4.3 一元一次方程的应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版2024新教材）

4.3 一元一次方程的应用 【考点1 和、差、倍、分问题】 【考点2 行程问题】 【考点3 工程问题】 【考点4 顺水逆水问题】 【考点5 商品利润问题】 【考点6 比赛积分问题】 【考点7 配套问题】 【考点8 数字与日历问题】 【考点9 方案选择问题】 【考点10 分段计费问题】 【考点11 几何图形问题】 1.距离=速度·时间 2.工作量=工效×工时 工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量 3.顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程=逆水路程 4.售价=定价 ； 利润问题常用等量关系： 售价-进价=利润 【考点1 和、差、倍、分问题】 【典例1】植树节这一天，七年级（2）班的同学计划种植一批树苗，小康每小时可以种植5棵树苗，小英每小时可以种植4棵树苗，小康和小英两位同学同时种植树苗． (1)经过多长时间他俩一共可以种植27棵树苗？ (2)小英对小康说：“你种得太快了，你比我多种植了5棵树苗了．”请问小康此时种植了多少棵树苗？ 【变式1-1】某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 【变式1-2】某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？ 【变式1-3】列方程解应用题 某机械零件加工厂引进新工艺将生产线进行了升级，升级前的生产线由于机械老化等原因，每小时生产的机㭜零件数量比额定的数量少50个，生产线升级后每小时生产的机械零件数量比额定数量多130个，已知生产线升级前后每小时生产机械零件的数量之比为，求该机械加工厂每小时的额定生产数量是多少？ 【考点2 行程问题】 【典例2】小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走．下坡路每分钟走，上坡路每分钟走．则他从家里到学校需，从学校到家里需．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x，用方程表示上述数量关系，并解出方程． 【变式2-1】（行程问题）某人从山脚上山平均每小时行35千米，从山顶沿原路下山时平均每小时行40千米，往返一次共用7.5小时，山脚到山顶的距离是 千米． 【变式2-2】（列方程解应用题）小苏、小江家相距700千米且附近均设有火车站，一列慢车从小江家附近的火车站驶往小苏家附近的火车站，速度为80千米/小时，一列快车从小苏家附近的火车站驶往小江家附近的火车站，速度为120千米/小时，若两车同时出发． (1)多少小时后两车相遇？ (2)多少小时后两车相距100千米？ 【变式2-3】一列火车正在匀速行驶，它用的时间通过了一座的桥（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车完全在桥上（即整个车身都在桥上）的时间为，求这列火车的长度． 【考点3 工程问题】 【典例3】修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成．如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条公路共需要多少天完成？ 【变式3-1】甲、乙两个工程队修一段公路，如果由甲队单独完成，需要15天；如果由乙队单独完成，需要30天．现在由甲队单独做了3天后承办方接到通知需要加快工程进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这条路？（列方程解答） 【变式3-2】开州区交通局每年都会有计划地对全区公路进行部分维修，今年下半年交通局对郭家镇至郭家镇这段公路进行水泥路改沥青路翻修，由甲、乙两个工程队合作完成此项工程，已知甲单独做需要40天，乙单独做需要60天，现甲先单独做10天后，由甲、乙两队合作． (1)甲、乙合作多少天才能把该工程完成？ (2)已知甲队施工一天需付劳务费5万元，乙队施工一天需付劳务费3万元，如果全程都由甲、乙两队合作完成，那么该工程需付多少劳务费？ 【变式3-3】某中学有一个综合实践活动项目，如果让七年级学生单独工作，需要完成；如果让八年级学生单独工作，需要完成．如果让七、八年级学生一起工作，再由八年级学生单独完成剩余部分，还需要多少时间完成？ 【考点4 顺水逆水问题】 【典例4】一条河的岸边有A、B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？ 【变式4-1】一艘船在水上航行，水流速度是，船在静水中的速度是．若从A码头到B码头花了，回来时用了，则船在静水中的速度为多少？两地间的距离呢？ 【变式4-2】年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 【变式4-3】小王和同学计划周末去公园玩，在码头租一艘小艇，逆流而上，划行速度约为千米每小时．到地后沿原路返回，速度增加了，回到码头比去时少花了分钟．求、两地之间的路程． 【考点5 商品利润问题】 【典例5】“爱读书，读好书，善读书”正成为全民的追求，某书城老板看到了商机，准备购进甲、乙两类畅销书刊．第一次该书城购进1000本甲类书刊和500本乙类书刊共28000元，甲类书刊每本的进价比乙类书刊多4元．书城决定甲、乙两类书刊均按进价的1.5倍标价销售． (1)求甲、乙两类书刊每本的进价各是多少元？ (2)该书城第一次购进的甲、乙两类书刊很快售完，第二次以同样的价格购进了与上次同样数量的甲、乙两类书刊．一段时间后，甲类书刊销售缓慢，只卖出了400本，老板决定对剩余的甲类书刊打折出售，乙类书刊价格不变，最后全部售完总利润比第一次少赚3600元，求剩余的甲类书刊打了几折？ 【变式5-1】一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的6折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元．问： (1)每件服装的成本多少元？ (2)为保证的利润，最多能打几折？ 【变式5-2】某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ (2)若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？ 【变式5-3】2023 年成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B 两款大熊猫钥匙扣纪念品，进货价和销售价如表： 价格 类别 A 款纪念品 B 款纪念品 进货价（元/件） 15 20 销售价（元/件） 25 32 （注：利润=销售价-进货价） (1)网店用670 元购进 A、B两款大熊猫钥匙扣纪念品共38件，求两款大熊猫钥匙扣纪念品分别购进的件数； (2)本次购进的大熊猫钥匙扣纪念品售完后，该店获得多少利润？ 【考点6比赛积分问题】 【典例6】某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 88 C 64 D 10 10 40 (1)参赛者E说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由： (2)参赛者C答对了几道题？请你通过计算说明． 【变式6-1】某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 【变式6-2】下表是某次篮球联赛部分球队的积分表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 16 10 6 36 光明 16 9 7 34 远大 16 12 4 40 卫星 16 6 10 28 备注：积分=胜场积分+负场积分 (1)直接写出胜一场的积分和负一场的积分； (2)某队说他们的总积分为45分，你认为可能吗？为什么？ (3)若某队的负场总积分是胜场总积分的正整数倍，胜一场奖励每个球员5000元，负一场奖励．每个球员1000元，请问这支球队的每个球员所获奖金可能是多少元？ 【变式6-3】阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题： (1)由积分榜可知，胜一场得__________分，负一场得__________分； (2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛． 【考点7 配套问题】 【典例7】某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【变式7-1】用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？ 【变式7-2】某车间有名工人，负责加工某轿车甲、乙两种零件的生产任务，每个工人每天能加工个甲种零件或加工个乙种零件，每辆轿车需要4个甲种零件和3个乙种零件． 该车间每天生产的零件正好满足轿车的配套需求． (1)每天应安排多少工人加工甲种零件？ (2)每天生产该轿车总加工费为元． 已知加工一件甲种零件的费用比加工一件乙种零件的费用少2元，求加工一件乙种零件的费用为多少元？ 【考点8 数字与日历问题】 【典例8】观察下面三行数： ；① ；② ．③ (1)第①行数的第8个数为 ； (2)观察第②③行数与第①行数的关系，若第①行数第n数为x，则第②行的第n数为 ：第③行的第n数为 ； (3)取每行的第n个数，这三个数的和能否等于82？如果能，则求出这三个数；如果不能，请说明理由． 【变式8-1】如图的数阵是由全体正奇数排成． (1)计算十字框内的五个数的和，并说明与中间数27有什么关系？若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数的和还有这种规律吗？ (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【变式8-2】我们知道分数写为小数形式即；反过来，无限循环小数写为分数形式即为． 一般地，任何一个无限循环小数都可以写成一个分数的形式． 例：将化为分数形式． 设，由可知，，所以，解得． 于是得． 根据以上阅读材料，回答下列问题（以下计算结果都用最简分数表示）： 【理解】________． 【迁移】将化为分数形式，写出推导过程（温馨提示：，它的循环节有两位）． 【创新】若已知，则________． 【变式8-3】下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数． (1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为_________； (2)若被框住的4个数的和等于100，求出这4个数中最小的数是多少． 【考点9 方案选择问题】 【典例9】青山中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买一个篮球送一条跳绳； 乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球20个，跳绳x条． (1)若在甲网店购买，需付款　①元；若在乙网店购买，需付款②　元；（用含x的代数式表示） (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？ 【变式9-1】海曙中学需要采购一批办公桌，甲、乙两家器材公司都愿成为这批办公桌的供应商．经了解：两家公司生产的办公桌的质量和单价都相同，即每张办公桌400元，经洽谈协商：甲公司给出的优惠条件是所有办公桌按单价打九折，但校方需承担1000元的运费；乙公司的优恋条件是每张办公桌原价不变，公司承担运费，设海曙中学需要采购x张办公桌． (1)学校去甲公司购买办公桌所付的总费用为 元，学校去乙公司购买办公桌所付的总费用为 元（以上两空都用含x的代数式表示）； (2)学校计划购买20张办公桌，去哪家器材公司购买更合算？ (3)求学校购买的办公桌数量为多少时，去甲、乙两家器材公司购买所需费用相同． 【变式9-2】“元旦”假期，某学校的3位老师带领a名学生去冰雪大世界游玩，有两家旅行社可供选择，定价都是每人300元．其中甲旅行社的优惠方案是老师全价，学生七折优惠，乙旅行社的优惠方案是不分老师和学生一律八折优惠． (1)这3位老师和a名学生选择甲旅行社所需费用为_________元，选择乙旅行社所需费用为_________元；（用含a的式子表示） (2)若这3位老师带领10名学生去游玩，他们选择哪家旅行社比较划算？ (3)若他们选择甲、乙两家旅行社所付的费用一样，求这3位老师共带了几名学生去游玩？ 【变式9-3】某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【变式9-4】《夺冠》影片讲述了中国女排的奋斗历程和拼搏精神，学校为了进行爱国主义教育和励志教育，计划组织师生观看该影片，经了解，甲、乙两家影院的电影票单价都是元．经协调，两家影院提供了不同的优惠方式：甲影院：购买电影票的数量不超过张时，每张元．超过张时，超过的部分打八折；乙影院：不论买多少张电影票，每张均打九折． 已知观影的师生共有人，请解决下列问题： (1)在甲影院的购票花费可表示为______元；在乙影院的购票花费可表示为______元； (2)若观影教师和学生共人，选择哪家影院观影比较合算？请说明理由； (3)观影教师和学生为多少人时，在两家影院购票的费用一样？ 【考点10 分段计费问题】 【典例10】某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表： 每户每月用水量 水费/（元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？ 【变式10-1】某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【变式10-3】下表中有两种移动电话计费方式：其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费． 月使用费/元 主叫限定时间 主叫超时费/（元） 方式一 14 120 0.08 方式二 30 400 0.1 (1)如果每月主叫时间不超过，当主叫时间为多少时，两种方式收费相同？ (2)如果每月主叫时间超过，选择哪种方式更省钱？ 【考点11 几何图形问题】 【典例11】李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，请你用所学的知识解决以下问题．（篱笆的占地面积忽略不计） (1)如图，如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？ (2)如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？ 【变式11-1】如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么剩余纸片四边形的面积为多少? 【变式11-2】如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为，高为；容器乙的底面积为，高为．容器甲中盛满水，容器乙中没有水，现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水．    (1)容器甲中水位的高度每分钟下降______，容器乙中水位的高度每分钟上升______； (2)从容器甲开始注水起，经过多长时间，两个容器中水位的高度相差? 【变式11-3】某实践小组设计宣传牌： 如图1是长方形宣传牌，长，宽，中间可以用来设计的部分是长方形，且．四周空白部分的宽度相等，设四周宽度为； 如图2，为了美观，将长方形分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等； 如图3，每个栏目划出8个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为． (1)______，______（用含的代数式表示）； (2)求出图1四周宽度的值； (3)求每个栏目的水平宽度； (4)求栏目与栏目之间中缝的间距． 一、单选题 1．三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 2．小浩和天天从相距的两地同时相向而行，小浩每小时走，后两人相遇．设天天的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．一件衣服以原件的出售是30元，则原价是（   ） A．12元 B．75元 C．57元 D．100元 4．用一根24厘米长的铁丝围成一个直角三角形，若使三条边长的比是，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D．以上都有可能 5．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．98 C．126 D．161 6．某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（   ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了60元 D．不赚不赔 7．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（   ） A．5道 B．6道 C．7道 D．8道 8．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下列出的方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方、在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 10．一快递员需要在规定的时间内骑摩托车把快递送到某地．若每小时行驶，就早到；若每小时行驶，就会迟到．设快递员所要骑行的路程为，则可列方程为 ． 11．一份试题由50道选择题组成，每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，小亮在这次考试中得了102分，他答对了 道题． 12．足球比赛的计分方法为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．一个队共踢了14场比赛，负5场，得了19分．设该队共平了x场，则可列方程为 ． 13．一项工作，甲独做需天，乙独做需天，如果两人合做天后，余下的工作再由甲独做 天完成． 14．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本．则这个班有 名学生． 三、解答题 15．小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 16．下列三行数： 第一行：，2，，8，… 第二行：0，3，，9，… 第三行：，4，，16，… (1)直接写出每一行的第7个数________，________，________； (2)在第二行中，存在三个连续的数的和为99，这三个数分别是________，________，________； (3)设x，y，z分别为每一行的第10个数，求的值． 17．小逸在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点．然后设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点沿数轴向左移动个单位长度，同时点沿数轴向右移动个单位长度．例如，第次按键后，屏幕显示点，的位置如图所示． (1)第次按键后，点表示的数是________，点表示的数是________； (2)在第几次按键后，点与原点之间的距离为？ (3)在第几次按键后，点和点之间的距离是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 一元一次方程的应用 【考点1 和、差、倍、分问题】 【考点2 行程问题】 【考点3 工程问题】 【考点4 顺水逆水问题】 【考点5 商品利润问题】 【考点6 比赛积分问题】 【考点7 配套问题】 【考点8 数字与日历问题】 【考点9 方案选择问题】 【考点10 分段计费问题】 【考点11 几何图形问题】 1.距离=速度·时间 2.工作量=工效×工时 工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量 3.顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程=逆水路程 4.售价=定价 ； 利润问题常用等量关系： 售价-进价=利润 【考点1 和、差、倍、分问题】 【典例1】植树节这一天，七年级（2）班的同学计划种植一批树苗，小康每小时可以种植5棵树苗，小英每小时可以种植4棵树苗，小康和小英两位同学同时种植树苗． (1)经过多长时间他俩一共可以种植27棵树苗？ (2)小英对小康说：“你种得太快了，你比我多种植了5棵树苗了．”请问小康此时种植了多少棵树苗？ 【答案】(1)经过3小时他俩一共可以种植27棵树苗 (2)小康此时种植了25棵树苗 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解决问题的关键． （1）设小时他俩一共可以种植27棵树苗，根据两人的工作总量是种植27棵树苗，列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设小英种植了棵树苗，则小康种植了棵树苗，根据两人的工作时间相同，列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设小时他俩一共可以种植27棵树苗， 由题意得：， 解得：3， 答：经过3小时他俩一共可以种植27棵树苗； （2）设小英种植了棵树苗，则小康种植了棵树苗， 由题意得：， 解得：， 则， 答：小康此时种植了25棵树苗． 【变式1-1】某校开展“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组．在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半．请问宣传组原有多少人？ 【答案】宣传组原有38人． 【分析】本题考查一元一次方程得应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 设宣传组原有x人，根据调完后宣传组的人数是劳动组人数的一半，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设宣传组原有x人， 由题意，得：， 解得：． 答：宣传组原有38人． 【变式1-2】某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？ 【答案】敬老院一共有36位老人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设敬老院一共有x位老人，根据“如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋”，结合购买的中老年奶粉袋数不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设敬老院一共有x位老人， 根据题意得：， 解得：． 答：敬老院一共有36位老人． 【变式1-3】列方程解应用题 某机械零件加工厂引进新工艺将生产线进行了升级，升级前的生产线由于机械老化等原因，每小时生产的机㭜零件数量比额定的数量少50个，生产线升级后每小时生产的机械零件数量比额定数量多130个，已知生产线升级前后每小时生产机械零件的数量之比为，求该机械加工厂每小时的额定生产数量是多少？ 【答案】该机械加工厂每小时的额定生产数量是185个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该机械加工厂每小时的额定生产数量是x个，则升级前每小时的生产数量为个，升级后每小时的生产数量为个，再根据生产线升级前后每小时生产机械零件的数量之比为，列出方程求解即可． 【详解】解：设该机械加工厂每小时的额定生产数量是x个，则升级前每小时的生产数量为个，升级后每小时的生产数量为个， 由题意得，， 解得， 答：该机械加工厂每小时的额定生产数量是185个． 【考点2 行程问题】 【典例2】小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走．下坡路每分钟走，上坡路每分钟走．则他从家里到学校需，从学校到家里需．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x，用方程表示上述数量关系，并解出方程． 【答案】平路为300米，下坡路为400米 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为米，根据时间=路程÷速度结合小华从学校到家里需，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为米，根据题意，得 解得：， ∴（米） 答：从小华家到学校的平路为300米，下坡路为400米． 【变式2-1】（行程问题）某人从山脚上山平均每小时行35千米，从山顶沿原路下山时平均每小时行40千米，往返一次共用7.5小时，山脚到山顶的距离是 千米． 【答案】140 【分析】本题设出路程，根据时间路程速度，表示出时间，再找出等量关系列出方程求解． 设山脚到山顶的距离是千米，上山用的时间就是小时，下山用的时间就是小时，上山和下山的时间和就是7.5小时，由此列出方程求解． 【详解】解：设山脚到山顶的距离是千米，由题意得： ， ， ， ； 答：山脚到山顶的距离是140千米． 故答案是：140 【变式2-2】（列方程解应用题）小苏、小江家相距700千米且附近均设有火车站，一列慢车从小江家附近的火车站驶往小苏家附近的火车站，速度为80千米/小时，一列快车从小苏家附近的火车站驶往小江家附近的火车站，速度为120千米/小时，若两车同时出发． (1)多少小时后两车相遇？ (2)多少小时后两车相距100千米？ 【答案】(1)小时后两车相遇 (2)3小时或4小时后两车相距100千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找到题目的等量关系，列出方程． （1）设x小时后两车相遇，则根据快车和慢车行驶的路程等于700千米，列出方程，解方程即可得到答案； （2）设y小时后两车相距100千米，分相遇前和相遇后两种情况讨论，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设x小时后两车相遇，根据题意得： 解得：， 答：小时后两车相遇； （2）解：设y小时后两车相距100千米，根据题意， 相遇前两车相距100千米：， 解得：； 相遇后两车相距100千米：， 解得：； 答：3小时或4小时后两车相距100千米． 【变式2-3】一列火车正在匀速行驶，它用的时间通过了一座的桥（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车完全在桥上（即整个车身都在桥上）的时间为，求这列火车的长度． 【答案】这列火车的长度为160米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这列火车的长度为x米，根据速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这列火车的长度为x米， 依题意得： ． 解得：． 答：这列火车的长度为160米． 【考点3 工程问题】 【典例3】修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成．如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条公路共需要多少天完成？ 【答案】修好这条公路一共需要75天完成． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出方程成为解题的关键． 由题意可知甲、乙两工程队的工作效率分别为，设修好这条公路共需要y天，根据工作总量是单位“1”列出方程即可求解． 【详解】解：设修好这条公路共需要y天， 由题意可得：，解得：． 答：修好这条公路一共需要75天完成． 【变式3-1】甲、乙两个工程队修一段公路，如果由甲队单独完成，需要15天；如果由乙队单独完成，需要30天．现在由甲队单独做了3天后承办方接到通知需要加快工程进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这条路？