精品解析：北京市中央民族大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷

中央民大附中（朝阳）2024—2025学年第一学期期中练习 高二数学 一、单项选择题.本题共10道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.（每小题4分，共40分） 1. 如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法，减法的几何意义及相等向量的定义进行化简即可. 【详解】解：=，所以D正确，A，B，C错误. 故选：D 2. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定斜率，即可求得直线的倾斜角. 【详解】直线可化为：. 斜率为-1，所以倾斜角为. 故选:D. 3. 已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出立体图像,根据已知条件求得圆锥的高,即可求得答案. 【详解】设圆锥的高为,母线长为,底面半径为 画出立体图像,如图: 根据立体图形可得: 根据圆锥的体积计算公式: 故选:A. 4. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求得点的坐标，利用空间中两点间的距离公式计算即可. 【详解】因为点关于轴的对称点, 所以， 故选：A. 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面及面面位置关系判断各个选项即可. 【详解】对于A:若,则可能，A错误； 对于B:若,则可能,B错误； 对于C:若则可能不垂直，C错误； 对于D:若,则,D正确. 故选：D. 6. 已知向量，，，若，，共面，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出的值. 【详解】由于共面，所以存在，使得，即 ， 所以，解得：，所以. 故选：D. 7. 在正方体中，直线与直线所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，得到或其补角为直线与直线所成角，根据为等边三角形，故，得到答案. 【详解】连接，因为，， 所以四边形为平行四边形， 则，故或其补角为直线与直线所成角， 连接，则， 即为等边三角形，故， 直线与直线所成角大小为. 故选：C 8. 已知平面，，直线，如果，且，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义判断可得答案. 【详解】如图，若，且，，，可得，但， 若，且，，，由线面垂直的性质定理可得， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 9. 如图，在正方体中，点P为棱的中点，点Q为面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，根据求出的关系，然后可求出点到直线和直线的距离，进而可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为， 则，设， 故， 因为， 所以，即， 所以， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 故，， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：以点为原点建立空间直角坐标系，设，根据求出的关系，是解决本题的关键. 10. 如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（ ） A. 47m B. 48m C. 49m D. 50m 【答案】A 【解析】 【分析】根据梯形中位线求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意可知六点共面， 设正六边形的中心为，连接， 平面且平面， 依题意可知相交于， 连接交于，连接交于， 根据正六边形的性质可知四边形是菱形，所以相互平分， 则相互平分，根据梯形中位线有， 即， 在梯形中，是的中点，则是的中点， 所以， 同理可得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点睛：研究空间图形的结构，关键点在于利用空间平行、垂直、中点等知识.在本题中，柱子与地面垂直，柱子之间相互平行.柱子之间高度不相同，则构成了梯形，则可考虑利用中位线来对问题进行求解. 二、填空题，本题共5道小题（每小题5分，共25分） 11. 已知，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量坐标表示的线性运算律计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得两平面的法向量共线，再根据空间向量的共线定理即可得解. 【详解】因为， 所以两平面的法向量共线， 所以存在唯一实数，使得， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 13. 如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由图可得 . 故答案为：. 14. 已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解. 【详解】因为是直线的法向量， 所以直线的斜率， 又点是直线上点，所以直线的方程为， 整理得. 故答案为：. 15. 已知正方体的棱长为2，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论： ①的面积的最大值为； ②满足使的面积为2的点有且只有4个； ③点可以是的中点； ④线段的最大值为3． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】先找出的运动轨迹，再结合图像逐项分析，即可得解. 【详解】取的中点为，连接， 因为为的中点，所以，，， 所以，所以，又， 所以，所以， 又平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 平面，所以平面平面，又平面平面， 所以的轨迹为线段， 对于①，由图可知，当在上时，此时三角形面积最大， 因为，所以面积的最大值为，故①正确； 对于②，由图可知，当或时，的面积为2， 所以满足使的面积为2的点有且只有2个，故②错误； 对于③，由图易知，点不可能在线段上，所以点不可能是的中点，故③错误； 对于④, 由图易知，当与重合时，此时长度最大，最大值为，故④正确. 故答案为：①④. 三、解答题，（本题共6道小题共85分） 16. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求直线的斜率； （2）求中线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式直接求出斜率. （2）求出及直线的斜率，再利用直线的点斜式求出方程. 【小问1详解】 直线的斜率. 【小问2详解】 依题意，边的中点，则直线的斜率， 所以直线的方程是，即. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点.求证： （1）∥平面； （2）平面. 【答案】（1）证明：因为E，F分别为，的中点，，， 则且，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面， 所以∥平面. （2）证明：因为四边形为正方形，则， 且，则， 又因为平面，平面，则. 且，则， 且，平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据平面性质可得，再根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为的正方形，E，F分别为PB，PC的中点． （1）求证：平面ADE⊥平面PCD； （2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值． 【答案】（1） 平面，且平面，， 在正方形中，易知， ，且平面，平面， 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理以及判定定理，可得答案. （2）由题意，建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，求出平面的法向量，利用线面角正弦值的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，，， 由分别为的中点，则，， 取直线的方向向量为， 在平面内，取向量，， 设平面的法向量， 则，，令，则， 故平面的一个法向量， 设直线与平面的夹角为， 则. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，点是的中点，直线交平面于点. （1）求证：点是的中点； （2）求二面角的大小 （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，平面，平面， 所以平面. 因为直线交平面于点. 所以平面平面，平面， 所以，所以. 因为点是的中点，所以点是的中点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行，再由线面平行的性质得出线线平行即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦即可得解； （3）利用点到平面的距离求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面, 所以，. 因为， 所以，，两两相互垂直. 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，. 所以，. 设平面的法向量为， 则，即 令，于是，，所以. 又因为平面的法向量为. 所以. 由题知，二面角是钝角， 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为d， 因为，则. 20. 在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） 若为中点，连接、，又M为AB的中点. ∴，由，则， 又△为等腰直角三角形，，易知：， 由，则面， ∵面， ∴. （2） （3） 若存在N使得平面平面，且，， 由（2）知：，，则，， 若是面的一个法向量，则，令，则， ∴，可得. ∴存在N使得平面平面，此时. 【解析】 【分析】（1）为中点，连接、，由中位线、等腰直角三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质可证结论. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，由法向量的夹角公式即可得解. （3）假设存在N使面面PAB且，，由（2）易得，进而求面的法向量，由面面垂直易得求参数，即可确定存在性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得面，， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面，， 构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， ∴，则，，， 若为面的一个法向量，则，令，即， 若为面的一个法向量，则，令，即， ∴， 由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 21. 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，，则和的内积定义为，且. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； （3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：. 【答案】（1） （2）假设存在14个两两垂直的14维信号向量， 因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设， 因为，所以有7个分量为， 设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个， 所以，可得，矛盾， 所以不存在14个两两垂直的14维信号向量. （3）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到， 则，设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为， 所以， 令所以，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解； （2）根据题意，不妨设，得到有7个分量为，设的前7个分量中有个，得到7个分量中有个，进而求得的值，即可求解； （3）任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，结合维向量的定义， 则两两垂直的4维信号向量可以为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给线性相关的定义进行运算判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中央民大附中（朝阳）2024—2025学年第一学期期中练习 高二数学 一、单项选择题.本题共10道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.（每小题4分，共40分） 1. 如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 3. 已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 4 5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知向量，，，若，，共面，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 9 7. 在正方体中，直线与直线所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面，，直线，如果，且，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图，在正方体中，点P为棱的中点，点Q为面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（ ） A. 47m B. 48m C. 49m D. 50m 二、填空题，本题共5道小题（每小题5分，共25分） 11. 已知，则_______. 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则______． 13. 如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于__________. 14. 已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______． 15. 已知正方体的棱长为2，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论： ①的面积的最大值为； ②满足使的面积为2的点有且只有4个； ③点可以是的中点； ④线段的最大值为3． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题，（本题共6道小题共85分） 16. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求直线的斜率； （2）求中线的方程. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点.求证： （1）∥平面； （2）平面. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为的正方形，E，F分别为PB，PC的中点． （1）求证：平面ADE⊥平面PCD； （2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，点是的中点，直线交平面于点. （1）求证：点是的中点； （2）求二面角的大小 （3）求点到平面的距离. 20. 在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 21. 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，，则和的内积定义为，且. （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； （3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $