第3章 整式及其加减（知识点及常考题型精讲）2024-2025学年鲁教版（五四制）六年级数学上册

第3章 整式及其加减 知识点一 用字母表示数 一、代数式：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和字母连接起来的式子。 ①数字与字母相乘 数字写在字母前 “×”写作：“·”或省略不写 ②带分数与字母相乘 要写成假分数 ③数字因数为“1”或“－1”时 “1”常省略 ④除法运算 用分数线表示 ⑤式子为和或差或后有单位时 式子应用括号括起来 · 单独的一个数或一个字母也是代数式。 小试牛刀 1、下列式子中：－2a－5，－3，2a+1＝4，3x3+2x2y4，－b代数式的个数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ） A． B． C．元 D． 3、下列各式：①1x；②2•3；③20%x；④a－b÷c；⑤；⑥x-5；不符合代数式书写要求的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4、下列各式中，符合代数式书写规则的是（　　） A． B． C． D．2y÷z 5、三个连续整数中，中间一个是m，则最大的一个是（ ） A．m+1 B．m+2 C．m+3 D．m+4 6、甲数比乙数的3倍大2，若甲数为x，则乙数为（ ） A．3x－2 B．3x+2 C． D． 7、某商店举办促销活动，促销方法是将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，下列正确的是（　　） A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元 C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元 知识二 单项式 · 单项式：数与字母、字母与字母的乘积 注意：单独的一个数或字母也是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数（包括符合） 例：【易错】 · 次数：单项式中所有字母的指数和。 小试牛刀 1、判断下列各式是否为单项式： ，，，5，， 2、下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 3、单项式的系数与次数分别是（ ） A．和3 B．5和3 C．和2 D．5和2 4、下列说法中，正确的是（　　） A．x2的系数是 B．πa2系数是 C．3ab2系数是3a D．xy2系数是 5、若一个单项式同时满足：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，这样的单项式有（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 6、单项式的系数是_______________，次数是______________． 7、若是一个系数为9的6次单项式，则a＝___________，和b＝___________。 8、（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【题型2 单项式规律】 9、观察下列单项式：按照上述规律，第2024个单项式是（ ） A． B． C． D． 10、观察下列单项式：，，，，，根据规律，第个单项式为__________，第个单项式 为__________． 11、观察一列单项式：，，，，，…按此规律，第2024个单项式为__________． 12、观察下列关于的单项式：，，，，（1）直接写出第个单项式：___________； （2）第个单项式的系数和次数分别是多少？ （3）系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 知识点三 多项式 · 多项式：几个单项式的和； 其中，每个单项式叫做多项式的项 不含字母的项叫常数项。 · 次数：次数最高项的次数叫多项式的次数。 · n次m项式：若一个多项式含有m项，次数为n，则这个多项式叫做n次m项式。 注意：通常把一个多项式的各项按某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）的顺序排列。 小试牛刀 1、在下列各式：ab，，ab2+b+1，﹣9，x3+x2﹣3中，多项式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、在代数式，下列结论正确的是（　　） A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 3、多项式的次数和项数分别为（ ） A．5，3 B．5，2 C．2，3 D．3，3 4、下列说法中，正确的是（ ） A．多项式是五次三项式 B．多项式的常数项是 C．多项式的次数是2 D．单项式的系数为2 5、下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中， 单项式有_____________，多项式有________________．（填序号） 6、多项式3x2＋πxy2＋9中，次数最高项的系数是_________． 7、多项式3m3－2m－5＋m2的常数项是______________，一次项是_________，它是________次________项式。 8、已知多项式，其中五次项系数的和与常数项的差是_________． 【题型2 由多项式的概念求字母的值】 9、多项式x+7是关于x的二次三项式，则m＝　　　　　　　． 10、m为何值时，多项式是五次二项式？ 11、已知有理数a和有理数b满足多项式A，是关于x的二次三项式， 则　　　　　，　　　　　； 【题型3 将多项式按某个字母升（降）幂排列】 12、将多项式按字母的升幂排列得________________________． 13、把按字母的升幂排列后，其中的第二项是（ ） A． B． C． D． 知识点四 整式 一、概念：单项式与多项式的统称（分母中不含字母★） 小试牛刀 1．下列说法中，不正确的是（ ） A．的系数是，次数是4 B．是整式 C．的项是、，1 D．是三次二项式 2．关于整式，下列说法正确的是（ 　　） A．x2y的次数是2 B．0不是单项式 C．3πmn的系数是3 D．x3﹣2x2﹣3是三次三项式 3．下列说法中正确的个数是（　　） （1）﹣a表示负数； （2）多项式的次数是3； （3）单项式的系数为﹣2； （4）若|x|＝﹣x，则x＜0． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．对代数式，，，，，判断正确的是（    ） A．只有个单项式 B．只有个单项式 C．有个整式 D．有个二次多项式 5．把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号） ①x-7；②；③4ab；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪；⑫8a3x；⑬-1 · 单项式__________________________； · 多项式___________________________； · 整式__________________________________ 【题型2 数字类规律探究】 6．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2014次输出的结果为（　　） A．3 B．27 C．9 D．1 7．观察下式：①；②；③……第n（正整数）个等式为（ ） A． B． C． D． 8．已知下列一组数：1，，，，，…；用代数式表示第n个数，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 9．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则． 例如：，，若，，，，…， 依此规律，得到，，，…，（n为正整数），则：____________． 10．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（　　 ） A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3 11．用小棒按照如下方式摆图形．摆第8个图形需（　　 ）根小棒，摆第个图形需（　　 ）根小棒． 12．将①中正方形剪开得图②，②中共4个正方形；将②中一个正方形剪开得图③，③中共7个正方形；将 ③中一个正方形剪开得图④，④中共10个正方形……则第2024个图中共有正方形个数为（ ） A．6070 B．6067 C．2023 D．2024 知识点五 整式的加减 一、同类项：字母相同且相同字母的指数也相同的项（两者缺一不可）。 注意：几个常数项也是同类项。 小试牛刀 1、下列各组中的两个单项式是同类项的是（ ） A．3x与x2 B．3m2n与3mn2 C．abc与－abc D．2与x 2、下列各组是同类项的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 3、若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 4、如果单项式x2ym+2与xny的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（　　） A．m=2，n=2 B．m＝﹣1，n=2 C．m＝﹣2，n=2 D．m=2，n=﹣1 5、若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn的值是（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．1 6、已知x|m|y5与－ynx4是同类项，则m＝__________，n＝__________． 7、已知m、n为常数，代数式化简之后为单项式，则＝__________________． 二、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项的过程。 ❶法则：字母与字母的指数不变，系数相加减。 一找：找出同类项，并用不同标记标出 二移：将同类项集中到不同的括号内 三合：将同一括号内的同类项相加即可. ❷步骤 小试牛刀 1、如果kx2+（k+1）x+3中不含x的一次项，则k的值为（ ） A．1 B．－1 C．0 D．2 2、如果代数式的值与x的取值无关，那么＝_______________． 3、若总成立，则＝_____________． 4、多项式中，不含xy项，则k＝________． 5、已知关于x的多项式不含项和项，则当时， 这个多项式的值为_____________． 6、m，n为正整数，若多项式合并同类项后只有两项，则＝_________． 7、合并同类项：（1） 三、去括号和添括号★ · 括号外为“＋”：括号内各项符号不变。 · 括号外为“－”：括号内各项符号均改变。 小试牛刀 1、化简等于（ ） A．-2a B．2a C．4a-b D．2a-2b 2、下列去括号错误的是（ ） A．a－（b+c）＝a－b－c B．a+（b－c）＝a+b－c C．2（a－b）＝2a－b D．－（a－2b）＝－a+2b 3、若时，式子的值为4．则当时，式子的值为（ ） A． B．4 C．13 D．14 4、已知，，则的值是（ ） A．-1 B．1 C．5 D．7 5、填空：=+（___________）=（___________）； 6、若，则代数式＝______________． 7、去括号：（1）（a-b）+3（－c－d） （2）－3（a-b）－2（－c－d） 8、先化简，再求值： 9、若x+y＝2018，xy＝2017，则求整式的值 四、整式的加减步骤 第1步：去括号 第2步：合并同类项 第3步：最简：无同类项，无带分数 小试牛刀 1、已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（ ） A．－5x－1 B．5x+1 C．－13x－1 D．13x+1 2、长方形的一边长等于3a+2b，另一边比它大a－b，则这个长方形的周长是（ ） A．14a+6b B．7a+3b C．10a+10b D．12a+8b 3、若，，则＝（ ） A．5 B．1 C．－1 D．－5 4、若，则＝（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5、_____________________【换元/整体思想】． 6、若mn＝m+3，则2mn+3m－5nm+10＝ ______________________． 7、填空：若用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字， （1）则这个两位数可以表示为_________________。 （2）交换两位数的十位数字和个位数字，得到的新数是______________。 （3）将这两个数相减得：____________。 8、已知，求的值． 9、先化简，再求值：，其中，． 【题型1 整式加减中的错看问题】 10、嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚． （1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）–（6x+5x2+2）； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？ 11、由于看错了符号，某学生把一个代数式减去误认为加上，得出答案 ，你能求出正确的答案吗？（请写出过程） 【题型2 整式加减中的不含某项问题】 12、已知，，若关于的多项式不含一次项，则＝（ ） A．1 B． C．4 D． 13、已知多项式与多项式的差中不含有，则＝（ ） A． B． C．11 D．1 14、已知 ，．当的值与x无关时，___________． 15、若代数式的值与x的取值无关，则＝（ 　　） A．2 B． C． D． 【题型3 整式的加减中的遮挡问题】 16、小芳准备完成这样一道习题：化简：，发现系数“▲”印刷不清楚． （1）她把“▲”猜成3，请你化简：． （2）老师说：“你猜错了我看到这题标准答案的结果是常数．”请通过计算说明原题中“▲”是多少? 17、某人不小心把化简题前的一个数字遮住了，结果变成：■. （1）某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ （2）老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，则被遮挡的数字是几？ （3）若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【题型4 整式加减中的定值问题】 18、无论，取什么值，多项式的值都等于定值12，则＝__________． 19、已知，． （1）当，时，的值为__________； （2）若无论取何值时，总成立，则的值为__________． 【题型5 整式加减的实际应用】 20、有甲、乙两绳子，从甲绳上剪去全长的，余下绳子再接上米；从乙绳上先剪去米，再剪去余下绳子的，这时两根绳子所剩下的长度相等．原来这两根绳子比较，（ ） A．甲绳长 B．乙绳长 C．同样长 D．不能确定哪根长 21、如图，一块长方形铁皮长a，宽2b，以2b为直径分别剪掉两个半圆。 （1）求剩下铁皮的面积（用a，b表示）； （2）当a=4，b=1时，求剩下铁皮的面积？（π取3.14） 22、某纸箱厂计划用50张白板纸制作某种长方体纸箱，如图，每张白板纸有三种剪裁方法，其中种裁法：裁成4个侧面；种裁法：裁成3个侧面与2个底面；种裁法：裁成2个侧面与4个底面．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按种方法剪裁的白板纸有张，按种方法剪裁的白板纸有张． （1）按种方法剪裁的白板纸有______张．（用含的式子表示） （2）将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含的式子表示，结果要化简） ( 1 ) 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