（列方程解答） 【答案】甲乙两队后续需要合作8天才能修完这条路 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列出方程是解答本题的关键．设甲乙两队后续需要合作x天才能修完这条路根据甲队单独做了3天后，甲乙两队后续需要合作x天才能修完这条路列方程求解即可． 【详解】解：甲乙两队后续需要合作x天才能修完这条路，      根据题意，得．      解这个方程，得．      答：甲乙两队后续需要合作8天才能修完这条路． 【变式3-2】开州区交通局每年都会有计划地对全区公路进行部分维修，今年下半年交通局对郭家镇至郭家镇这段公路进行水泥路改沥青路翻修，由甲、乙两个工程队合作完成此项工程，已知甲单独做需要40天，乙单独做需要60天，现甲先单独做10天后，由甲、乙两队合作． (1)甲、乙合作多少天才能把该工程完成？ (2)已知甲队施工一天需付劳务费5万元，乙队施工一天需付劳务费3万元，如果全程都由甲、乙两队合作完成，那么该工程需付多少劳务费？ 【答案】(1)甲、乙合作18天后完成该工程 (2)甲乙两队全程合作完成该工程需要192万元劳务费 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）根据“甲、乙的工作量的和”列方程求解； （2）先求出合作的时间，再求出劳务费． 【详解】（1）设甲、乙合作天才能把该工程完成， 则：， 解得：， 答：甲、乙合作18天才能把该工程完成； （2）设全程都由甲、乙两队合作需要天完成， 则， 解得：， 则：（万元）， 答：该工程需付192万元劳务费． 【变式3-3】某中学有一个综合实践活动项目，如果让七年级学生单独工作，需要完成；如果让八年级学生单独工作，需要完成．如果让七、八年级学生一起工作，再由八年级学生单独完成剩余部分，还需要多少时间完成？ 【答案】还需要3小时分钟完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设由八年级学生单独完成剩余部分，还需要完成，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设由八年级学生单独完成剩余部分，还需要完成，依题意，得 解得：小时3小时分钟 答：还需要3小时分钟完成 【考点4 顺水逆水问题】 【典例4】一条河的岸边有A、B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？ 【答案】乙在静水中的划船速度为每小时10千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关． 设乙在静水中的划船速度为每小时x千米，根据相向时，两船路程和等于A、B两地距离， 同向时，两船路程差等于A、B两地距离，列出方程即可解答． 【详解】解：设乙在静水中的划船速度为每小时x千米， ， 解得：， 答：乙在静水中的划船速度为每小时10千米． 【变式4-1】一艘船在水上航行，水流速度是，船在静水中的速度是．若从A码头到B码头花了，回来时用了，则船在静水中的速度为多少？两地间的距离呢？ 【答案】船在静水中的速度为，两地间的距离为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握船顺水的速度为静水速度加水流速度，逆水时的速度为静水速度减水流速度是解题的关键． 由船在静水中的速度是．则船顺水的速度为，逆水时的速度为，根据两地间的距离相等列方程求解即可． 【详解】解：船在静水中的速度是．则船顺水的速度为，逆水时的速度为，根据题意，得 解得：， 两地间的距离为：， 答：船在静水中的速度为，两地间的距离为． 【变式4-2】年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 【答案】无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． 【分析】此题考查一元一次方程的应用，设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时，列出关于的一元一次方程，再解方程即可，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】解：设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时， 由题意得，， 解得：， 答：无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． 【变式4-3】小王和同学计划周末去公园玩，在码头租一艘小艇，逆流而上，划行速度约为千米每小时．到地后沿原路返回，速度增加了，回到码头比去时少花了分钟．求、两地之间的路程． 【答案】、两地之间的路程为千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设、两地之间的路程为千米，根据等量关系式：回到码头比去时少花了分钟列出方程，解方程即可． 【详解】解：设、两地之间的路程为千米， 依题意得：， 解得：＝ 答：、两地之间的路程为千米． 【考点5 商品利润问题】 【典例5】“爱读书，读好书，善读书”正成为全民的追求，某书城老板看到了商机，准备购进甲、乙两类畅销书刊．第一次该书城购进1000本甲类书刊和500本乙类书刊共28000元，甲类书刊每本的进价比乙类书刊多4元．书城决定甲、乙两类书刊均按进价的1.5倍标价销售． (1)求甲、乙两类书刊每本的进价各是多少元？ (2)该书城第一次购进的甲、乙两类书刊很快售完，第二次以同样的价格购进了与上次同样数量的甲、乙两类书刊．一段时间后，甲类书刊销售缓慢，只卖出了400本，老板决定对剩余的甲类书刊打折出售，乙类书刊价格不变，最后全部售完总利润比第一次少赚3600元，求剩余的甲类书刊打了几折？ 【答案】(1)甲类书刊每本的进价是20元，乙类书刊每本的进价是16元 (2)剩余的甲类书刊打了八折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和找等量关系，找出等量关系，列方程求解是解题的关键． （1）根据第一次该书城购进1000本甲类书刊和500本乙类书刊共28000元，列方程即可求解． （2）设剩余的甲类书刊打了a折，求出第一次的总利润，根据全部售完总利润比第一次少赚3600元列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设乙类书刊每本的进价为x元，则甲类书刊每本的进价为元， 由题意得：， 解得：． ∴（元）． 答：甲类书刊每本的进价是20元，乙类书刊每本的进价是16元． （2）甲类书刊每本的利润为（元）， 乙类书刊每本的利润为（元）， 第一次的总利润为（元）， 设剩余的甲类书刊打了a折，由题意得： ． 解得：． 答：剩余的甲类书刊打了八折． 【变式5-1】一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的6折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元．问： (1)每件服装的成本多少元？ (2)为保证的利润，最多能打几折？ 【答案】(1)每件服装的成本是200元 (2)最多能打7折 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设每件服装的标价是元，根据成本相同，列出方程进行求解即可； （2）设能打折，根据折扣价减去成本等于利润，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价为元，根据题意，得 解得 答：每件服装的成本是200元． （2）解：设能打折，根据题意，得 解得； 答：最多能打7折． 【变式5-2】某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ (2)若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？ 【答案】(1)20人生产支架，25人生产脚踏板，每天生产1200套太空漫步器 (2)八折 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设分配x人生产架子，则分配人生产脚踏板，根据每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板且每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成列出方程求解即可； （2）设每套太空慢步器是按原售价的m折销售的，根据利润标价折扣进价列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设分配x人生产架子，则分配人生产脚踏板， 由题意得，， 解得， ∴，， 答：分配20人生产支架，25人生产脚踏板，每天生产1200套太空漫步器； （2）解：设每套太空慢步器是按原售价的m折销售的， 由题意得，， 解得， 答：每套太空慢步器是按原售价的八折销售的． 【变式5-3】2023 年成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B 两款大熊猫钥匙扣纪念品，进货价和销售价如表： 价格 类别 A 款纪念品 B 款纪念品 进货价（元/件） 15 20 销售价（元/件） 25 32 （注：利润=销售价-进货价） (1)网店用670 元购进 A、B两款大熊猫钥匙扣纪念品共38件，求两款大熊猫钥匙扣纪念品分别购进的件数； (2)本次购进的大熊猫钥匙扣纪念品售完后，该店获得多少利润？ 【答案】(1)网店购进18件款大熊猫钥匙扣纪念品，20件款大熊猫钥匙扣纪念品； (2)本次购进的大熊猫钥匙扣纪念品售完后，该店获得420元利润． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设网店购进件款大熊猫钥匙扣纪念品，则购进件款大熊猫钥匙扣纪念品，利用进货总价进货单价进货数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出购进款大熊猫钥匙扣纪念品的件数，再将其代入中，即可求出购进款大熊猫钥匙扣纪念品的件数； （2）利用总利润每件的销售利润销售数量（购进数量），即可求出结论． 【详解】（1）设网店购进件款大熊猫钥匙扣纪念品，则购进件款大熊猫钥匙扣纪念品， 根据题意得：， 解得：， （件． 答：网店购进18件款大熊猫钥匙扣纪念品，20件款大熊猫钥匙扣纪念品； （2）根据题意得： （元． 答：本次购进的大熊猫钥匙扣纪念品售完后，该店获得420元利润． 【考点6比赛积分问题】 【典例6】某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 88 C 64 D 10 10 40 (1)参赛者E说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由： (2)参赛者C答对了几道题？请你通过计算说明． 【答案】(1)不可能，详见解析 (2)14 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得5分、答错一道扣1分成为解答本题的关键． （1）由参赛者A可得答对1题得5分，设答错1题扣x分，，然后根据题意列方程求解即可； （2）根据共作答20道，可补全参赛者B、D；设参赛者C答对y题，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）不可能， ∵参赛者A答对20题答错0题得100分， ∴答对1题得5分， 设答错1题扣x分， 由参赛者B的得分可得，． 解得， ∴答错1题扣1分 ∴参赛者E说他错了10个题，不可能得50分； （2）∵共有20题，参赛者B答错2题， ∴答对18题， ∵参赛者D答对10题， ∴答错10题， 设参赛者C答对y题， 由题意得，， 解得． 故参赛者C答对14题． 【变式6-1】某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 【答案】胜了5场 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场，根据胜一场得2分，平一场得1分，共得13分，列出方程求解即可． 【详解】解：设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场， 根据题意，得 解这个方程，得． 答：此次比赛中勇士队胜了5场． 【变式6-2】下表是某次篮球联赛部分球队的积分表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 16 10 6 36 光明 16 9 7 34 远大 16 12 4 40 卫星 16 6 10 28 备注：积分=胜场积分+负场积分 (1)直接写出胜一场的积分和负一场的积分； (2)某队说他们的总积分为45分，你认为可能吗？为什么？ (3)若某队的负场总积分是胜场总积分的正整数倍，胜一场奖励每个球员5000元，负一场奖励．每个球员1000元，请问这支球队的每个球员所获奖金可能是多少元？ 【答案】(1)3，1 (2)得分不可能为45分，理由见解析 (3)每个球员奖励的金额可能有32000元或20000元 【分析】本题考查了一元一次方程在比赛问题中的应用 （1）设胜一场积x分，则负一场积分，依照光明队的胜负场次及得分情况可列出一元一次方程，求解即可； （2）设胜场数是x，负场数是，结合（1）中结论，根据胜场总积分等于45分，列一元一次方程求解判断即可； （3）设胜场，负场，负场总积分是胜场总积分的倍，列方程，解出m，即可得答案． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，则负一场积分， 依题意得：， 解得：， 此时，， ∴胜一场积2分，负一场积1分． （2）解：设胜场，则负场， ，解得． 为非负整数， ，不符合题意． 得分不可能为45分． （3）解：设胜场，负场，负场总积分是胜场总积分的倍， 则， ∴， 均为正整数， 当时，， 此时球员的奖金为32000元； 当时，， 此时球员的奖金为20000元． 答：每个球员奖励的金额可能有32000元或20000元． 【变式6-3】阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，如图是此次拔河比赛积分榜的部分信息，请解决下列问题： (1)由积分榜可知，胜一场得__________分，负一场得__________分； (2)已知积分榜中4班的积分是24分，求4班胜了几场比赛． 【答案】(1)3，1 (2)4班胜了7场比赛 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用： （1）先由6班的胜和负场情况，得出负一场得1分，接着由5班的胜和负场情况，胜一场得3分，即可作答． （2）设4班胜了场比赛，根据场数10，积分24分，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，负一场得分：（分）； 胜一场得分：（分）； 故答案为：3，1； （2）解：设4班胜了场比赛，则负了场比赛， 解得 答：4班胜了7场比赛 【考点7 配套问题】 【典例7】某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 【变式7-1】用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？ 【答案】用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键 设用x张铁皮制盒身，制盒底的铁皮数是张，利用盒底的数量是盒身数量的2倍列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张铁皮制盒身，则制盒底的铁皮数是张， 由题意可得：，解得：， ∴． 答：用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套． 【变式7-2】某车间有名工人，负责加工某轿车甲、乙两种零件的生产任务，每个工人每天能加工个甲种零件或加工个乙种零件，每辆轿车需要4个甲种零件和3个乙种零件． 该车间每天生产的零件正好满足轿车的配套需求． (1)每天应安排多少工人加工甲种零件？ (2)每天生产该轿车总加工费为元． 已知加工一件甲种零件的费用比加工一件乙种零件的费用少2元，求加工一件乙种零件的费用为多少元？ 【答案】(1)人 (2)元 【分析】本题主要考查一元一次方程解决生产配套问题，找准数量间的等量关系是解题关键． （1）设有x个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，根据配套数量列方程求解即可得到答案； （2）设加工一件乙种零件的费用为元，则加工一件甲种零件的费用为元，根据每天生产该轿车总加工费为元列方程计算求解． 【详解】（1）解：设有x人加工甲种零件，则有人加工乙种零件，由题意可得， ， 解得：， 答：应安排人加工甲种零件； （2）解：由（1）可得每天安排人加工甲种零件，人生产乙种零件， 设加工一件乙种零件的费用为元，则加工一件甲种零件的费用为元， 由题意可得，， 解得：， 答：一件乙种零件的费用为元． 【考点8 数字与日历问题】 【典例8】观察下面三行数： ；① ；② ．③ (1)第①行数的第8个数为 ； (2)观察第②③行数与第①行数的关系，若第①行数第n数为x，则第②行的第n数为 ：第③行的第n数为 ； (3)取每行的第n个数，这三个数的和能否等于82？如果能，则求出这三个数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)256 (2)； (3)不能，见解析 【分析】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键． （1）第①行有理数是按照的正整数次幂排列的； （2）第②行为第①行的数加2；第③行数中的每一个数是第①行数中对应位置的数的一半，且结合第①行数第n数为x，分别写出第个数的表达式； （3）根据各行的表达式求出第n个数，然后相加等于82，解出n的值，再判定，即可得解． 【详解】（1）解：第①行的有理数分别是，，，，， 故第①行数的第8个数是． 故答案为：256； （2）解：∵第①行的有理数分别是，，，，， ∴第①行的第个数为， ∵将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，结果是每个数都是2， ∴第②行的第个数为， ∵第①行数第n数为x， 则第②行的第n数为： ∵．③ ∵将第③行数中的每一个数是第①行数中对应位置的数的一半， ∴第③的第个数为; （3）解：不能，理由如下： 由（2）知，设第①行数第n数为x 则第②行的第n数为：第③的第个数为 ∵假设这三个数的和能等于82 ∴ 解得 观察①的； 故这三个数的和不能等于82． 【变式8-1】如图的数阵是由全体正奇数排成． (1)计算十字框内的五个数的和，并说明与中间数27有什么关系？若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数的和还有这种规律吗？ (2)十字框中五个数之和能等于2024吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)这五个数的和还是中间这个数的5倍 (2)不存在十字框中五个数之和等于2024，理由见解析 【分析】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用．读懂题意，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1）求出五个数的和，进而得到规律，设十字架框内中间的数为x，表示出其他数，求和后，即可得出结论； （2）设十字架框内中间的数为y，根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以十字框内的五个数的和是中间数27的5倍； 设十字架框内中间的数为x，则其余的4个数分别为，，，， 根据题意，得， ∴这五个数的和还是中间这个数的5倍； （2）设十字架框内中间的数为y，其余的4个数分别为，，，， 根据题意，得， 解得：， ∵是小数，不是整数， ∴不存在十字框中五个数之和等于2024． 【变式8-2】我们知道分数写为小数形式即；反过来，无限循环小数写为分数形式即为． 一般地，任何一个无限循环小数都可以写成一个分数的形式． 例：将化为分数形式． 设，由可知，，所以，解得． 于是得． 根据以上阅读材料，回答下列问题（以下计算结果都用最简分数表示）： 【理解】________． 【迁移】将化为分数形式，写出推导过程（温馨提示：，它的循环节有两位）． 【创新】若已知，则________． 【答案】【理解】；【迁移】；【创新】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用、数字类规律，根据题意列出方程是解题的关键． 【理解】设，得到，解方程即可； 【迁移】设，得到，解方程即可； 【创新】设，得到，设，可得，解得，则，即可求出答案． 【详解】【理解】设， ∵，， ∴，解得． 即． 故答案为： 【迁移】设， ∵，， ∴，解得． 即． 【创新】设，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数． (1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为_________； (2)若被框住的4个数的和等于100，求出这4个数中最小的数是多少． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的应用： （1）根据日历的特点表示出其他3个数，然后求和即可得到答案； （2）根据（1）所求结合题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，其他三个数分别为， ∴这4个数的和为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得 ∴，即此时符合日历的特点， ∴这4个数中最小的数是16． 【考点9 方案选择问题】 【典例9】青山中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买一个篮球送一条跳绳； 乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球20个，跳绳x条． (1)若在甲网店购买，需付款　①元；若在乙网店购买，需付款②　元；（用含x的代数式表示） (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？ 【答案】(1)①；② (2)在甲网店购买较为合算 (3)购买跳绳为104条时，两家网店付款相同 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）把代入两个代数式计算，得出结论； （3）根据在两家网店付款相同列方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意得： 在甲网店购买需付款：； 在乙网店购买需付款：； 故答案为：；； （2）解：当时， 若在甲网店购买，需付款， 若在乙网店购买，需付款：． 此时，在甲网店购买较为合算． （3）解：由． 解得：． 即购买跳绳为104条时，两家网店付款相同． 【变式9-1】海曙中学需要采购一批办公桌，甲、乙两家器材公司都愿成为这批办公桌的供应商．经了解：两家公司生产的办公桌的质量和单价都相同，即每张办公桌400元，经洽谈协商：甲公司给出的优惠条件是所有办公桌按单价打九折，但校方需承担1000元的运费；乙公司的优恋条件是每张办公桌原价不变，公司承担运费，设海曙中学需要采购x张办公桌． (1)学校去甲公司购买办公桌所付的总费用为 元，学校去乙公司购买办公桌所付的总费用为 元（以上两空都用含x的代数式表示）； (2)学校计划购买20张办公桌，去哪家器材公司购买更合算？ (3)求学校购买的办公桌数量为多少时，去甲、乙两家器材公司购买所需费用相同． 【答案】(1)； (2)学校计划购买20张办公桌，去乙器材公司购买更合算 (3)学校购买的办公桌数量为25时，去甲、乙两家器材公司购买所需费用相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，理解题意找到相等关系是解题的关键． （1）根据协商方案列代数式求解； （2）把分别代入（1）中的代数式，求解，再比较大小． （3）根据“甲、乙两家器材公司购买所需费用相同”列方程求解． 【详解】（1）解：学校去甲公司购买办公桌所付的总费用为：元， 学校去乙公司购买办公桌所付的总费用为：（元， 故答案为：，； （2）解：解：当时， 甲公司：，          乙公司：，       ， ∴选择乙公司更合算            答：学校计划购买20张办公桌，去乙器材公司购买更合算； （3）解：根据题意：， 解得：， 答：学校购买的办公桌数量为25时，去甲、乙两家器材公司购买所需费用相同． 【变式9-2】“元旦”假期，某学校的3位老师带领a名学生去冰雪大世界游玩，有两家旅行社可供选择，定价都是每人300元．其中甲旅行社的优惠方案是老师全价，学生七折优惠，乙旅行社的优惠方案是不分老师和学生一律八折优惠． (1)这3位老师和a名学生选择甲旅行社所需费用为_________元，选择乙旅行社所需费用为_________元；（用含a的式子表示） (2)若这3位老师带领10名学生去游玩，他们选择哪家旅行社比较划算？ (3)若他们选择甲、乙两家旅行社所付的费用一样，求这3位老师共带了几名学生去游玩？ 【答案】(1)甲旅行社的总费用元，乙旅行社的总费用为元 (2)选择甲旅行社更划算 (3)位老师带了名学生 【分析】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出代数式和方程． （1）分别根据甲、乙旅行社的收费标准列代数式即可； （2）分别将代入（1）中的代数式进行计算即可得到答案； （3）当时，两家旅行社付的钱是一样的，解方程即可． 【详解】（1）解：∵甲旅行社的收费标准为老师全价，学生七折优惠， ∴这位老师和名学生在甲旅行社的总费用为元； ∵乙旅行社不分老师和学生一律八折优惠， ∴这位老师和名学生在乙旅行社的总费用为元； （2）当时， 甲旅行社的费用为：元， 乙旅行社的费用为：元 ， 故选择甲旅行社更划算； （3）解：当时，两家旅行社付的钱是一样的， 解方程得， ∴这位老师带了名学生． 【变式9-3】某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)租45座客车5辆 (2)租60座客车4辆合算 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． （1）根据游客总数不变，列方程求解即可； （2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍． 【详解】（1）解：设原计划租客车辆． 根据题意列方程得：， 解得：． 答：原计划租45座客车5辆； （2）解：租45座客车：（辆），所以需租6辆， 租金为（元）， 租60座客车：（辆），所以需租4辆， 租金为（元）． ． 答：租用4辆60座客车更合算． 【变式9-4】《夺冠》影片讲述了中国女排的奋斗历程和拼搏精神，学校为了进行爱国主义教育和励志教育，计划组织师生观看该影片，经了解，甲、乙两家影院的电影票单价都是元．经协调，两家影院提供了不同的优惠方式：甲影院：购买电影票的数量不超过张时，每张元．超过张时，超过的部分打八折；乙影院：不论买多少张电影票，每张均打九折． 已知观影的师生共有人，请解决下列问题： (1)在甲影院的购票花费可表示为______元；在乙影院的购票花费可表示为______元； (2)若观影教师和学生共人，选择哪家影院观影比较合算？请说明理由； (3)观影教师和学生为多少人时，在两家影院购票的费用一样？ 【答案】(1)， (2)选择甲影院观影比较合算，理由见解析 (3)观影教师和学生为人时，在两家影院购票的费用一样 【分析】本题考查一元一次方程的应用，以及列代数式； （1）根据题意列出代数式即可； （2）把代入求出代数式的值进行比较解题； （3）列出方程，解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）在甲影院的购票花费为元； 在乙影院的购票花费为元 故答案为：，． （2）选择甲影院观影比较合算；理由：把代入，可得： 甲影院所需费用为(元)． 乙影院所需费用为：(元)． 因为，所以选择甲影院观影比较合算． （3）由题意得．解得． 答：观影教师和学生为200人时，在两家影院购票的费用一样． 【考点10 分段计费问题】 【典例10】某县政府今年对居民用水实行分层收费如下表： 每户每月用水量 水费/（元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小华家今年1月份用水量是20立方米，则他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小华家今年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水量在22~30立方米之间的收费标准a元/立方米． (3)在（2）的条件下，若小华家今年8月份用水量增大，共缴费97.6元，则他家8月份用水量是多少立方米？ 【答案】(1)46 (2)用水在立方米之间的收费标准3元立方米； (3)他家8月份的月水量是35立方米． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为20立方米不超过22立方米，所以直接按2.3元计算即可； （2）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出的值； （3）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：46； （2）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准3元立方米； （3）解：设他家8月份的月水量是立方米． ， ， 可列方程：， 解得． 答：他家8月份的月水量是35立方米． 【变式10-1】某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【答案】(1) (2)300 (3)800 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． （1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：． （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度， ∴老李家8月份用电量一定超过400度， 设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 【变式10-3】下表中有两种移动电话计费方式：其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费． 月使用费/元 主叫限定时间 主叫超时费/（元） 方式一 14 120 0.08 方式二 30 400 0.1 (1)如果每月主叫时间不超过，当主叫时间为多少时，两种方式收费相同？ (2)如果每月主叫时间超过，选择哪种方式更省钱？ 【答案】(1) (2)当时，选方式二省钱；当时，两种方式费用相同，当时，选方式一省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设每月主叫时间分钟，收费相同，根据计费方式列出方程，解方程即可得到答案； （2）设每月主叫时间分钟，每月主叫时间超过，收费相同，列出方程求出的值，即可根据的取值范围判断出哪种方式省钱． 【详解】（1）解：设每月主叫时间分钟，收费相同， 当时，方式一收费14元，方式二收费30元，故两种收费不同，不符合题意； 当时， 根据题意得：， 解得：， 每月主叫收费相同； （2）解：设每月主叫时间分钟， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，选方式二省钱； 当时，两种方式费用相同； 当时，选方式一省钱． 【考点11 几何图形问题】 【典例11】李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，请你用所学的知识解决以下问题．（篱笆的占地面积忽略不计） (1)如图，如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？ (2)如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？ 【答案】(1)鸡舍面积432平方米； (2)如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积平方米或391平方米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）首先设鸡舍的宽为米，则长为米，根据题意可得等量关系：篱笆总长60米，再解方程求出鸡舍的长宽，再求面积即可； （2）分两种情况讨论，以鸡舍的长与墙为对面和以鸡舍的宽与墙对面两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：设鸡舍的宽为米，则长为米，依题意得： ， 解得：， 所以鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积（平方米）． 答：鸡舍面积432平方米； （2）解：设鸡舍的宽为米，则鸡舍的长． Ⅰ．当鸡舍的长与墙为对面时，依题意得： ， 解得：， 所以鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积（平方米）． Ⅱ．当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意得： ， 解得：， 所以鸡舍的长为（米）． 鸡舍面积（平方米）． 答：如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积平方米或391平方米． 【变式11-1】如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么剩余纸片四边形的面积为多少? 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设大正方形的边长为，根据两次剪下的长条面积正好相等列方程，求出x的值，进一步即可求出的面积 【详解】解：设正方形的边长为， 由题意可知：， 解得：， 所以，，， 故四边形的面积为． 【变式11-2】如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为，高为；容器乙的底面积为，高为．容器甲中盛满水，容器乙中没有水，现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水．    (1)容器甲中水位的高度每分钟下降______，容器乙中水位的高度每分钟上升______； (2)从容器甲开始注水起，经过多长时间，两个容器中水位的高度相差? 【答案】(1)； (2)分钟或8分钟 【分析】本题考查了容积计算，一元一次方程的应用． (1)根据题意，，，计算即可． (2)设x分钟后，两容器中的水位差为，根据题意，，，分类计算即可． 【详解】（1）根据题意，，， 解得，， 故答案为：，． （2）设x分钟后，两容器中的水位差为，根据题意，，，当时， 解得； 当时， 解得； 故经过分钟或8分钟时，水位差为． 【变式11-3】某实践小组设计宣传牌： 如图1是长方形宣传牌，长，宽，中间可以用来设计的部分是长方形，且．四周空白部分的宽度相等，设四周宽度为； 如图2，为了美观，将长方形分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等； 如图3，每个栏目划出8个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为． (1)______，______（用含的代数式表示）； (2)求出图1四周宽度的值； (3)求每个栏目的水平宽度； (4)求栏目与栏目之间中缝的间距． 【答案】(1)， (2)四周宽度是 (3)每个栏目的水平宽度为 (4)长方形栏目与栏目之间中缝的间距为 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据，列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）设每个栏目的水平宽度为，每栏竖行两列中间间隔是，则横向中间间隔为，根据正方形边长相等可得：，解方程即可得出答案； （4）列出算式即可求出长方形栏目与栏目之间中缝的间距． 【详解】（1）解：由题意得： ，， 故答案为：，； （2）解：， ， 解得， ∴四周宽度是； （3）解：设每个栏目的水平宽度为，每栏竖行两列中间间隔是，则横向中间间隔为， 根据正方形边长相等可得：， 解得， ∴每个栏目的水平宽度为； （4）解：∵， ∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为． 一、单选题 1．三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为，， 由题意可得：， 解得， 故选：B． 2．小浩和天天从相距的两地同时相向而行，小浩每小时走，后两人相遇．设天天的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐蔽，需要仔细审题归纳得出．根据后两人相遇，即两人走的路程之和两地的距离千米，再根据此等量关系列方程即可． 【详解】解：设天天的速度为，根据题意： 可得到方程：， 故选：C． 3．一件衣服以原件的出售是30元，则原价是（   ） A．12元 B．75元 C．57元 D．100元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据原价的等于30，列方程求解． 【详解】解：设原价是元， 根据题意得：， 解得：， 故选：B． 4．用一根24厘米长的铁丝围成一个直角三角形，若使三条边长的比是，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，直角三角形面积，求直角三角形的直角边长是解题的关键，属基础题目． 设直角三角形三条边长分别为， ，，根据直角三角形的周长等于24厘米，列方程求解，然后求出直角三角形的两直角边长，然后根据直角三角形面积公式计算好戏可． 