精品解析：云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

长水教育集团2024~2025学年第一学期质量检测（11月） 高二年级数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的结果求解并验证即得. 【详解】,则,解得. 当满足题意； 当,不满足集合元素互异性； 故. 故选：A. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线方向向量的定义先求得直线的斜率，再求倾斜角即可. 【详解】由题设，则直线的斜率， 结合直线倾斜角的范围，易知直线的倾斜角为. 故选:A. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数图像性质比较与的大小关系即可. 【详解】根据题意，， ，， 所以. 故选：D 4. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的一般方程满足，列式运算得解. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 5. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面面积求出r，结合圆锥侧面积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r， 由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为，母线长为2r， 又轴截面面积为，故， 则该圆锥的表面积为， 故选：B 6. 已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由数量积的运算律可得，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由，得，即， 由已知得，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 7. 过点分别作两条直线与圆分别相切于A、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系结合二倍角公式计算即可. 【详解】因为，可得圆心，半径， 因为，则， 可得，， 故. 故选:C. 8. 在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意转化为过体对角线的平面与平面夹角的余弦值，利用向量坐标法求平面的法向量，即可求解. 【详解】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大， 所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为， 因为平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，同理平面， 所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量， ，，， ，，则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内的对应点位于直线上 D. 为方程的一个根 【答案】BCD 【解析】 【分析】先化简复数z，再逐项判断. 【详解】对于A，，故，其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确； 对于D，易得，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由空间向量加法结合图形可判断选项正误；B由A结合空间向量模长公式可判断选项正误；C验证是否为0可判断选项正误；D取BC中点为D，连接AD，判断是否为0，结合线面垂直的判定定理即可判断选项正误. 【详解】对于A，由图，，故A正确； 对于B，由A， ，故B正确； 对于C， ，则与BC不垂直，故C错误； 对于D，取BC中点为D，连接AD，则，又由图可得， 注意到, 则，又，平面， 则平面，又平面，则平面平面，故D正确. 故选：ABD 11. 若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆的一般方程与圆的标准方程之间的互化求出圆心和半径，利用点线距表示圆心到该直线的距离建立关于k的方程，解之即可求解. 【详解】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4， 由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2， 只需圆心到该直线的距离为2，即，解得， 则选项BC正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的分位数是______. 【答案】84 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可得出结论. 【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94， 因为，所以分位数为第5个数，即84分. 故答案为：84. 13. 过曲线上一点A作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，，若直线过原点，则其斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算法则结合两点斜率公式计算即可. 【详解】 不妨设，则，， 由题意可得，解得或， 经过检验不符合，故舍去， 故其斜率为. 故答案为：. 14. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得图象向左平移个单位长度后所对应解析式，后由可得a，后可得答案. 【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到图象对应解析式为， 若与曲线关于原点对称，可得，即 由于不恒等于0，所以，故． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线. （1）当为何值时，与平行，并求与的距离; （2）当为何值时，与垂直. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由两直线平行可利用系数构造方程求得结果，再求两平行线间的距离； （2）由两直线垂直可利用系数构造方程求得结果. 【小问1详解】 由直线与平行，则，解得， 所以此时直线， 所以与的距离为. 【小问2详解】 由直线与垂直，则，解得或. 16. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且. （1）若，求； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，得出边的关系后，由余弦定理求解； （2）由余弦定理及数量积的定义求得，再利用基本不等式求得的最大值，最后由面积公式得结论． 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 又，所以，， 从而. 【小问2详解】 由余弦定理可知，则， 又，故， 即，故，即， 从而， 当时取等号，即的面积的最大值为3. 17. 如图，在三棱柱中，平面，为线段上的一点． （1）求证:平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，由三棱柱性质可得平面平面， 又平面，故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助线面平行的性质定理推导即可得； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式可得，即可得其所成角的余弦值； （3）利用空间向量夹角公式可确定点位置，再结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，而， 故两两垂直， 故可建立如图所示的空间直角坐标系： 则， 连接，则， 由，故， 故直线与直线所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，，则， 设平面的法向量为， 有，令，则，， 即， 因为直线与平面所成角为， 所以， 解得，即，因为， 所以点到平面的距离为. 18. 已知圆的半径为3，圆心在直线：位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. （1）直接写出的反射光线所在直线的方程； （2）求圆的方程； （3）点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点A，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用光线的反射及点的对称求反射光线方程即可； （2）设圆心坐标，由直线与圆相切含参计算点线距离即可； （3）先确定E坐标，设，由切线长定理及锐角三角函数、二倍角公式得出， 再利用三角形面积公式计算参数a，从而得出，由两线垂直结合点斜式计算即可. 【小问1详解】 设的反射光线所在直线上任意点为， 则该点关于轴对称点在直线上， 所以的反射光线所在直线的方程为：. 【小问2详解】 设点，而圆与直线相切，且圆半径为3， 则，即， 整理得或， 又点在第一象限，即，因此，点， 所以圆的方程为. 【小问3详解】 由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点， 由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点A，并与轴交于点， 得点在点的右侧，设，，则， 连接，，， ，， ， 又， 整理得，解得，即点， 直线的斜率为， 由光的反射性质知，，则直线的斜率为， 直线的方程为，即. 19. 在以为原点的平面直角坐标系中：过点的直线与圆：交于，两点，圆：. （1）若，求的斜率； （2）若过点存在无穷多对互相垂直的直线和分别与和相交于，和，两点，和的斜率存在，且，求的值. 【答案】（1） （2）或2. 【解析】 【分析】（1）设，，设直线：，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （2）由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，求出的值. 【小问1详解】 设，，由题意设直线：， 联立， 得，所以得， ，解得. 【小问2详解】 由题意可得直线、的方程分别为：，， 即：， 将圆化为标准方程为：. 因为，故有：， 化简得：或， 因为过点存在无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或，故或2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长水教育集团2024~2025学年第一学期质量检测（11月） 高二年级数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 过点分别作两条直线与圆分别相切于A、两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内的对应点位于直线上 D. 为方程的一个根 10. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面平面 11. 若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的分位数是______. 13. 过曲线上一点A作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，，若直线过原点，则其斜率为______. 14. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线关于原点对称，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线. （1）当为何值时，与平行，并求与的距离; （2）当为何值时，与垂直. 16. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且. （1）若，求； （2）若，求的面积的最大值. 17. 如图，在三棱柱中，平面，为线段上的一点． （1）求证:平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 18. 已知圆的半径为3，圆心在直线：位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. （1）直接写出的反射光线所在直线的方程； （2）求圆的方程； （3）点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点A，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 19. 在以为原点的平面直角坐标系中：过点的直线与圆：交于，两点，圆：. （1）若，求的斜率； （2）若过点存在无穷多对互相垂直的直线和分别与和相交于，和，两点，和的斜率存在，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $