专题4.3 一元一次方程的应用（十一大考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版2024新教材）

专题4.3 一元一次方程的应用（十一大考点） 【考点1 和、差、倍、分问题】 【考点2 行程问题】 【考点3 工程问题】 【考点4 顺水逆水问题】 【考点5 商品利润问题】 【考点6比赛积分问题】 【考点7 配套问题】 【考点8 数字与日历问题】 【考点9 方案选择问题】 【考点10 分段计费问题】 【考点11 几何图形问题】 【考点1 和、差、倍、分问题】 1．有525名同学，分为三组进行活动，第一组的是第二组的，第二组的是第三组的．问三个组各有多少人？ 2．小敏和妈妈的年龄和为50，3年后妈妈比小敏大22岁，三年后小敏和妈妈各多少岁？ 3．光明中学共有550名学生，其中八年级学生人数是七年级的1.5倍，九年级学生人数是八年级的2倍，求光明中学九年级学生有多少人？ 4．甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？ 5．列方程解应用题： 数学家的故事 古希腊数学家丢番图（约公元250年左右），被人们称为代数学之父．对于他的生平事迹，人们知道得很少，但在一本《希腊诗文选》（公元500年前后的遗物）中，收录了他的墓志铭． 希腊数学家丢番图（公元3−4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子死时丢番图的年龄． 【考点2 行程问题】 6．小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇．若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇．小红和小强两人的家相距多少米？ 7．客车和货车同时从相距千米的两地相对开出，客车每小时行千米，货车每小时行千米，开出多长时间后两车相距千米？ 8．（盈亏问题）小明从家到学校上课，开始时每分钟走50米，走了2分钟，根据以往经验，按照这个速度走下去，将要迟到2分钟，于是他立即加快速度，每分钟多走10米，结果小明早到了5分钟，小明家到学校的路程有多远？ 9．A、B两地相距，甲、乙两人分别从A、B两地出发，甲的速度是，乙的速度是． (1)若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发后几小时与甲相遇? (2)若两人同时同向出发，甲在前，乙在后，多少小时两人相距4千米? 10．截至年底，全国铁路营业里程突破万公里，其中高铁超过万公里．一列高铁列车和一列动车都从A市驶向B市，高铁列车用了，动车用了，已知高铁列车的速度是动车的2倍少，求高铁列车的速度和A、B两市之间的路程． 11．A、B两地相距31千米，甲从A地骑自行车去B地，1小时后乙骑摩托车也从A去B地．已知甲每小时行驶12千米，乙每小时行驶 28千米． (1)问乙出发后多少小时追上甲？ (2)若乙到达B地后立即返回，则在返回路上与甲相遇时距乙出发多长时间？ 【考点3 工程问题】 12．一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 13．萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 14．随着经济复苏，旅游业也越来越火，某工厂接到一批兵马俑纪念品的生产任务，景点要求6天内完成．若工厂安排10位工人生产，则6天后剩余1200套兵马俑纪念品未生产；若安排15位工人生产，则恰好提前一天完成生产任务．每位工人每天可以生产多少套兵马俑纪念品？ 15．一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水 (1)若同时开放甲、乙、丙三个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需几小时可注满水池？ 16．某地遭遇暴雪袭击，严重影响人们的出行安全，现有甲、乙两支消雪队伍开始清理某路段积雪，积雪共有430吨，甲乙共同清理3 小时后，乙队被调往别处，甲队又用4 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，求甲队每小时清雪多少吨？ (请列方程解决实际问题) 17．县民族中学有A，B两台复印机，用于印刷学习资料和考试试卷。学校举行入学考试，数学试卷如果用复印机A、B单独复印，分别需要90分钟和60分钟．在考试时为了保密需要，不能过早提前印刷试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印． (1)两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？ (2)在复印30分钟后B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？ (3)B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复使用，请你再算算，学校能否按时发卷考试？ 【考点4 顺水逆水问题】 18．一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是 ． 19．某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要，逆水航行需要，水流的速度是，则轮船在静水中的速度是 ，两个码头之间的距离是 ． 20．一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需，当逆风飞行时需，已知风速为，求无风时飞机的速度？设无风时飞机的速度为，可列方程 ． 5．某服装商店一套西服的进价为元，若按标价的八折销售，则可获利元，该服装的标价为 元． 21．甲乙两港口相距，一艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行速度为，水流速度为，现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口，若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，求甲港口到丙港口之间的距离． 22．一艘轮船从A港顺流行驶到B港，比它从B港逆流行驶到A港少用2小时，若船在静水中的速度为25千米/时，水流的速度为5千米/时，求A港和B港相距多少千米？ 23．某游客乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上回到甲地，顺流行驶了2小时50分，逆流行驶了3小时，水流速度为2千米/小时，求甲乙两地间的距离． 【考点5 商品利润问题】 24．某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率，则该商品应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 25．元旦期间，某商场进行打折促销，某种品牌的衬衫原价每件210元，现在按原价的八折出售，每件衬衫仍可获利，那么这批衬衫每件的成本价是 元． 26．小明同学到某商店购买商品，了解到甲、乙两种商品的信息如下： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和20元； 信息2：甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多； 信息3：按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元． 请根据以上信息，求： (1)甲、乙两种商品的销售单价； (2)商店在这次销售中获得的总利润． 27．书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了2055元，其中每支毛笔比钢笔贵4元，求每支钢笔和每支毛笔的单价各为多少元？ 28．(百分数应用)某种打印机每台售价460元，比进价贵．如果一次性进货120台以上则进价可下降．某商场一次购进这种打印机150台，先按每台460元出售一批，然后降价出售，一共卖出135台，余下的全部免费赠送给山区小学，结果还盈利3490元，求该商场按每台460元出售的打印机是多少台？ 29．某书店出售一种挂历，每售出1本可获得 8元利润．售出一部分后每本减价10元出售，全部售完．已知减价出售的挂历本数是原价出售挂历的．书店售完这种挂历共获利润 2860元．书店共售出这种挂历多少本？ 30．列方程解应用题： 某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利=售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 31．某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进货单价、销售单价如下表： 类型 进货单价（元） 销售单价（元） 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 【考点6比赛积分问题】 32．在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 35．某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁 (1)通过观察积分表，直接写出负一场积______分； (2)求胜一场的积分： (3)若某队胜场总积分等于它的负场总积分的倍，请直接写出该队队名． 33．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 34．列二元一次方程组解应用题： 为“庆祝建党100周年”，中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动.“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道?乙队必答题得了多少分? (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 35．某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【考点7 配套问题】 36．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 37．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 38．某家具生产车间有名工人生产家用餐桌和椅子，张桌子和把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产张桌子或把椅子． (1)分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？ (2)今年一套餐桌的成本比去年提高了，去年总投入了万元，今年投入的比去年多万元，结果生产的餐桌比去年少套，则今年的成本是每套多少万元？ 39．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？（请列方程解决问题） 40．用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由个矩形侧面和个正三角形底面组成，硬纸板可以按下面两种方法进行裁剪（裁剪后边角料不再利用） 方法：剪个侧面；方法：剪个侧面和个底面． 现有张硬纸板，那么多少张用方法裁剪，多少张用方法裁剪，可使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完？能做多少个盒子？ 【考点8 数字与日历问题】 41．下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 42．月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 43．观察下面三行数： ，，，，，…① ，，，，，…② ，，，，，…③ (1)第①行第个数是______；第②行第个数是______；第③行第个数是_____； (2)已知是其中的数，则它是第______行的第______个数； (3)取每行的第个数，若这三个数的和是，求的值． 44．我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空：________； (2)将循环小数写成分数的形式． 45．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即“洛书”．数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）． (1)如图2，在这个幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为________； (2)①如图3，当________时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图4的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则________； (3)将幻方迁移到月历：如图5是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法是否正确，请说明理由． 【考点9 方案选择问题】 46．周末，某校准备组织七年级学生看电影，由各班班长负责买票，票价为20元/张，电影院规定，50人以上可以购买团体票，团体票的优惠方案有两种选择： 方案一：全体人员打八折； 方案二：有7人免票，其他人员打九折， (1)二班有61名学生，选择____________更优惠（填“方案一”或“方案二”）； (2)一班班长说：“我们班无论选择哪种方案，付的钱都是一样的”，求一班的人数 47．某学校计划购买20张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张180元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售，设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，则到甲商场和乙商场所需费用各多少元（用含x的式子表示）？ (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 48．围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元． (1)求每副象棋和围棋的单价． (2)若学校准备购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元，那么最多能购买多少副围棋？ (3)若甲超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折；方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．若学校购买10副象棋和若干副围棋，则学校选用哪种方案购买围棋花费少？ 49．某超市推出周年庆优惠大酬宾活动，关于A、B两种商品，有如下促销方案： A商品 B商品 售价（单位：元） 100 20 方案1 买一件A商品，赠送一件B商品 方案2 A商品和B商品都打九折 （注：方案1、2不能同时参加） (1)购买A商品10件，B商品30件，选用哪种方案更划算？能便宜多少钱？ (2)如果购买A商品x件，购买B商品的件数比A商品多20件，则购买A商品多少件时，两种方案的花费相同？ 50．某文具店的某种毛笔每支售价元，书法练习本每本售价元．该店为了促销该种毛笔和书法练习本，推出了两种优惠方案． 方案一：买一支毛笔赠送一本书法练习本； 方案二：按购买金额的九折付款． 某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔支，书法练习本本． (1)若该校按方案一购买，则需付款 元，若该校按方案二购买，则需付款 元(用含的式子表示)． (2)若该校购买本书法练习本，使用哪种方案更优惠？ (3)该校购买多少本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样？ 51．某游泳馆推出两种游泳付费方式： 方式一：先购买会员卡，每张会员卡300元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费10元； 方式二：不购买会员卡，每次游泳付费25元． 设小明计划今年游泳次（为正整数）． (1)按方式一付费，则总费用为________元，按方式二付费，则总费用为_______元； (2)如果两种方式的总费用一样多，则他游泳次数是多少次； (3)若小明同学预计今年游泳费用为600元，他选择哪种付费方式游泳次数比较多？请加以说明． 52．某海鲜经营户去批发市场采购梭子蟹，现有甲、乙两家商铺，它们的梭子蟹的品质一样，批发价均为元/千克，他打算选其中一家购买，这两家商铺推出了不同的优惠方式．甲商铺规定：批发数量若不超过千克，则按批发价销售；若超过千克，则全部按批发价的销售．乙商铺规定如下表： 数量范围（千克） 到千克的部分 超过千克到千克的部分 超过千克的部分 价格（元/千克） 批发价 批发价的 批发价的 【表格说明：价格分段计算，如：某人批发梭子蟹千克，则总费用：（元）】 (1)如果他批发千克的梭子蟹，那么他在哪家购买比较合算？请说明理由． (2)如果他批发千克梭子蟹（），那么他在哪家购买比较优惠？优惠了多少元？（用含有的式子表示） (3)最终他在甲家买了梭子蟹，比在乙家买同样重量的梭子蟹少花了元，请你算出他买了多少千克的梭子蟹． 53．小王看到两个商场的促销信息如图所示． (1)当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？ (2)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ (3)小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？ 【考点10 分段计费问题】 54．某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 55．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 用水量/月 单价（元/吨） 不超过吨的部分 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 注意：另外每吨用水加收元的城市污水处理费． 例如某用户2月份用水吨，共需交纳水费元． (1)若小明家2月份用水吨，共需交纳水费多少元？ (2)若小明家2月份共交纳水费元，那么小明家2月份用水多少吨？ (3)若小强和小明家2月份一共用水吨，共交纳水费元，其中小强家用水量少于吨，小明家用水量少于吨，那么小强和小明家2月份各用水多少吨？ 56．郑州市某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙 种商品每件进价40元，售价60元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 (1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共30件，恰好总进价为1320元，求购进乙种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，直接写出小贺在该商场购买了甲种商品 件． 57．目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下： 一户居民一年用气量（单位：立方米） 电价（单位：元/立方米） 第档 不超过立方米的部分 第档 立方米以上至立方米（含）部分 第档 立方米以上的部分 (1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元． (2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）． (3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？ 【考点11 几何图形问题】 58．已知一个小长方形的长和宽分别是和2，当5个形状、大小相同的小长方形拼成一个如图所示的大长方形，所标尺寸如图所示，求图中阴影部分面积是（    ） A．18 B．27 C．29 D．33 59．如图，一个大长方形恰好分成个小正方形，其中最小的正方形面积是平方厘米，则这个大长方形的面积为（ ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 60．如图，一个正方形先剪去宽为4的长方形，再剪去宽为5的长方形，且剪下来的两个长方形面积相等，则原正方形的面积为（    ） A．100 B．250 C．360 D．400 61．有A，B两种规格的长方形纸板，如图1，无重合无缝隙的拼成如图2所示的正方形，已知该正方形的周长为，A种长方形的宽为，则B种长方形的面积是（　　） A． B． C． D． 62．