的缩短量 . 所以再次稳定后弹性体上端距天花板的距离为 11．（2007·全国竞赛）如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动滑轮D上，悬挂有砝码托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线（图中穿过弹簧的那条竖直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码1（两者未粘连）。已知三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量为l0，整个系统处在静止状态。现突然烧断拴住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间。 【答案】 【详解】设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为△t，在这段时间内，各砝码和砝码托盘的受力情况如图1所示：图中，F表示△t时间内任意时刻弹簧的弹力，T表示该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力，mg为重力，T0为悬挂托盘的绳的拉力．因D的质量忽略不计，有 （1） 在时间△t内任一时刻，砝码1向上运动，托盘向下运动，砝码2、3则向上升起，但砝码2、3与托盘速度的大小是相同的．设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为v1，砝码2、3与托盘速度的大小都是v2，由动量定理，有 （2） （3） （4） （5） 式中IF、Img、IT、分别代表力F、mg、T、T0在△t时间内冲量的大小。注意到式（1），有 （6） 由（2）、（3）、（4）、（5）、（6）各式得 （7） 在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动．以表示在△t时间内弹簧上端向上运动的距离，表示其下端向下运动的距离．由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1的速度的1/3，故有 （8） 另有 （9） 在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有 （10） 由（7）、（8）、（9）、（10） 式得 （11） 砝码1与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为t1，有 （12） 砝码2、3和托盘的受力情况如图2所示，以表示加速度的大小，有            （13）            （14）            （15）               （16） 由 （14）、（15） 和（16）式得                 （17） 托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有 （18） 由（7）、（12）、（17） 和（18）式，得 （19） 即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等．由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇．题中要求的时间 （20） 由（11）、（12）、（20）式得 （21） 12．（2007·全国竞赛）如图所示，有一固定的、半径为a、内壁光滑的半球形碗（碗口处于水平位置），O为球心．碗内搁置一质量为m、边长为a的等边三角形均匀薄板ABC．板的顶点A位于碗内最低点，碗的最低点处对A有某种约束使顶点A不能滑动（板只能绕A点转动） （1）当三角形薄板达到平衡时，求出碗对顶点A、B、C的作用力的大小各为多少？ （2） 当板处于上述平衡状态时，若解除对A点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求此后三角形薄板可能具有的最大动能。 【答案】（1）；；（2） 【详解】（1）因A点位于半球形碗的最低点，等边三角形薄板的BC边一定沿水平方向. 作连线OB和OC，因O为半球形碗的球心，A、B、C均在球面上，故有 （1） ABC是等边三角形， （2） 故OABC为正四面体，如图1所示. 三角形薄板所受的力有： （i） B、C处碗面对板的作用力NB和NC均垂直于碗面，指向球心O. 又由对称性可知， NB=NC（3） 它们的合力NBC沿∠COB的角平分线DO的方向，其大小为 （4） DO的长度 （5） （ii） 重力FG的大小 FG=mg（6） 它作用于三角形ABC的重心G，G位于AD上，与A的距离 （7） 重力的方向与OA平行，该力位于OAD平面内，与OD相交. 用P表示其交点，则 （8） （iii） 设碗面在A点作用于薄板的约束力为NA，薄板（或可看成刚性正四面体OABC）在NBC、FG和NA三力作用下保持平衡，这三力应在同一平面内，且应共点，即NA应与FG和NBC都在OAD平面内，且应通过P点，如图2所示，在三角形ODA中 ， 设∠DOA=α，则 在三角形ADO中，由正弦定理，有 由此可得 ，（9） 设∠OAP=β，在三角形OPA中，由余弦定理得 由正弦定理得 即（10） FG、NBC和NA三力平衡，它们应形成封闭的三角形，如图3所示. 由正弦定理得 （11） 由（10）、（11）式和（3）、（4）、（6）各式得 （12） （13） 得（14） （2）解除对A点的约束后，A、B、C三顶点将从静止开始沿碗面滑动. 根据对称性可知，薄板处于水平位置时重心最低，从而重力势能最小. 根据机械能守恒定律，此时薄板的动能最大. 此时薄板的重心将移至O点正下方的G′点，如图4所示. 由几何关系并考虑到（7）式，G′ 相对碗最低点的高度. （15） A点被约束时薄板重心为G点，参阅图1，可知G点相对碗最低点的高度 （16） 由（7）和（9）式可得 （17） 由（15）、（17）两式可求得薄板从A点约束解除到处于水平状态过程中，其重心高度减少量的最大值，从而求出重力势能的减少量的最大值，最后即求得薄板具有的最大动能为 （18） 解法二 （1）当三角形薄板处于平衡状态时，根据对称性，必位于过B、C两点的水平圆面内，以O′ 表示此水平圆面的圆心，如图1所示. 碗内壁球面的球心为O，则O′ 以及A、O三点必位于同一条竖直线上. 由于B、C与球面接触处都是光滑的，球面对这两点的作用力都指向球面的球心O，令NB和NC分别表示这两个力的大小. 由对称性可知 NB=NC（1） 因球面的半径等于等边三角形的边长，三角形OAB和OBC都是等边三角形 （2） 把NB分解成沿竖直方向的分量NB⊥和位于水平面内的分量NB∥，则有 （3） （4） 同理有 （5） （6） NB∥与BO′ 平行，NC∥与CO′ 平行，都平行于以O′ 为圆心的水平圆面，可以把这两个力移到圆心为O′ 的水平圆面内，如图2所示. NB∥和NC∥的合力为N∥. 球面底部作用于三角形薄板的力NA也可分解成沿竖直方向的分量NA⊥和位于水平面内的分量NA∥. 当三角形薄板达到平衡时，有 （7） （8） 由图1可知，圆心为O′ 的水平圆面的半径R即线段是等边三角形OAB的高，故有 （9） 由图2得 （10） 由以上有关各式，（7）、（8）两式可写成 （11） （12） 当三角形薄板达到平衡时，作用于三角形的各力对BC边的力矩总和等于零. NB，NC通过BC边，对BC边无力矩作用，只有NA∥、NA⊥和重力mg对BC边有力矩作用. 平衡时有 （13） 由（9）、（10）式可知 （14） 把（14）式代入（13）式，得 （15） 由（11）、（12）和（15）及（1）式 （16） （17） （18） （19） （2）当解除对A点的约束，A、B、C三顶点将在球面内人静止开始滑动. 根据对称性可知，必有一时刻薄板处于水平位置，这时板的重心最低，重力势能最小，薄板具有的动能最大这动能来自薄板减少的重力势能. 在图1中三角形ADO′ 为直角三角形，一条直角边DO′ 位于水平位置，另一条直角边AO′ 位于竖直位置，根据题意及几何关系可知，三角形薄板的重心G位于斜边AD上，离A点的距离为，重心G的高度 （20） 当三角形薄板的三条边位于同一水平的圆面内时，三角形的重心G′ 与其三边所在圆面的圆心重合，如图3所示， 这时，三角形薄板重心G′ 的高度 （21） 薄板的最大动能 （22） 13．（2007·全国竞赛）如图所示，在倾角为的足够大粗糙斜面上，有一质点，质量为m，用一弹性绳栓住，绳的另一端固定在斜面上点，弹性绳的形变与弹性力服从胡克定律，绳原长为L，劲度系数（即倔强系数）为K，斜面与质点间的静摩擦系数为，试确定质点在斜面上可静止的区域并画出此区域边界的示意图。 【答案】见解析 【详解】若质点静止在斜面上任一点M，它在斜面上的位置可用坐标r、表示.如图3-77所示.在绳子伸长，即出现弹力时，M质点在斜面上受三个力：弹力，方向永远 指向点；重力沿斜面的分量，方向永远向下，且大小不变；静摩擦力.这三力一定构成一个闭合三角形.若在图3-77中用、、分别表示F、及，则绳子张紧时M点可静止区域的边界可由动点A的轨迹，即图中圆Ⅰ来间接表示.圆Ⅰ即是以O为中心，以为半径的圆.当取O为直角坐标原点，x轴沿斜面向下时，，，则有圆Ⅰ的方程为：，即 由A点轨迹（圆Ⅰ）求M点可静止区域边界的依据是： （1） 因而得到（2） 表示可静止区域边界到点距离.由此式可得到画出可静止区域边界（以下称为“封闭曲线Ⅱ”）的作图法是：将各力取倍，重作力三角形后画出圆Ⅰ，此时（2）式变为： （3） 因而沿延长L长度，即得点，描点即可画此封闭曲线Ⅱ. （1）式实际也是曲线Ⅱ的极坐标方程.若取为极点，x方向为极轴，则的方程为 （4） （3）式不过是（2）式的变形.在（显然总是如此）时，封闭曲线Ⅱ显然不是圆，而是复杂曲线. 当绳子松弛时，没有弹力，M质点静止区域由重力沿斜面分量和静摩擦力二力平衡来决定.具体情况将在下面分析. 封闭曲线Ⅱ的形状、Ⅱ和圆Ⅰ及点的关系，以及可静止区边界（考虑绳子松弛区后）的形状需要分以下三种情况讨论. 1）：即，或.这时点一定在圆Ⅰ内，如图3-78所示，因而圆Ⅰ也一定在封闭曲线Ⅱ内.以为圆心，L为半径画圆Ⅲ，圆Ⅲ内即是绳子松弛区，或称“无弹力区”.当时，圆Ⅲ与圆Ⅰ相交，如图3-78所示，但圆Ⅲ仍在封闭曲线Ⅱ内，仅表示可静止区中这一部分是由于二力平衡，而其他 Ⅱ内区域是由于三力平衡.M质点可静止区边界总是封闭曲线Ⅱ. 2）：即.这时定在圆Ⅰ上.力区圆Ⅲ，一定与圆Ⅰ及封闭曲线Ⅱ相交，如图3-79所示.在圆Ⅲ内重力沿斜面分量与静摩擦力二力平衡（临界平衡），因而M点可静止区边界扩大到Ⅱ+Ⅲ，即在圆Ⅲ与封闭曲线Ⅱ交点以上，此边界为圆Ⅲ；在以下，为前述封闭曲线Ⅱ. 3）：即.这时弹性力必须有向上分量才能平衡，因而曲线Ⅱ和圆Ⅰ均不包围点，如图3-80所示.如上述作圆Ⅲ表示无弹力区，类似在时，圆Ⅲ与圆Ⅰ相交.这时圆Ⅲ内无弹力，而另外二力不能平衡，所以仅表示封闭曲线Ⅱ之外的“二力不可平衡区”，以区别Ⅱ外其余部分的“三力不可平衡区”.M点可静止区边界仍为封闭曲线Ⅱ. 14．（2019·全国竞赛）如图所示，静止的圆锥体竖直放置，顶角为，质量为，且分布均匀的链条水平地套在圆锥体上，忽略链条与锥面之间的摩擦力，试求链条中的张力. 【答案】 【详解】由对称性易知，链条内部各处的张力应是处处相等的，而要求链条内部的张力，则需将链条内部的张力转化为外力，这就需要从链条中隔离出某一部分作为研究对象，在本题中，可取一小段为研究对象，即中学阶段常用的微元法. 如图所示， 设链条环半径为，在链条环中任取一小段为研究对象，设其质量为，受力为：圆锥面的支持力，其方向垂直于圆锥面，重力以及两端所受的张力．平衡时上述诸力在水平面的分力之和为零，在铅垂方向的分力之和也应为零．据此，列出相应的两个方程，即可解出. 如图所示， 圆锥面支持力在水平面内的分力为，它与小段两端所受张力应达到平衡．设对链条环中心的张角为，在水平方向的受力如图丙所示，则有 .                     ① 因很短，很小，故有 .                            ② 将②代入①，得.            ③ 又在铅垂方向亦应受力平衡，故有 .                           ④ 由以上两式得，             ⑤ 式中.                ⑥ 将⑥代入⑤，得. 故链条环中的张力为. 15．（2019·全国竞赛）如图所示，一人对一均匀细杆的一端施力，力的方向总与杆垂直，要将杆从地板上无滑动地慢慢抬到竖直位置，问：杆与地板之间的静摩擦因数至少应为多大？ 【答案】 【详解】假设杆与地板之间的静摩擦因数足够大,当杆被抬至与地板成任意角时均不发生滑动,杆受到作用力、重力、地板的支持力和摩擦力的作用,因满足共点力平衡条件，、地面对杆的全反力交于点与之间的夹角不能超过摩擦角，如图所示,考虑临界的情况,设细杆全长为,重心为，有      ． 化简可得． 因为定值, 所以,当,即时,最小,则有极大值,且．所以，杆与地板之间的静摩擦因数至少应为． 16．（2017·北京强基计划）密度为的液体在容器的下部，密度为的液体在容器的上部，两种液体互不溶合。高H、密度为的长方体固体静止在液体中，如图所示，试求图中两个高度量、。 【答案】 【详解】设长方体的横截面积为S，静止时固体所受的浮力与重力相平衡 又 联立解得 ， 17．（2007·全国竞赛）一根细线竖直悬挂一根长为L的均匀细木杆，置于水桶内水平面上方，如图所示。当水桶缓慢上提时，细木杆逐渐浸入水中，当木杆浸入水中超过一定深度L′时，木杆开始出现倾斜现象。求L′。已知木杆的密度为ρ，水的密度为ρ0。 【答案】 【详解】当木杆浸入水中后，除了受到重力G和绳的拉力T外，还受到浮力F的作用。三者的方向都是沿竖直方向的。