4.1 一元一次方程（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版2024新教材）

4.1 一元一次方程 【考点1 方程及一元一次方程的定义】 【考点2 利用一元一次方程的定义求参数】 【考点3 方程的解】 【考点4 列方程】 【考点5 等式的性质变形】 【考点6等式性质的应用】 知识点1 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 【考点1 方程及一元一次方程的定义】 【典例1】下列四个式子中，是方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的定义即可求出答案． 【详解】解：∵方程是指含有未知数的等式， ∴只有B选项是方程， 故选B． 【点睛】本题考查方程的定义，解题的关键是熟练运用方程的定义． 【变式1-1】有下列式子：①；②；③；④．其中，方程共有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】略 【变式1-2】下列方程属于一元一次方程的是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据“只含有一个未知数，且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程”，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，是一元一次方程，本选项符合题意； B、中，未知数的次数是2，故不是一元一次方程，本选项不符合题意； C、中含有两个未知数，故不是一元一次方程，本选项不符合题意； D、，不是整式方程，故不是一元一次方程，本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】下列方程中，一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握是解决问题的关键．一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义逐一判断，即得． 【详解】A、不是整式，不是一元一次方程，故本选项错误； B、含有一个未知数，并且未知数的次数是1次，等号两边都是整式，是一元一次方程，故本选项正确； C、未知数的次数最高是2次，不是一元一次方程，故本选项错误； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 【考点2 利用一元一次方程的定义求参数】 【典例2】已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上结果均不正确 【答案】B 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求出参数，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴； 故选B． 【变式2-1】若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，象这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 【变式2-2】已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，得到和，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 解得或， 因为， 所以， 综上可知：． 故答案为：1． 【变式2-3】若方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义得出且，即可求解； 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点3 方程的解】 【典例3】已知关于的方程的解是，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：方程的解是， ， 解得：， 故选：A． 【变式3-1】已知是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，将代入方程，解关于的方程，即可求解；理解方程的解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 【变式3-2】若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，把解代入方程，求得m值即可． 【详解】∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故答案为：1． 【变式3-3】如果是方程的解，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把代入方程得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． 故答案为：1． 【考点4 列方程】 【典例4】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出调往乙处人，再根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍列出方程即可． 【详解】解：由题意得：调往乙处人， 则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 【变式4-1】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设物价是x钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案． 【详解】解：设物价是钱，则根据可得： 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键． 【变式4-2】根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 【变式4-3】蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． 知识点3 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 【考点5 等式的性质变形】 【典例5】下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】此题主要考查等式的性质，解题的关键是熟知移项的特点．根据等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式两边仍相等；等式两边同时乘以或除以一个不为0的数，等式两边仍相等．作相应变形进而判断． 【详解】解：A、根据等式的性质1，等式两边都加1，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； B、根据等式的性质1，等式两边都加上，可得，原变形错误，故此选项符合题意； C、等式两边都都加上3，得，再减去y，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； D、等式两边都减去4，得，再减去，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】下列运用等式的性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．如果，那么或，故原式不正确； B．如果，那么，正确； C．如果，当时，，故原式不正确； D．如果，那么，所以，故原式不正确； 故选B． 【变式5-2】根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，掌握性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，是解题的关键． 根据等式的性质解答． 【详解】解：A、当时，等式不成立，故本选项错误． B、的两边同时乘以3，等式才成立，即，故本选项错误． C、的两边同时除以m，只有时等式才成立，即，故本选项错误． D、的两边同时减去m，等式仍成立，即，故本选项正确． 故选：D． 【变式5-3】下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：变形得，选项A错误，不符合题意； 变形得，选项B错误，不符合题意； 变形得，选项C错误，不符合题意； 变形得，选项D正确，符合题意； 故选D． 【考点6等式性质的应用】 【典例6】中央电视台某节目中，有一期的节目如图所示，两个天平都平衡，则与1个球体相等质量的正方体的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设一个球体的质量为x， 一个圆锥体的质量为y， 一个正方体的质量为z，则，，进而可得． 【详解】解：设一个球体的质量为x， 一个圆锥体的质量为y， 一个正方体的质量为z， 从第一个天平可知：， 从第二个天平可知，， 由以上两式可知，， 故和1个球体质量相等的正方体个数为2． 故选：C． 【变式6-1】如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（    ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质．分别将三个图形的质量用字母表示，根据①写出一个等式并利用等式的基本性质2求得两种不同图形的质量关系，再根据等式的基本性质1得到关于天平两边质量的一个等式，从而判断即可． 【详解】解：设□的质量是a，△的质量是b，〇的质量是c． 根据①，得． 根据等式的基本性质2，将两边同时除以2，得； 根据等式的基本性质1，将两边同时加上，得； ∵②中天平左侧的质量为，右侧的质量为， ∴左侧的质量右侧的质量， ∴②中天平能平衡， 故选：A． 【变式6-2】如图，已知相同形状的物体的质量是相等的，其中最左边的天平是平衡的，则右边三个天平中仍然平衡的是(     ) A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】B 【分析】本题的实质是考查等式的性质，先根据最左边的天平判断出2个球的重量4个圆柱的重量，由等式的性质可得出答案． 【详解】解：因为最左边的天平是平衡的，所以2个球的重量4个圆柱的重量； ①中1个球的重量2个圆柱的重量，根据等式的性质，即可得到①是平衡的； ②中，2个球的重量2个圆柱的重量，可得到②是不平衡的； ③中，2个球的重量1个圆柱的重量5个圆柱的重量，根据等式的性质，即可得到③是平衡的； 综上所述，平衡的是①③， 故选：B． 【变式6-3】设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（    ）    A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 【答案】A 【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c， 由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②， ∴得， ∴， ∴， 由②得，，即 ∴ ∴，故A不正确，B正确， ，故C，D正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键． ． 1．下列方程是一元一次方程的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程”是解题的关键． 利用一元一次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. 是二元一次方程，该选项不符合题意； B. 是一元二次方程，该选项不符合题意； C. 是分式方程，该选项不符合题意； D. 是一元一次方程，该选项符合题意； 故选：D. 2．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为的数（或代数式），等式仍然成立．根据等式的性质分别判断． 【详解】A、等式两边同时减去得：，原变形正确，故选项不符合题意； B、等式两边同时加上得：，原变形正确，故选项不符合题意； C、等式两边同时乘以得：，原变形错误，故选项符合题意； D、等式两边同时除以得：，原变形正确，故选项不符合题意； 故选：C． 3．下列四个方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将分别代入选项中的方程验证即可． 【详解】解：A、将代入得， ，故A不符合题意； B、将代入得， ，故B不符合题意； C、将代入得， ，故C不符合题意； D、将代入得， ，故D符合题意； 故选：D． 4．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质．解决本题的关键是根据等式的两边同时加上或减去同一个数仍是等式；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数仍是等式． 【详解】解：A选项：已知，根据等式的基本性质两边同时减去可得：，故A选项正确； B选项：已知，根据等式的基本性质两边同时乘以可得：，故B选项错误； C选项：，把的两边同时除以可得：，故C选项正确； D选项：已知，移项可得：，故D选项正确． 故选：B． 5．若方程是一元一次方程，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义．根据只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程列出关于的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：． 故选：C． 6．把方程写成用含的代数式表示的形式，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，把x看作已知数，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的次数是一次的方程；根据此概念得：，再求解即可． 【详解】解：由于方程是关于的一元一次方程， 所以， 解得：； 故答案为：． 8．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，代数式求值，根据题意得出，则，整体代入即可求解． 【详解】解：根据题意得出，则， 故答案为：． 9．根据“x的3倍与5的和等于x的4倍”可列出方程来 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．根据题意列式即可． 【详解】x的3倍为与5的和等于x的4倍， ， 故答案为：． 10．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【详解】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 11．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是掌握一元一次方程的概念，只含有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程． 根据一元一次方程的概念，可得且，求解即可． 【详解】解：由题意可得且， 由可得， 由可得或 综上： 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 一元一次方程 【考点1 方程及一元一次方程的定义】 【考点2 利用一元一次方程的定义求参数】 【考点3 方程的解】 【考点4 列方程】 【考点5 等式的性质变形】 【考点6等式性质的应用】 知识点1 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 【考点1 方程及一元一次方程的定义】 【典例1】下列四个式子中，是方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】有下列式子：①；②；③；④．其中，方程共有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列方程属于一元一次方程的是（　　 ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程中，一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 利用一元一次方程的定义求参数】 【典例2】已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上结果均不正确 【变式2-1】若是关于的一元一次方程，则 ． 【变式2-2】已知是关于的一元一次方程，则 ． 【变式2-3】若方程是一元一次方程，则 ． 【考点3 方程的解】 【典例3】已知关于的方程的解是，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知是关于的方程的解，则 ． 【变式3-2】若是关于的方程的解，则的值为 ． 【变式3-3】如果是方程的解，那么 ． 【考点4 列方程】 【典例4】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【变式4-3】蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 知识点3 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 【考点5 等式的性质变形】 【典例5】下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-1】下列运用等式的性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式5-2】根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-3】下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【考点6等式性质的应用】 【典例6】中央电视台某节目中，有一期的节目如图所示，两个天平都平衡，则与1个球体相等质量的正方体的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-1】如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（    ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 【变式6-2】如图，已知相同形状的物体的质量是相等的，其中最左边的天平是平衡的，则右边三个天平中仍然平衡的是(     ) A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【变式6-3】设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（    ）    A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 1．下列方程是一元一次方程的为（   ） A． B． C． D． 2．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 4．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 5．若方程是一元一次方程，则（    ） A．或 B． C． D． 6．把方程写成用含的代数式表示的形式，得（    ） A． B． C． D． 7．若方程是关于的一元一次方程，则 ． 8．已知，则代数式的值为 ． 9．根据“x的3倍与5的和等于x的4倍”可列出方程来 ． 10．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 11．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$