把八张形状大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部（如图1、图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知盒子底部长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为，则盒子底部长方形的面积为（    ） A．150 B．176 C．204 D．234 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 一元一次方程的应用（十一大考点） 【考点1 和、差、倍、分问题】 【考点2 行程问题】 【考点3 工程问题】 【考点4 顺水逆水问题】 【考点5 商品利润问题】 【考点6比赛积分问题】 【考点7 配套问题】 【考点8 数字与日历问题】 【考点9 方案选择问题】 【考点10 分段计费问题】 【考点11 几何图形问题】 【考点1 和、差、倍、分问题】 1．有525名同学，分为三组进行活动，第一组的是第二组的，第二组的是第三组的．问三个组各有多少人？ 【答案】第一组：120人，第二组：180人；第三组：225人． 【考点】本题主要考查了比的应用和一元一次方程等知识点，设第一组有人，则第二组有人；第三组人数，然后列出方程，解方程即可得解，设出未知数，用未知数表示出各组的人数是解题关键． 【详解】依题意设第一组有人，则第二组有人；第三组人数； ∵三组人共525人， ∴， 解方程得，， ∴（人），（人），（人）， ∴第一组有120人，则第二组有180人；第三组人数225人． 2．小敏和妈妈的年龄和为50，3年后妈妈比小敏大22岁，三年后小敏和妈妈各多少岁？ 【答案】三年后小敏和妈妈分别为17岁和39岁 【分析】本题考查年龄问题，设小敏现在的年级为岁，根据现在和3年后妈妈与小敏的年龄差不变，得到现在妈妈的年龄为岁，根据小敏和妈妈的年龄和为50，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小敏现在的年级为岁，则现在妈妈的年龄为岁，由题意，得： ， 解得：， 答：三年后小敏和妈妈分别为17岁和39岁． 3．光明中学共有550名学生，其中八年级学生人数是七年级的1.5倍，九年级学生人数是八年级的2倍，求光明中学九年级学生有多少人？ 【答案】九年级学生有300人 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设七年级有x人，则八年级有人，九年级有人，根据光明中学共有550名学生再建立方程求解即可． 【详解】解：设七年级有x人，则八年级有人，九年级有人．    ∴， 解得：，      ∴， 答：九年级学生有300人． 4．甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？ 【答案】6天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设出未知数、找出等量关系，然后列出一元一次方程成为解题的关键． 设x天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设x天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍， 由题意可得：，解得：． 答：6天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍． 5．列方程解应用题： 数学家的故事 古希腊数学家丢番图（约公元250年左右），被人们称为代数学之父．对于他的生平事迹，人们知道得很少，但在一本《希腊诗文选》（公元500年前后的遗物）中，收录了他的墓志铭． 希腊数学家丢番图（公元3−4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子死时丢番图的年龄． 【答案】(1)丢番图的寿命为84岁 (2)丢番图开始当爸爸的年龄为38岁 (3)儿子死时丢番图的年龄为80岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． （1）设丢番图的寿命为岁，则根据题中的描述他的年龄的童年生命的年儿子的年龄年，可列出方程，即可求解； （2）根据计算即可求解； （3）根据“儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了”计算即可求解． 【详解】（1）解：设丢番图的寿命为岁， 由题意得：， 解得：， 答：丢番图的寿命为84岁； （2）解：，即他38岁时有了儿子． 答：丢番图开始当爸爸的年龄为38岁； （3）解：岁． 答：儿子死时丢番图的年龄是80岁． 【考点2 行程问题】 6．小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇．若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇．小红和小强两人的家相距多少米？ 【答案】小红和小强两人的家相距2196米 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程． 利用小强第一次用的时间和小红的相同，但第二次比小红少用4分钟，但小强的速度比第一次快了20米每分钟，进而得出等式求出即可． 【详解】解：设第一次所用时间为， 则． 解得：， 所以小红和小强两人的家的距离为：（米）． 答：小红和小强两人的家相距2196米． 7．客车和货车同时从相距千米的两地相对开出，客车每小时行千米，货车每小时行千米，开出多长时间后两车相距千米？ 【答案】小时 【分析】本题考查列一元一次方程解决相遇问题，明确两车第一次相距千米时，两车共行驶的距离是解题的关键．两车第一次相距千米时，两车共行驶的距离加上两车已经相距的距离，就是两地的距离和，据此列出方程，即可解答． 【详解】解：设开出小时后两车相距千米， 解得： 答：开出小时后两车相距千米． 8．（盈亏问题）小明从家到学校上课，开始时每分钟走50米，走了2分钟，根据以往经验，按照这个速度走下去，将要迟到2分钟，于是他立即加快速度，每分钟多走10米，结果小明早到了5分钟，小明家到学校的路程有多远？ 【答案】2200米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小明家到学校的路程有米，根据时间建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】设小明家到学校的路程有米， 按照开始的速度走到学校的时间为：分钟， 加快后的速度为：米每分钟， 加快后走的时间为：分钟， ∴， 解方程得：米． 9．A、B两地相距，甲、乙两人分别从A、B两地出发，甲的速度是，乙的速度是． (1)若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发后几小时与甲相遇? (2)若两人同时同向出发，甲在前，乙在后，多少小时两人相距4千米? 【答案】(1)乙出发后小时两人相遇 (2)经过小时或小时两人相距4千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设乙出发后小时两人相遇，根据题意列出方程即可； （2）设经过小时两人相距4千米，根据题意分两种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙出发后小时两人相遇， 甲先出发半小时，即甲先出发小时，即甲所走时间为小时， 依题意得： 解得， 答：乙出发后小时两人相遇； （2）解：设经过小时两人相距4千米， ①当乙还未追上甲时， 由题意得：， 解得； ②当乙追上甲时， 由题意得：， 解得． 答：经过小时或小时两人相距4千米． 10．截至年底，全国铁路营业里程突破万公里，其中高铁超过万公里．一列高铁列车和一列动车都从A市驶向B市，高铁列车用了，动车用了，已知高铁列车的速度是动车的2倍少，求高铁列车的速度和A、B两市之间的路程． 【答案】高铁列车的速度为，A、B两市之间的路程为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确利用等量关系列出方程是解题的关键，设动车速度为，则高铁列车的速度为，A、B两市之间的路程为，根据路程相等列出方程求解即可． 【详解】解：设动车速度为，则高铁列车的速度为，A、B两市之间的路程为， 根据题意可得：， 解得：， ， ． 答：高铁列车的速度为，A、B两市之间的路程为． 11．A、B两地相距31千米，甲从A地骑自行车去B地，1小时后乙骑摩托车也从A去B地．已知甲每小时行驶12千米，乙每小时行驶 28千米． (1)问乙出发后多少小时追上甲？ (2)若乙到达B地后立即返回，则在返回路上与甲相遇时距乙出发多长时间？ 【答案】(1)乙出发后小时追上甲 (2)在返回路上与甲相遇时距乙出发小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）等量关系式：甲比乙多用所行驶的路程乙行驶的路程，据此列方程，即可求解； （2）等量关系式：甲比乙多用所行驶的路程乙行驶的路程，据此列方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设乙出发后小时追上甲，由题意得 ， 解得：， 答：乙出发后小时追上甲； （2）解：设在返回路上与甲相遇时距乙出发小时，由题意得 ， 解得：； 答：在返回路上与甲相遇时距乙出发小时． 【考点3 工程问题】 12．一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【答案】(1)4天 (2)36000元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为“1”，设甲队还需x天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可． （2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解： （元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 13．萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 【答案】1.5小时 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，根据工作效率×工资时间=工作总量列方程求解即可． 【详解】解：设两位同学应该合作x小时， 根据题意，得， 解得， 答：两位同学应该合作1.5小时． 14．随着经济复苏，旅游业也越来越火，某工厂接到一批兵马俑纪念品的生产任务，景点要求6天内完成．若工厂安排10位工人生产，则6天后剩余1200套兵马俑纪念品未生产；若安排15位工人生产，则恰好提前一天完成生产任务．每位工人每天可以生产多少套兵马俑纪念品？ 【答案】每位工人每天可以生产80套兵马俑纪念品 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．设每位工人每天生产x套兵马俑纪念品，根据纪念品的总量相等列方程即可． 【详解】设每位工人每天生产x套兵马俑纪念品， 由题意，得， 解得． 答：每位工人每天可以生产80套兵马俑纪念品． 15．一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水 (1)若同时开放甲、乙、丙三个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需几小时可注满水池？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，需要用到的等量关系是：工作效率=工作量÷工作时间． （1）设三个水管同时开放x小时可注满水池，根据“甲、乙注水量丙出水量=1”列出方程并解答； （2）设共需y小时可注满水池，根据“甲、乙注水量丙出水量=1”列出方程并解答 【详解】（1）设同时开放甲、乙、丙三个水管，可以注满水池．根据题意，得 ， 解得． 答：同时开放甲、乙、丙三个水管，可注满水池． （2）设共需y小时可注满水池，依题意得 ， 解得， 答：共需可以注满水池． 16．某地遭遇暴雪袭击，严重影响人们的出行安全，现有甲、乙两支消雪队伍开始清理某路段积雪，积雪共有430吨，甲乙共同清理3 小时后，乙队被调往别处，甲队又用4 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，求甲队每小时清雪多少吨？ (请列方程解决实际问题) 【答案】甲队每小时清雪40吨 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲队每小时清雪x吨，根据工作总量工作效率工作时间分别求出甲队和乙队的工作总量，再根据积雪为430吨列出方程求解即可． 【详解】解：设甲队每小时清雪x吨， 由题意得，， 解得， 答：甲队每小时清雪40吨． 17．县民族中学有A，B两台复印机，用于印刷学习资料和考试试卷。学校举行入学考试，数学试卷如果用复印机A、B单独复印，分别需要90分钟和60分钟．在考试时为了保密需要，不能过早提前印刷试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印． (1)两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？ (2)在复印30分钟后B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？ (3)B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复使用，请你再算算，学校能否按时发卷考试？ 【答案】(1)两台复印机同时复印，共需分钟才能印完 (2)会影响学校按时发卷考试 (3)学校可以按时发卷考试 【分析】本题考查一元一次方程的应用——工程问题，掌握工作量的有关公式：工作总量工作时间工作效率． （1）设共需x分钟才能印完，依题意得，解方程即可； （2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要y分钟才能印完，依题意得，求解与分进行比较即可； （3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了z分钟印完试卷，依题意得，求解后加再与进行比较． 【详解】（1）设共需x分钟才能印完，依题意得 ， 解得：， 答：两台复印机同时复印，共需分钟才能印完； （2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要y分钟才能印完，依题意得： ， 解得：， 答：会影响学校按时发卷考试； （3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了z分钟印完试卷，依题意得： ， 解得：， 则有， 答：学校可以按时发卷考试． 【考点4 顺水逆水问题】 18．一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是 ． 【答案】千米/时 【分析】本题考查一元一次方程的运用，设轮船在静水中的速度是千米/时，根据逆水航行路程等于顺水航行路程列出方程求解，即可解题． 【详解】解：设轮船在静水中的速度是千米/时， 根据题意有： ， 答：轮船在静水中的速度是千米/时． 故答案为：千米/时． 19．某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要，逆水航行需要，水流的速度是，则轮船在静水中的速度是 ，两个码头之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程． 设轮船在静水中的速度是，根据码头之间的距离不变列方程即可解得答案． 【详解】解：设轮船在静水中的速度是，则两个码头之间的距离是， 根据题意得：， 解得， ， 答：轮船在静水中的速度是，两个码头之间的距离是， 故答案为：，． 20．一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需，当逆风飞行时需，已知风速为，求无风时飞机的速度？设无风时飞机的速度为，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系． 【详解】解：设无风时飞机的速度为，根据题意得： ， 故答案为：． 5．某服装商店一套西服的进价为元，若按标价的八折销售，则可获利元，该服装的标价为 元． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解利润、售价、进价三者之间的关系是解题关键．首先理解题意找出题中存在的等量关系：利润售价进价，根据此等量关系列方程即可． 【详解】解：设该服装的标价为元， 则实际售价为元， 根据等量关系列方程得：， 解得：． 故答案为：． 21．甲乙两港口相距，一艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行速度为，水流速度为，现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口，若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，求甲港口到丙港口之间的距离． 【答案】甲港口到丙港口之间的距离为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设甲港口到丙港口之间的距离为，根据该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，列方程即可求解． 【详解】解：设甲港口到丙港口之间的距离为，由题意得： ， 解得， 答：甲港口到丙港口之间的距离为． 22．一艘轮船从A港顺流行驶到B港，比它从B港逆流行驶到A港少用2小时，若船在静水中的速度为25千米/时，水流的速度为5千米/时，求A港和B港相距多少千米？ 【答案】A港和B港相距120千米 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设A港和B港相距x千米，根据时间=路程÷速度结合顺流比逆流少用2小时，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设A港和B港相距x千米．根据题意，得 解得： 答：A港和B港相距120千米． 23．某游客乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上回到甲地，顺流行驶了2小时50分，逆流行驶了3小时，水流速度为2千米/小时，求甲乙两地间的距离． 【答案】甲乙两地间的距离为204千米． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．设船在静水中的速度为千米小时，先根据路程相等，列方程，得到船的静水速度，继而求出甲、乙两地的距离． 【详解】解：设船在静水中的速度为千米小时， 依题意，得：， 解得：， 故甲、乙两地的距离为：（千米）． 答：甲乙两地间的距离为204千米． 【考点5 商品利润问题】 24．某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率，则该商品应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程是解答关键． 设该商品打折销售，利用，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该商品打折销售， 根据题意得：， 解得：， ∴该商品打8折销售． 故选：C． 25．元旦期间，某商场进行打折促销，某种品牌的衬衫原价每件210元，现在按原价的八折出售，每件衬衫仍可获利，那么这批衬衫每件的成本价是 元． 【答案】140 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设衬衫的成本价是x元，等量关系为：原价×折扣-进价=利润，列出方程可得答案． 【详解】解：设衬衫的成本价是x元，依题意得： ， 解得， 即：这批衬衫每件的成本价是140元， 故答案为：140． 26．小明同学到某商店购买商品，了解到甲、乙两种商品的信息如下： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和20元； 信息2：甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多； 信息3：按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元． 请根据以上信息，求： (1)甲、乙两种商品的销售单价； (2)商店在这次销售中获得的总利润． 【答案】(1)甲、乙两种商品的销售单价分别为15元和12元 (2)商店在这次销售中获得的总利润为64元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意，表示出甲乙商品的零售价是解本题的关键． （1）设出甲商品的进货单价为x元，根据信息1得出乙商品的进货单价为元，进而根据信息2得出甲乙商品的零售单价，最后用信息3的相等关系建立方程求解即可得出结论； （2）利用甲商品每件的利润乘以销售量加乙商品的利润乘以销售量，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲商品的进货单价为x元， ∵甲、乙两种商品的进货单价之和20元， ∴乙商品的进货单价为元， ∵甲商品的零售单价比进货单价多3元， ∴甲商品的零售单价为元， ∵乙商品的零售单价比进货单价多50%， ∴乙商品的零售单价为 ∵按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元， ∴ 解得， 经检验：符合题意， ∴甲商品的零售单价为元，乙商品的零售单价为元， 答：甲、乙两种商品的销售单价分别为15元和12元； （2）解：∵甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多50%，且甲、乙两种商品的进货单价之和20元， ∴甲商品的每件利润为3元，乙商品的每件利润为元， ∴商店在这次销售中获得的总利润为元， 答：商店在这次销售中获得的总利润为64元 27．书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了2055元，其中每支毛笔比钢笔贵4元，求每支钢笔和每支毛笔的单价各为多少元？ 【答案】钢笔的单价为25元，毛笔的单价为29元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为元，根据“购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了2055元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出钢笔的单价，再将其代入中，即可求出毛笔的单价． 【详解】解：设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为元， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：钢笔的单价为25元，毛笔的单价为29元． 28．(百分数应用)某种打印机每台售价460元，比进价贵．如果一次性进货120台以上则进价可下降．某商场一次购进这种打印机150台，先按每台460元出售一批，然后降价出售，一共卖出135台，余下的全部免费赠送给山区小学，结果还盈利3490元，求该商场按每台460元出售的打印机是多少台？ 【答案】100台 【分析】此题较难，解答此题的关键：先求出总成本，进而设出所求量为未知数，进而找出数量的间的相等关系式，然后根据关系式，列出方程，解答即可． 把原进价看作单位“1”，原进价的是460元，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出原进价；进而把原进价看作单位“1”，优惠进价是原进价的，根据一个数乘分数的意义，求出优惠进价；进而根据“单价数量总价”求出总成本价，进而根据结果还盈利3490元，求出总收入；这时设按460元卖了x台，根据“原来卖460元出售的总价降价出售的总价总收入”列出方程，解答即可． 【详解】解：总成本： （元）； 设按460元卖了x台， ， 答：商场按每台460元出售的打印机100台． 29．某书店出售一种挂历，每售出1本可获得 8元利润．售出一部分后每本减价10元出售，全部售完．已知减价出售的挂历本数是原价出售挂历的．书店售完这种挂历共获利润 2860元．书店共售出这种挂历多少本？ 【答案】715本 【分析】本题考查比例性质，设书店原价售出这种挂历本，则减价出售的挂历本数，读懂题意，准确列出方程求解即可得到答案，掌握比例性质是解决问题的关键． 【详解】解：设书店原价售出这种挂历本，则减价出售的挂历本数， 原价每售出1本可获得 8元利润；减价出售每本减价10元， 减价后每本书亏2元， 由题意可得，，解得， 书店共售出这种挂历数为（本）， 结合实际意义，书店共售出这种挂历本． 30．列方程解应用题： 某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利=售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品两种商品分别为150件或90件 (2)第二次乙商品是按原价打8.5折销售 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．正确理解题意得出等量关系是解题的关键. （1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（）件，根据单价×数量＝总价，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（）件， 根据题意得， 解得， 则， 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品分别为150件或90件； （2）两种商品全部卖完后可获得利润(元) 设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意得， 解得， 答：第二次乙商品是按原价打折销售． 31．某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进货单价、销售单价如下表： 类型 进货单价（元） 销售单价（元） 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 【答案】(1)400只 (2)九折 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只，根据甲乙两种灯的总进价为46000元列出一元一次方程，解方程即可； （2）设乙型节能灯需打a折，根据利润售价进价，列出a的一元一次方程，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只． 由题意，得， 解得． 答：可以购进甲型节能灯400只； （2）解：设乙型节能灯需打a折， 则， 解得． 答：乙型节能灯需打九折． 【考点6比赛积分问题】 32．在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 【答案】九（1）班获胜7场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设九（1）班获胜x场，则平场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设九（1）班获胜x场，则平场， 根据题意得：， 解得：． 答：九（1）班获胜7场． 35．某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁 (1)通过观察积分表，直接写出负一场积______分； (2)求胜一场的积分： (3)若某队胜场总积分等于它的负场总积分的倍，请直接写出该队队名． 【答案】(1)； (2)分； (3)该队为前进队或东方队． 【分析】（）根据钢铁队即可求解； （）设胜一场积分，根据其中一个球队列出方程即可求解； （）设该队胜场，则负场，根据题意列出方程，求出该队的胜、负场次数即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由钢铁队可知，负一场积分， 故答案为：； （2）解：设胜一场积分， 由前进队得，， 解得， 答：胜一场的积分； （3）解：设该队胜场，则负场， 由题意得，， 解得， ∴该队胜场，负场， ∴该队为前进队或东方队． 33．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)5，2 (2) (3)D，答对了12道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题． 34．列二元一次方程组解应用题： 为“庆祝建党100周年”，中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动.“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道?乙队必答题得了多少分? (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 【答案】(1)甲队必答题答对18道，乙队必答题的得分为185分 (2)见解析 【分析】（1）设甲队必答题答对了x道，则答错了道，根据甲队得分170列方程求解即可； （2）“小黄的话”不一定对，理由为：根据规则：每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分． 【详解】（1）设甲队必答题答对了x道，则答错了道， 根据题意，得 ， 解得： 故甲队必答题答对18道， 乙队必答题只答错了1道， 乙队必答题的得分为 （分） （2）甲队目前的得分为170分， 乙队得分为（分） ①若乙队第2题抢答题答错，则乙得分为（分），第3题甲队抢答正确，则甲队得分为（分），甲队获胜； ②若乙队第2题抢答题答错，则乙队得分为（分），第3题乙队抢答错误，则乙队得分为（分），甲队的得分为170（分），甲队获胜； 故“小黄的话”不一定对． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解答本题的关键． 35．某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分； (2)． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列一元一次方程即可求解. 【详解】（1）解：由题意得(分)， 答：珍珍第一局的得分为6分； （2）解：由题意得， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【考点7 配套问题】 36．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母 (2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母． 解得 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． （2）设安排y小时生产螺柱． 解得． ． 根据实际意义取13090． 根据实际意义螺柱取， 则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母， 另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套． 37．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解． 【详解】解：设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板， 由题意，得， 解得， （人）． 答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 38．某家具生产车间有名工人生产家用餐桌和椅子，张桌子和把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产张桌子或把椅子． (1)分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？ (2)今年一套餐桌的成本比去年提高了，去年总投入了万元，今年投入的比去年多万元，结果生产的餐桌比去年少套，则今年的成本是每套多少万元？ 【答案】(1)安排名工人生产桌子，名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套； (2)今年的成本定每套万元． 【分析】（）设安排名工人生产椅子，则安排名工人生产椅子，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可； （）设去年的成本是每套万元，则今年的成本是每套万元，根据题意列分式方程，解方程并检验即可； 本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是理解清楚题意，找到其中的等量关系列出方程． 【详解】（1）设安排名工人生产椅子，则安排名工人生产椅子， 由题意得， 解得：， ∴， 答：安排名工人生产桌子，名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套； （2）设去年的成本是每套万元，则今年的成本是每套万元 ， 根据题意得， 解得： ， 经检验，是原分式方程的解 ， ∴， 答： 今年的成本定每套万元． 39．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？（请列方程解决问题） 【答案】用16张制作盒身，20张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设用x张白铁皮制作盒身，张制作盒底，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张白铁皮制作盒身，张制作盒底， 根据题意得∶ ， 解得， 当时，． 答：用16张制作盒身，20张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套． 40．用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由个矩形侧面和个正三角形底面组成，硬纸板可以按下面两种方法进行裁剪（裁剪后边角料不再利用） 方法：剪个侧面；方法：剪个侧面和个底面． 现有张硬纸板，那么多少张用方法裁剪，多少张用方法裁剪，可使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完？能做多少个盒子？ 【答案】张用方法裁剪，张用方法裁剪，可使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做个盒子． 【分析】设多少张用方法裁剪，则张用方法裁剪，根据侧面和底面的比为：，列出方程，即可． 【详解】设多少张用方法裁剪， ∴张用方法裁剪， ∴侧面的个数为：，底面的个数为：， ∵侧面和底面的比为：， ∴， 解得：， ∴盒子个数为：． 答：张用方法裁剪，张用方法裁剪，可使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做个盒子． 【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程解决实际问题的运用，找等量关系，列出方程． 【考点8 数字与日历问题】 41．下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【答案】(1)小明是星期二出发的 (2)的值不能等于74，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 【详解】（1）解：设小明出发的日期是10月的第x天， 根据题意得：， 解得， ∴小明出发的日期是10月的第3天， 由月历表可知，10月3号为星期二， 答：小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于74，理由如下： ∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m， ∴另外三个数为， 若，则， ∵10月15日在第一列， ∴此时不能出现“S型” ∴的值不能等于74． 42．月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①，106；②15，16，17，18 (2)能等于222，最小数为10，不能等于246，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历的特点是解题的关键． （1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25，26，27，28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，，，那么这4个数的和为，然后解方程求出的值，进而求出其他三个数； （2）设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知，分别等于222和246，分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点． 【详解】（1）解：①若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为 从月历上看，可知当框起来的数是25，26，27，28时，和最大，最大值为106． ②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为，由题意可知 解得 那么这4个数分别为15，16，17，18． （2）解：设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知 解得： 从月历看，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27； ∴能等于222，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；最小的数字是10， 不能等于246，理由如下： 当 解得： 从月历看，最小的数字是12，一行只有三个数，不符合要求． 43．观察下面三行数： ，，，，，…① ，，，，，…② ，，，，，…③ (1)第①行第个数是______；第②行第个数是______；第③行第个数是_____； (2)已知是其中的数，则它是第______行的第______个数； (3)取每行的第个数，若这三个数的和是，求的值． 【答案】(1)，，． (2)③，． (3)为或． 【分析】本题考查代数式排列的规律，乘方以及一元一次方程，能用含的代数式表示出每行数中的第个数是解题的关键． （1）观察发现每行数的排列规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）分两种情况列出关于的等式即可． 【详解】（1）观察所给数可知， 第①行中的第个数可表示为， 第②行中的第个数可表示为， 第③行第个数可表示为， ∴第①行第个数是， 第②行第个数是， 第③行第个数是． 故答案为：，，． （2）因为， 所以不在第①行和第②行中． 当， 解得． 所以是第③行的第个数． 故答案为：③，． （3）设第二行的第个数为，则第一行的第个数为，第三行的第个数为， 当为奇数时， 解得 ∵， ∴， ∴； 当为偶数时， 解得 ∵， ∴， ∴． 综上可得，为或． 44．我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空：________； (2)将循环小数写成分数的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的其他实际应用问题，掌握题目中的转化方法、解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）仿照题目中的方法列方程求解即可； （2）设，则，从而可得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴， 解得，， ∴． 45．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即“洛书”．数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）． (1)如图2，在这个幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为________； (2)①如图3，当________时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图4的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则________； (3)将幻方迁移到月历：如图5是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法是否正确，请说明理由． 【答案】(1)15 (2)①；②3 (3)不正确，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据幻方的特点，得到每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，是解题的关键： （1）列式计算即可； （2）①根据题意，列出方程进行计算即可； ②根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，列出方程进行求解即可． （3）设阴影方框的中央位置的数为，根据题意，列出方程求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：①由题意，得：， 解得：； 故答案为：； ②观察幻方可知：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍， ∴， 解得：； 故答案为：3； （3）不正确，理由如下： 设阴影方框的中央位置的数为，由题意，得：， 解得：； 观察图形可知，不存在阴影方框，其中央数字为21； 故该同学的说法不正确． 【考点9 方案选择问题】 46．