当木杆很细，且无任何扰动时，上述三力是在同一直线上的。随着木杆浸入水中的深度的增加，浮力将逐渐增大，绳的拉力将随之减小，在任一位置都满足G=F＋T。直到浮力增大到等于木杆的量时，G=F，此时T=0，木杆将竖直地悬浮在水面上（一部分浸在水中）。 然而实际上微小的扰动随时都会发生，所以实际上我们会观察到，在木杆尚未达到悬浮状态（即浮力等于重力时）之前，就已开始发生倾斜现象，这是由于当有微小的扰动使杆发生微小的倾斜时，即由图中虚线所示的位置变为实线所示的位置时，对悬点A来说，将出现重力和浮力的力矩，而且两者的方向是相反的。设杆长为l，截面积为S，密度为，则重力对A端的力矩为 浮力的大小等于排开水的重量，浮力的作用点在排开水的重心处，即图中C′处（DB的中点）。设水的密度为，杆没在水中的长度为l′，则浮力对A端的力矩为 当没入较浅，MF<MG时，杆将重又回到平衡位置。当MF>MG时，杆将继续倾斜。因此，存在一个临界值，当没入深度大于此临界值时，杆将开始发生倾斜现象。此临界值可令MF=MG，而解得如下： 解此方程得 取合理值得 18．（2011·全国竞赛）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l． （1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）． （2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°．求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）． 【答案】（1）  （2） 【详解】（1）．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图： 为地面作用于杆的摩擦力，为地面对杆的支持力，、为杆作用于杆的摩擦力和支持力，、分别为墙对杆和的作用力，为重力.取杆和构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件有    （1）       （2） 以及对A点的力矩 即           （3） 式中待求.是过的竖直线与过的水平线的交点，为与的交点．由几何关系有                               （4） 取杆CD为研究对象，由平衡条件有                       （5）                       （6） 以及对点的力矩                     （7） 解以上各式可得                                       （8）        （9）                （10）                                           （11）                       （12）                        （13） CD杆平衡的必要条件为                                        （14） 由（12）、（13）、（14）式得                        （15） AB杆平衡的必要条件为                                    (16) 由（10）、（11）、（16）式得                     （17） 因此，使系统平衡，应满足的条件为（15）式和（17）式． （2）．将题给的数据代入（15）式可得                            (18) 将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得                                       (19) 因此，的取值范围为                             (20) 19．（2019·全国竞赛）如图甲所示，杆放在圆筒内，杆的端用铰链固定在筒壁与筒底的交界处，杆的点靠在筒的边缘上．两点位于通过圆筒轴的竖直平面内，杆与水平线所成的角度为．使杆沿筒的边缘移动到点，为．试问：摩擦系数最小为多少，杆在位置能保持平衡？ 【答案】 【详解】方法1  作用在杆上的力有：重力、点处铰链的支持力、点处的圆筒的支持力和摩擦力．杆平衡的条件是这些力的合力为零以及力矩的代数和为零．对于通过点竖直轴，铰链的支持力力矩和杆重力力矩都为零，则力和的合力一定通过杆的竖直平面．我们分析合力的水平分量，确定和的方向以及它们在水平面的投影值——和，坐标轴分别为从点指向圆心、圆的切线方向和竖直向上的方向上（如图乙所示）. 我们引入三个单位矢量，其方向分别沿杆、力和力．设与水平线成角．由于杆转动，杆所在竖直平面转动角．在图丙中，表示筒高，表示圆筒的半径．在中，；在中，．在中，. 因而. 用单位矢量和来表示. . 力垂直于杆并且与圆相切于点，由此可知，矢量垂直于矢量和矢量，即 .             ① 由此得到角和之间的关系为. 为了确定矢量的方向，考虑到它也垂直于矢量和矢量，经不太复杂的计算得到    ② 由①和②可以得到，； ， . 正如已指出的那样，力和力的合力在水平方向投影应位于杆的铅直平面内，即 . 摩擦系数的最小值由关系式确定，于是. 方法2  支持力应垂直于过点且与圆相切的切线和杆. 因为垂直于平面，所以垂直于切线． 又垂直于切线，所以支持力必在平面内． 如图丁所示，取的中点，连，则，取的中点，连． ，， 垂直于平面， 平面垂直于. 过作垂直于，交于点，过点作，则为支持力的方向． 因为杆的重力在平面内，由三力交汇原理知，处的全反力在平面内，即与的合力在内． ，  . 又平面垂直于平面， 在平面中时，满足. . 又，， ， 又， . 20．（2019·全国竞赛）如图所示，一光滑半球形容器，直径为，其边缘恰好与一光滑竖直的墙壁相切，现有一均匀直棒，其端靠在墙上，端与容器底相接触，当棒倾斜与水平成角时，棒恰好静止，求棒的长度． 【答案】 【详解】由于碗、墙壁都是光滑的，则处的受力如图所示，杆在三力的作用下处于平衡状态，这三力交汇于同一点. 设，则，. 在中，由正弦定理有， 整理得. 又， 所以. 21．（2019·全国竞赛）在水平桌面上放置一块正方形薄木板，在模板的正中点放置一个质量为的小木块，如图所示，先以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动角，再接着以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动同样的角度，在转动过程中木块在木板上没有滑动，则转动后木块受到的摩擦力大小为多少？ 【答案】 【详解】我们知道，当物体静止在斜面上时，将重力沿垂直于斜面方向与沿斜面向下的两个方向上分解，那么，物体受到的摩擦力等于重力沿斜面向下的分量．因此，只要我们能将重力分解到垂直于斜面与沿斜面两个方向上，就能轻易地求得摩擦力的大小了． 木板第一次转动后，木块的受力如图所示． 将重力分解为和，在第二次转动时，我们可以用和来替代进行转动． 由于木板第二次是绕与平行的边进行转动，这一转动效果与直接绕所在的轴线转动效果一样，所以，第二次转动后，仍在木板所在平面上，故它在垂直于木板方向的分量为零；而不再垂直于木板平面，将向垂直于平面方向与沿平面方向进行分解，得到在垂直于木板方向上的分力为，而在垂直于木板方向上的分力为，并且，的方向与的方向是垂直的，所以，经过两次转动后，木块的重力在沿斜面方向的大小是. 故木块最终所受的摩擦力的大小为. 五、填空题 22．（2019·全国竞赛）图中的为等边三角形，连接边、边的中点、，再连接、的中点、……如此继续下去，构成无限内接等边三角形系列．设所有线段的质量线密度相同，边的质量为，长度为，那么等边三角形系列的总质量为 ，系统质心与边的距离为 . 【答案】 【详解】依题意，等边三角形系列的总质量为 . 和的质量同为，两者的质心与的距离同为. ……各边的质量为、、、…… 各边的质心与边的距离为、、、…… 系统的质心与边的距离为 将大括号内各项中的第一项相加得： 将大括号内各项中的第二项相加得： 将大括号内各项中的第三项相加得： …… . 23．（2019·福建泉州竞赛）如图，半球型碗里放有质量分别为、的两个光滑球体A、B，两球心和碗球心O的连线、与水平方向夹角分别为、，取，则A球对碗的压力大小为 ；两球球心连线与水平方向的夹角大小为 。 【答案】 20N 0 【详解】［1］对AB整体受力分析有 正交分解有 解得 ［2］对A隔离受力分析有 正交分解有 解得 24．（2016·广东竞赛）如图所示，.甲、乙两只相同的均匀光滑小球，每只球重为G、半径为r，置于半径为R的圆柱形空罐内，r与R满足．则两球间C点的弹力NC= （用G、r、R表示），NC的大小 （填“大于”、“小于”或“等于”）球重G． 【答案】 大于 【详解】（1）上面的小球的受力如图所示： 由共点力的平衡条件可得：； 几何关系如图 由三角函数可知，由以上两式可得． （2）由此式，又因为小于1，所以大于球重G． 试卷第14页，共15页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$