2.3.1～2.3.3(一次式、一次式的同类项、一次式的加减)学生讲义2024-2025学年沪教版(上海)六年级数学上册

《一次式》 模块一：一次式的概念 代数式5x-3y＋4是5x、-3y和4的和，我们把5x、-3y、4称作代数式5-3y＋4的项. 5x、-3y只含有一个字母，且字母的指数是1，叫作一次项.不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数. 例如，5.x的系数是5，-3y的系数是-3；代数式-x＋2y的一次项是-x和2y，一次项的系数分别是-1和2. 方法规律：x和-x的系数分别是1、-1，而系数 “1”遇常省略不写. 像这样，由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式. 例：-2b、7-、6m＋7m、 等都是一次式，但m²、 a-b²、6＋3c-c2、-9等都不是一次式. 例题精讲 【例1】 下列代数式，哪些是一次式? -2x2、x、、、、a2＋2a＋1、2x-y＋3z-1 【例2】指出下列一次式中的一次项、常数项及一次项的系数. -2x＋y＋1 x-2 3a-5b-8 【例3】已知（a-1）x3＋xb﹣1是关于x的一次式，则a，b的值分别是（　　）. A．0，3 B．0，1 C．1，2 D．1，1 【例4】一次式中b的系数是　 　，常数项是　 　． 【例5】下列结论中正确的是（　　）. A. -y没有系数 B. 一次式-的一次项是-x、y C. 一次式-＋1的常数项是1 D. 一次式-的一次项系数是-、- 【例6】已知（n-3）xn﹣1＋x-2是关于x的一次式，约定x0＝1（x≠0），求n的值． 【难度】★★★ 模块二：一次式的同类项 1. 在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项，所有常数项都是同类项. 2. 一次式中含字母的同类项可以合并，合并时只要把含字母的同类项的系数相加.一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项. 3. 合并一次式同类项的方法：把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加. 例题精讲 【例7】下列说法中正确的是（　　）. A. 在一次式中，常数项没有同类项 B. 在一次式中，2x与2y是同类项 C. 一次式与一次式的和一定是一次式 D. 在一次式中，-3y 与-是同类项 【例8】合并同类项： （1）3x+4x （2）-7a+3a 【例9】指出并合并下列一次式中的同类项. （1）3a-b-5a＋a＋2 （2）2x＋3y-4-x-5y＋1 【例10】化简下列一次式： （1）5m-3-6m （2）-5x＋6y-4＋2x-2y-2 （3）m-2n＋m＋n （4）a - b - b - a＋a - b 模块三：一次式的加减 数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“+”号，去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“-”号，去掉括号后，括号内各项都变号. 如下所示，根据去括号方法区我们可以分别求出（2.5x-2）+（3x+8）和（2.5x+8）-（1.5x-3）的结果 【方法规律】几个一次式相加减，通常用括号把每个一次式括起来，再用加减号连接。 例题精讲 【例11】化简-2a＋(2a－1)的结果是（　　）. A. -4a-1 B. 4a-1 C. 1 D. -1 【例12】化简x-(x-y)的结果是（ ）. A. -y B. y C. 2x+y D. 2x-y 【例13】化简 m-n-(m＋n)的结果是 . 【例14】先去括号，再合并同类项. （1） (4-7x）＋(5x＋3） （2）-(3y-10）-(4-2y） （3） 【例15】在等号右边的横线上，填写适当的项. （1） a＋(b＋c-d）=a （2） a-(b-c＋d）=a （3） a-b-c-d＋e=a-b＋( ）＋e （4） a＋b-c＋d＋e=a＋b-( ） 【例16】（1）求3x-5与2-y＋5x的和； （2）求4m减去3n-5m＋1的差. 【例17】小明在一次计算中把写成了，则计算的结果比原来　　. A．增加了3 B．减少了3 C．增加了12 D．减少了12 【例18】一次式M与-2x＋3y的和是-5x＋2y，则M等于（　　）. A．-7x＋5y B．3x＋y C．-3x-y D．7x-5y 【例19】长方形的一边长为2a+3b，其邻边长比它小a-b，则该边长为（ ）. A. 3a+2b B. 3a－2b C. a－4b D. a+4b 【例20】{-[-(a＋b)]}-{-[-(a-b)]}去掉括号得 . 【难度】★★★ 【例21】已知A=3a-2b＋c，B=a＋4b-2c，C=a-3c.