周末，某校准备组织七年级学生看电影，由各班班长负责买票，票价为20元/张，电影院规定，50人以上可以购买团体票，团体票的优惠方案有两种选择： 方案一：全体人员打八折； 方案二：有7人免票，其他人员打九折， (1)二班有61名学生，选择____________更优惠（填“方案一”或“方案二”）； (2)一班班长说：“我们班无论选择哪种方案，付的钱都是一样的”，求一班的人数 【答案】(1)方案二 (2)63人 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出关于x的等式是解题关键． （1）根据两种方案分别得出总费用，比较即可得出答案； （2）根据已知得出两种方案费用一样，进而得出等式求出即可． 【详解】（1）解：∵方案一：（元）， 方案二：（元）， ∴选择方案二． 故答案为：方案二； （2）解：设一班有x人，根据题意得： ， 解得：， 答：一班有63人． 47．某学校计划购买20张办公桌和若干个书架，现从甲、乙两家商场了解到：同型号的产品价格相同，办公桌每张180元，书架每个60元，甲商场的优惠政策为每买一张办公桌赠送一个书架，乙商场的优惠政策为所有商品八折出售，设该学校购买个书架． (1)若到同一家商场购买所有办公桌和书架，则到甲商场和乙商场所需费用各多少元（用含x的式子表示）？ (2)若只到其中一家商场购买所有办公桌和书架，求当购买多少个书架时，两家商场所需费用相同？ 【答案】(1)甲商场所需费用为：元，乙商场购买需费用为：元． (2)40个 【分析】本题主要考查用字母表示数量关系，一元一次方程的运用，理解题意，列出相应的代数式是解题关键． （1）根据数量关系列式即可； （2）根据题意将（1）中两个代数式组成方程求解即可． 【详解】（1）解：到甲商场购买所需费用为：（元）， 到乙商场购买需费用为：（元）． （2）由题意，得：， 解得：． 答：当购买40个书架时，两家商场购买所需费用相同． 48．围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元． (1)求每副象棋和围棋的单价． (2)若学校准备购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元，那么最多能购买多少副围棋？ (3)若甲超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折；方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．若学校购买10副象棋和若干副围棋，则学校选用哪种方案购买围棋花费少？ 【答案】(1)每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元 (2)最多能购买 50 副围棋 (3)当购买围棋少于10副时，选用方案一购买围棋花费少；当购买围棋等于10副时，选择两个方案购买围棋花费相同；当购买围棋多于10副时，选用方案二购买围棋花费少 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）分，及三种情况，求出的取值范围或的值． （1）设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，根据“购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买副围棋，则购买副象棋，利用总价单价数量，结合总价不超过2250元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）设学校购买副围棋，则选用方案一所需费用为元，选用方案二所需费用为元，分，及三种情况，求出的取值范围或的值，此问得解． 【详解】（1）解：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元， 根据题意得，解得， 答：每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元； （2）解：设购买副围棋，则购买副象棋， 根据题意得，解得， 的最大值为50， 答：最多能购买50副围棋； （3）解：设学校购买副围棋，则若学校购买10副象棋和副围棋， 选用方案一所需费用为元； 选用方案二所需费用为元． 当时，， 当时，选用方案一购买围棋花费少； 当时，， 当时，选用两个方案购买围棋花费相同； 当时，， 当时，选用方案二购买围棋花费少； 答：当购买围棋少于10副时，选用方案一购买围棋花费少；当购买围棋等于10副时，选择两个方案购买围棋花费相同；当购买围棋多于10副时，选用方案二购买围棋花费少． 49．某超市推出周年庆优惠大酬宾活动，关于A、B两种商品，有如下促销方案： A商品 B商品 售价（单位：元） 100 20 方案1 买一件A商品，赠送一件B商品 方案2 A商品和B商品都打九折 （注：方案1、2不能同时参加） (1)购买A商品10件，B商品30件，选用哪种方案更划算？能便宜多少钱？ (2)如果购买A商品x件，购买B商品的件数比A商品多20件，则购买A商品多少件时，两种方案的花费相同？ 【答案】(1)选用方案1更划算，能便宜40元； (2)购买A商品5件时，两种方案的花费相同． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，方案设计问题． （1）方案一：买10件A，送10件B，还需买件B，然后求出总费用即可；方案二：总费用即可得出结果； （2）根据题意列出代数式，列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：方案一：（元）， 方案二：（元）， （元） 答：选用方案1更划算，能便宜40元； （2）解：方案1：， 方案2：， 由题意得， 解得， 答：购买A商品5件时，两种方案的花费相同． 50．某文具店的某种毛笔每支售价元，书法练习本每本售价元．该店为了促销该种毛笔和书法练习本，推出了两种优惠方案． 方案一：买一支毛笔赠送一本书法练习本； 方案二：按购买金额的九折付款． 某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔支，书法练习本本． (1)若该校按方案一购买，则需付款 元，若该校按方案二购买，则需付款 元(用含的式子表示)． (2)若该校购买本书法练习本，使用哪种方案更优惠？ (3)该校购买多少本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样？ 【答案】(1)， (2)方案一 (3)本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值； （1）利用总价单价数量，结合文具店推出的两种优惠方案，即可用含的代数式分别表示出该校按方案一购买及该校按方案二购买所需金额； （2）代入，求出该校按方案一购买及该校按方案二购买所需金额，比较后即可得出结论； （3）根据两种优惠方案的实际付款数一样，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：若该校按方案一购买，则需付款元； 若该校按方案二购买，则需付款元． 故答案为：，； （2）解：当时，（元）； （元）． ， 方案一更优惠； （3）解：根据题意得：， 解得：． 答：该校购买本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样． 51．某游泳馆推出两种游泳付费方式： 方式一：先购买会员卡，每张会员卡300元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费10元； 方式二：不购买会员卡，每次游泳付费25元． 设小明计划今年游泳次（为正整数）． (1)按方式一付费，则总费用为________元，按方式二付费，则总费用为_______元； (2)如果两种方式的总费用一样多，则他游泳次数是多少次； (3)若小明同学预计今年游泳费用为600元，他选择哪种付费方式游泳次数比较多？请加以说明． 【答案】(1)， (2) (3)方式一，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据收费方法，列出代数式即可； （2）根据题意，两种收费一样多，列出方程进行求解即可； （3）分别使两个代数式的值等于600，求出的值，进行判断即可． 读懂题意，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：方式一总费用为：元；方式二的费用为元， 故答案为：，； （2）由题意，得：，解得：， ∴游泳次数是20次； （3）方式一，理由如下： 由题意，得：当时，；当时，； ∵， ∴选择方式一付费，游泳次数比较多． 52．某海鲜经营户去批发市场采购梭子蟹，现有甲、乙两家商铺，它们的梭子蟹的品质一样，批发价均为元/千克，他打算选其中一家购买，这两家商铺推出了不同的优惠方式．甲商铺规定：批发数量若不超过千克，则按批发价销售；若超过千克，则全部按批发价的销售．乙商铺规定如下表： 数量范围（千克） 到千克的部分 超过千克到千克的部分 超过千克的部分 价格（元/千克） 批发价 批发价的 批发价的 【表格说明：价格分段计算，如：某人批发梭子蟹千克，则总费用：（元）】 (1)如果他批发千克的梭子蟹，那么他在哪家购买比较合算？请说明理由． (2)如果他批发千克梭子蟹（），那么他在哪家购买比较优惠？优惠了多少元？（用含有的式子表示） (3)最终他在甲家买了梭子蟹，比在乙家买同样重量的梭子蟹少花了元，请你算出他买了多少千克的梭子蟹． 【答案】(1)他批发千克的梭子蟹，在甲商铺购买比较合算； (2)他在乙商铺购买比较优惠，优惠了元； (3)他买了千克或千克的梭子蟹． 【分析】（）求出他批发千克的梭子蟹，在两个商铺的费用，再比较可得答案； （）在甲商铺批发千克梭子蟹（）费用为（元），在乙商铺批发千克梭子蟹（），费用为元，再相减即可； （）设他买了千克的梭子蟹，由他在甲家买了梭子蟹，比在乙家买同样重量的梭子蟹少花了元，知，再分两种情况列出方程可解得答案； 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1））在甲商铺批发千克的梭子蟹费用为（元）， 在乙商铺批发千克的梭子蟹费用为（元）； ∵， 答：他批发千克的梭子蟹，在甲商铺购买比较合算； （2）在甲商铺批发千克梭子蟹（），费用为（元）， 在乙商铺批发千克梭子蟹（），费用为元， ∵， 答：他在乙商铺购买比较优惠，优惠了（）元； （3）设他买了千克的梭子蟹， ∵他在甲家买了梭子蟹，比在乙家买同样重量的梭子蟹少花了元， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 答：他买了千克或千克的梭子蟹． 53．小王看到两个商场的促销信息如图所示． (1)当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？ (2)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ (3)小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？ 【答案】(1)甲超市付款180元，乙超市付款190元 (2)240元 (3)18.1元 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 【详解】（1）解：由题意可得， 当一次性购物标价总额是200元时， 在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：当一次性购物标价总额是200元时，甲超市付款180元，乙超市付款190元； （2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过200元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是240时，甲、乙超市实付款一样； （3）由题意可得， 小王两次到乙超市分别购物标价98元和150元时，需要付款：（元）， 小王一次性到乙超市购物标价元的商品，需要付款：（元）， （元）， 答：可以节省18.1元． 【考点10 分段计费问题】 54．某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 【答案】(1)元 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）首先起步价覆盖前，费用为10元．剩余的 在到的范围内，按元收费，即元．然后相加即可得出答案 （2）对于x（的整数）千米的路程：起步价覆盖前，费用为10元．接下来的 按元收费，即元．超过的部分按2元收费，即元．然后相加即可 （3）首先扣除起步价和到的费用，剩余的费用为超过的部分产生的，按2元计算，即可解答． 【详解】（1） ， ； 故答案为：元 （2）解： ， 故答案为：元． （3）解：设出租车行驶了x公里，根据题意得； 元， ， ， ， ， ， 答：共行驶了6公里． 55．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 用水量/月 单价（元/吨） 不超过吨的部分 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 注意：另外每吨用水加收元的城市污水处理费． 例如某用户2月份用水吨，共需交纳水费元． (1)若小明家2月份用水吨，共需交纳水费多少元？ (2)若小明家2月份共交纳水费元，那么小明家2月份用水多少吨？ (3)若小强和小明家2月份一共用水吨，共交纳水费元，其中小强家用水量少于吨，小明家用水量少于吨，那么小强和小明家2月份各用水多少吨？ 【答案】(1) (2) (3)小强和小明家2月份各用水和吨 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）由题意知，小明家2月份共需交纳水费，计算求解即可； （2）由题意知，当用水吨，共需交纳水费（元），由，可知小明家2月份用水超过吨但不超过吨，设小明家2月份用水吨，依题意得，，计算求解即可； （3）设小强家2月份用水吨，则小明家2月份用水吨，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，小明家2月份共需交纳水费（元）， ∴共需交纳水费元； （2）解：当用水吨，共需交纳水费（元）， ∵， ∴小明家2月份用水超过吨但不超过吨， 设小明家2月份用水吨， 依题意得，， 解得，， ∴小明家2月份用水吨； （3）解：设小强家2月份用水吨，则小明家2月份用水吨， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴小强和小明家2月份各用水和吨． 56．郑州市某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙 种商品每件进价40元，售价60元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 (1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共30件，恰好总进价为1320元，求购进乙种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，直接写出小贺在该商场购买了甲种商品 件． 【答案】(1)50， (2)购进乙种商品18件． (3)10或11 【分析】本题考查一元一次方程解决实际应用问题中活动分段计价问题，解题的关键是找到相应的等量关系式及分类讨论思想． （1）根据售价进价（1利润率）即可得到答案； （2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品件，根据费用列方程求解即可得到答案； （3）根据题意分两种情况讨论：购物金额超过560元，但不超过700元时和购物金额超过700元时，利用费用列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲的进价为a元/件， 则， 解得：， 故甲的进价为元/件； 乙商品的利润率为； （2）解：设购进乙种商品x件，则购进甲种商品件， 由题意得，， 解得：． ∴购进乙种商品18件． （3）解：设小贺在该商场购买了甲种商品b件 ①当购物金额超过560元，但不超过700元时， 由题意得， 解得：， ②当购物金额超过700元时， ， 解得：， 综上可得小贺在该商场购买甲种商品件10件或11件． 57．目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下： 一户居民一年用气量（单位：立方米） 电价（单位：元/立方米） 第档 不超过立方米的部分 第档 立方米以上至立方米（含）部分 第档 立方米以上的部分 (1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元． (2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）． (3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？ 【答案】(1) (2) (3)立方米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，有理数乘法的应用， （1）根据第档的价格列式计算即可； （2）根据，结合各阶梯价格列式计算即可； （3）设该户年用气量为立方米，根据“实际缴纳天然气费元”确定的范围，然后列方程求解即可； 正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵小明家年用气立方米，且， ∴小明家年应缴费：（元）， 故答案为：； （2）∵某户年用气量为立方米，且， ∴应缴费：（元）， 故答案为：； （3）解：当用天然气立方米时，费用为：（元）， 当用天然气立方米时，费用为：（元）， ∵， ∴缴纳天然气费元，使用量大于且小于立方米， 设该户年用气量为立方米， 依题意，得：， 解得：， ∴该户年实际用气量为立方米． 【考点11 几何图形问题】 58．已知一个小长方形的长和宽分别是和2，当5个形状、大小相同的小长方形拼成一个如图所示的大长方形，所标尺寸如图所示，求图中阴影部分面积是（    ） A．18 B．27 C．29 D．33 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出x的值．先列方程求出x的值，再用大长方形的面积减去5个小长方形的面积即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴， 故选：C． 59．如图，一个大长方形恰好分成个小正方形，其中最小的正方形面积是平方厘米，则这个大长方形的面积为（ ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程，设最大的一个边长为x，则其余正方形的边长分别为，，，，根据大的长方形的长边相等列方程解出x的值，然后求出面积是解题的关键． 【详解】设这六个正方形中最大的一个边长为x，图中最小正方形的边长是1，其余正方形的边长分别为，，，， ∴)， 解得：， 长方形的长为：，宽为：， 面积为：， 故选B． 60．如图，一个正方形先剪去宽为4的长方形，再剪去宽为5的长方形，且剪下来的两个长方形面积相等，则原正方形的面积为（    ） A．100 B．250 C．360 D．400 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设原正方形的边长为x，则第一次剪下的长方形面积为，第二次剪下的长方形面积为，根据两次剪下的长方形面积相等建立方程求出原正方形的边长，进而求出原正方形的面积即可． 【详解】解；设原正方形的边长为x， 由题意得，， ∴， 解得， ∴原正方形的边长为20， ∴原正方形的面积为， 故选D． 61．有A，B两种规格的长方形纸板，如图1，无重合无缝隙的拼成如图2所示的正方形，已知该正方形的周长为，A种长方形的宽为，则B种长方形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设B长方形的宽是，则B长方形的宽长是，大正方形的边长为，根据大正方形周长为，列出方程求解即可． 【详解】解：解：设B长方形的宽是，则B长方形的宽长是，大正方形的边长为， 依题意得： 解得 则B长方形的长是， 则B种长方形的面积是 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 62．把八张形状大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部（如图1、图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知盒子底部长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为，则盒子底部长方形的面积为（    ） A．150 B．176 C．204 D．234 【答案】A 【分析】设小长方形卡片的长为，则宽为m，用含m的式子表示两块阴影部分的周长，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用长方形的面积公式即可求出盒子底部长方形的面积． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，则宽为m， 由图2可知大长方形的宽为，长为， 则： 解得： ∴盒子底部长方形的面积． 故选． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 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