【详解】解：设直角三角形三条边长分别为， ，，根据题意，得 ， 解得：， ∴直角三角形三条边长分别为，，， ∴这个三角形的面积． 故选：B． 5．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．98 C．126 D．161 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设最中间的数为x，根据题意列出方程求解即可判断， 解题的关键是正确找出题中的等量关系． 【详解】设最中间的数为x， ∴这7个数分别为、、、x、、、， ∴这7个数的和为：， 当时，此时， 当时，此时， 当时，此时， 当时，此时， 由图可知，当时，右面没有数字， ∴时不符合题意， 故选：C． 6．某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（   ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了60元 D．不赚不赔 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为元，赔了的商品进价为元，根据卖价都是480元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得（元）； 设赔了的商品进价为元， 则，解得， ∴（元）， 即这次买卖过程中，商人赔了40元． 故选：B． 7．数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（   ） A．5道 B．6道 C．7道 D．8道 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设出答对的题数，利用答对的题数得分不答或答错题的得分分，列出方程进行求解． 【详解】解；设答对的题数为x道 故： 解得：． 故选：D． 8．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下列出的方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排3人，就会有100人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：学校住宿的学生人数为x，根据题意得： ， 故选：C． 9．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方、在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程应用，涉及有理数的加法，根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，列方程即可求出a的值，从而得到答案． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故选：B． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 10．一快递员需要在规定的时间内骑摩托车把快递送到某地．若每小时行驶，就早到；若每小时行驶，就会迟到．设快递员所要骑行的路程为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次方程，恰当表示规定时间是列出方程的关键． 先分别表示快递员按两种速度行驶需要的时间，再分别表示规定时间，据此列出方程． 【详解】解：∵快递员每小时骑行，所用的时间为， ∴规定的时间为； 快递员每小时骑行，所用的时间为， ∴规定的时间为， ∴列方程． 故答案为：． 11．一份试题由50道选择题组成，每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，小亮在这次考试中得了102分，他答对了 道题． 【答案】38 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，由每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，确定出答对与答错的题目数量，由等量关系列方程求解即可得到答案．根据总分数为102分得出等式方程是解题关键． 【详解】解：设答对了道题， 由题意可得，解得， 故答案为：38． 12．足球比赛的计分方法为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．一个队共踢了14场比赛，负5场，得了19分．设该队共平了x场，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该队共平了x场，则胜了场，再根据总得分为19分，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 13．一项工作，甲独做需天，乙独做需天，如果两人合做天后，余下的工作再由甲独做 天完成． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题目中的相等关系．设余下的工作再由甲独做天完成，把这项工作看作“”，则甲的效率为，乙的效率为，最后根据甲乙合作的量余下的量工作总量，列方程即可求解． 【详解】解：设余下的工作再由甲独做天完成，则甲的效率为，乙的效率为， 根据题意得：， 解得：， 即余下的工作再由甲独做天完成， 故答案为：． 14．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本．则这个班有 名学生． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设这个班有名学生，根据每人分本，则剩余本，可知共有本书，根据每人分本，则还缺本，可知共有本书，由此建立方程求解即可． 【详解】解：设这个班有名学生， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 15．小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 【答案】经过分钟以后小明，小杰第一次相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，求出，即可求解． 【详解】解：设分钟以后小明，小杰第一次相遇， 由题意可得，， 解得， 答：经过分钟以后小明，小杰第一次相遇． 16．下列三行数： 第一行：，2，，8，… 第二行：0，3，，9，… 第三行：，4，，16，… (1)直接写出每一行的第7个数________，________，________； (2)在第二行中，存在三个连续的数的和为99，这三个数分别是________，________，________； (3)设x，y，z分别为每一行的第10个数，求的值． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，根据题意得出规律是解此题的关键． （1）根据题干中所给数据得出规律，从而即可得解； （2）由（1）可得：第二行中第个数为，设第二行三个连续数为，，，根据题意列方程，求解即可得解； （3）分别求出、、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：第一行：，，，，，…，第个数为，故第7个数为； 第二行：，，，，…，第个数为，故第7个数为； 第三行：，，，，…，第个数为，故第7个数为； （2）解：由（1）可得：第二行中第个数为， 设第二行三个连续数为，，， ∵在第二行中，存在三个连续的数的和为99， ∴， 解得：， ∴，， ∴这三个连续的数为，，； （3）解：∵设x，y，z分别为每一行的第10个数， ∴，，， ∴． 17．小逸在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点．然后设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点沿数轴向左移动个单位长度，同时点沿数轴向右移动个单位长度．例如，第次按键后，屏幕显示点，的位置如图所示． (1)第次按键后，点表示的数是________，点表示的数是________； (2)在第几次按键后，点与原点之间的距离为？ (3)在第几次按键后，点和点之间的距离是． 【答案】(1)，0； (2)第次或第次按键后，点与原点之间的距离为； (3)在第次按键后，点和点之间的距离是． 【分析】本题考查了数轴上的平移，解方程，有理数的加减混合运算，有理数的加减乘法混合运算，熟练掌握规律，解方程和运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减即可求解； （2）分两种情况讨论：当点在原点的右侧时，当点在原点的左侧时，即可求解； （3）设在第次按键后，点表示的数是，点表示的数是，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：第次按键后，点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：当点在原点的左侧，且与原点的距离为个单位长度时，点表示的数是， 此时按键次数是； 当点在原点的右侧，且与原点的距离为个单位长度时，点表示的数是， 此时按键次数是． 所以在第次或第次按键后，点与原点之间的距离为； （3）解：设在第次按键后，点表示的数是，点表示的数是． 由题意，得， ， 所以． 所以在第次按键后，点和点之间的距离是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$