求：A-(B＋C). 【难度】★★★ 【例22】先化简，再求值：5x-3y-x＋y＋2，其中x= -，y=2. 【例23】当x= 时，求 - ＋的值. 【例24】 已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足※． 求※※　　. A． B． C． D． 【难度】★★★ 【例25】任取一个两位数，将它的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，将新的两位数与原先的两位数相加，所得的和有什么特点？为什么？ 【难度】★★★ 【例26】某城市自来水收费实行阶梯式水价，收费标准如表所示： （1）若某用户5月用了21水，请分别写出当0≤ x ≤12，12<x≤18，x>18时，该用户的用水费； （2）当某用户月用水量分别为10t，16t时，则各需付水费多少元？ 【难度】★★★ 课堂练习 1. 下列说法正确的是（ ）. A. -8是一次式 B. a＋2b-3c＋4d-5不是一次式 B. ＋5是一次式 D. 是一次式 2. 下列各式中，合并同类项正确的是（ ）. A. 2x＋3x=6x B. 2x-5x=3x C. 7m＋7n=7mn D. 3y-(-3y)=6y 3. 代数式m-5n-6的一次项系数分别是 . 4. 一次项中-的一次项是 ，常数项是 . 5. 如果3xm-n-1是一次式，其中m、n是常数，那么（n-m）2024= . 6. 指出下列一次式中的一次项、一次项的系数和常数项. 5y x+ 8x-7y-5 7. 化简下列一次式： （1）4x＋5-2x＋7y （2）4x-6y-4＋5y-2x-2 （3）m-n＋m＋n （4） - 8. 先化简，再求值：-（2x＋3y）＋（4x-3y＋1)-(2x-y-4），x=1，y=-1. 9. A、B、C、D四个车站的位置如图所示，车站B距车站A、D的距离分别为、，车站C与车站D的距离为．其中，是不为0的实数． （1）求B、C两站之间的距离（用含、的代数式表示）． （2）若B、D两个车站之间的距离比A、B两个车站之间的距离长，求出B、C两个车站相距多少？ 作业巩固 1．下列代数式是一次式的是（　　）. A．8 B．4s＋3t C．xy D． 2. 合并3a＋3b-a-3b＋3的同类项时，为3a同类项的是（　　）. A．3 B．-a C．3b D．-3b 3. 式子（a-1）x3＋x（b-1）是关于x的一次式，则a、b的值可能为（　　）. A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 4．一次式1-y＋2x的第二项是　 　，第三项的系数是　 　． 5．若一次式3a＋2b-1的值为3，那么一次式6a-5＋4b＝　 　． 6. 在横线上填入合适的一次式：2a＋( )=a-2 7. 当x=2，y=3时，代数式2x-3y+1+3x+2y-6的值为　 　． 8. 已知m是一个定值，一次式mx＋1与x-2的和仍是一次式，m须满足的条件是　 　． 9. 化简一次式： （1）2x＋3-5x＋8 （2）4x-5y-8＋5y-3x＋6 （3）x＋y＋3 （4）m-n-m＋m-m 10.先化简，再求值：(x＋y)-[3x -(-x＋y)]，其中x=-2，y= - 11. 甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲的速度为50 m/min. （1） 如果乙的速度为70m/min，甲、乙两人t min后相遇，请用含t的代数式表示A、B两地的距离. （2）如果甲先走4 min后乙再以40 m/min的速度出发，乙出发n min后两人相遇. ①请用含n的代数式表示A、B两地的距离. ②相遇时，甲和乙谁走的路程多，多多少？ 13. 我国宋代数学家杨辉提出了“杨辉三角”，如图，此图揭示了(a＋b)n(n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 例如：①（a +b）0=1，展开式只有一项，系数为1； ②（a +b）1=a＋b，展开式有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ③（a +b）2=a2＋2ab＋b2，展开式有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； ④（a +b）3=a3+3a²b+3ab²+b3，展开式有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为 8； 根据以上规律，解答下列问题： （1） (a+b)4的展开式共有 项，系数分别为 ，系数和为 ； （2） (a+b)n的展开式共有 项，系数和为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$