精品解析：福建省龙岩市长汀县2024-2025学年上学期期中八年级数学试题

6学科网 组卷网 2024-2025年第一学期期中质量监测 八年级数学试题 (考试时间：120分钟；满分150分) 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.下列2024年巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是() 紫··频·必 【答案】B 【解析】 【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴”进行分析即可： 本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的 关键. 【详解】A、图形不是轴对称图形，不符合题意： B、图形是轴对称图形，符合题意： C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B 2.点A(2,-1)关于y轴对称的点B的坐标为() A.(2,1) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(-2,-1) 【答案】D 【解析】 【分析】根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得」 【详解】解：点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同 则点12，-D关于轴对称的点巴的坐标为（2，-) 第1页/共32页 命学科网组卷网 故选：D 【点睛】本题考查了点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标关于y轴对称的变换规律是解题关键. 3.在下列长度的四根木棒中，能与3cm,8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是() A.3cm B.5cm C.7cm D.12cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系解答即可. 【详解】解：，三角形的两边为3cm,8C, ∴.第三边长的取值范围为8-3<x<8+3, 即5<x<11, 只有C符合题意， 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边. 4.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是() 409 a 64° 6 62° A. 660 c720 D760 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的性质结合三角形内角和定 理计算即可得解， 【详解】解：，两个全等三角形， .∠1=180°-40°-64°=76°， 故选：D 第2页/共32页 6学科网 命组卷网 5.一个三角形三个内角度数之比是2：3：4，则这个三角形是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键， 根据三角形三个内角的度数之比，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再作出判断即可 【详解】解：三角形三个内角度数之比是2：3：4， 180×2=40°180×3=600180×4=800 2 3 ∴.∴.三角形的三个内角依次为： 9 9 9 该三角形一定是锐角三角形. 故选：A. 6.如图，点B、E在CF上，且△ABC≌aDEF.若CF=8,BE=4,则CE的长为() A.4 B.3 C.2 D3.5 【答案】C 【解析】 【分析】先得出BC=EF,进而可得CE=BF,再求出CE+BF=CF-BE=4,由此即可得. 【详解】解：：△ABC≌△DEF, BC=EF .BC-BE=EF-BE,CE=BF, ..CF=8 BE=4 第3页/共32页 6学科网 命组卷网 .CE+BF=CF-BE=4. ..CE+CE=4 .CE=2. 7,如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC,点D,E分别是AB,AC的中点，DM、 EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM=EM,已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有 △ADM≌△AEM,其判定依据是() A B ASA A B.AAS C.SSS D.HL 【答案】C 【解析】 【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可. AB,AC 【详解】解：：D、E分别是 的中点， :D=3AB4B=号4C 1 21 AB=AC, .AD=AE, 在△ADM和△AEM中， AD=AE AM=AM DM=EM 第4页/共32页 命学科网命组卷网 △ADM≌AAEM(SSS) 故选：C 【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键 8.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.4B=3cm AC=5cm B=90 B.BC=8cm∠A=60° C.AB=3cm BC=5cm C=50 D.∠A=60°.∠B=70°∠C=50 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.根据全等三 角形的判定方法一一判断即可 【详解】解：A·4B=3Cm,AC=5Cm∠B=90°，L能唯一确定三角形，木选项符合题意。 B、BC=8cm,∠A=60 ,不能唯一确定三角形，本选项不符合题意： AB=3cm,BC=5cm,∠C=50°SSA C、 不能唯一确定三角形，本选项不符合题意： ∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°，AAA D、· 不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； 故选：A. 9.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数 为() G B A.25° B.20° C.15° D.7.5 【答案】C 【解析】 第5页/共32页 学科网命组卷网 【分析】根据DF=DE,CG=CD,可得∠E=∠EFD,∠GDC-∠DGC,∠GDC是△EFD的外角，∠ACB 是△DGC的外角，根据外角的性质及等边三角形的每个内角都是60°，即可得到答案. 【详解】解：，DF=DE,CG=CD, ∴，∠E=∠EFD,∠GDC-∠DGC, .△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=60° :∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°， ∴.∠GDC=30° 又，'∠GDC=∠E+∠EFD, .∠E=15。. 故选C 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及等边三角形的性质，灵活应用外角的性质 是解题的关键， 10.如图，△ABC中，AB>AC,MN是边BC的垂直平分线，交AB于G,过点F作FE⊥AB于点 E,AF平分∠DAB交MN于F,连接BF,CF.下列结论：①FB=FC②FB+FCAB+AC③ AB-AC=2AE∠BFC=∠BAC ④ 其中正确的结论是() M G A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】 第6页/共32页 6学科网命组卷网 【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到FB=FC;过点F作FH⊥AC于点H,证明 △FBE≌AFCH 到BE=CH,结合4F平分∠DB,得到PE=M,维面4 AE=AH ,得 ,可证明 AB-AC=2AE FB+FC>AB+AC ;利用斜边大于直角边，证明 ；利用等腰三角形的性质，全等三 角形的性质，结合三角形内角和定理证明， 【详解】：MN是边BC的垂直平分线， .FB=FC 故①正确： 过点F作FH⊥AC于点H, AF平分∠DAB,FE⊥AB,FH⊥AC, .FE=FH, FA=FA FE=FH :.△FAH≌aFAE(H) .AE=AH, 「FB=FC FE=FH, :△FBE≌aFCH(HL) .∠FBE=∠FCH,BE=CH. AB-AC=BE+AE-(CH-AH)=BE+AE-BE+AH=2AE 第7页/共32页 学科网 命组卷网 D H F G B 故③正确： ·FB>BE,FC>CH, .FB+FC>BE+CH, .FB+FC>AB-AE+AC+AH. .FB+FC>AB+AC. 故②正确： .∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB. .∠BAC=180°-∠FBC+∠FBE-∠FCB-∠FCH=180°-∠FBC-∠FCB ∴.∠BFC=∠BAC. 故④正确： 故选D. 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边， 线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，直 角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质是解题的关键 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11.若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 【答案】9 第8页/共32页 6学科网 命组卷网 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为360°，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可 求得边数。 【详解】解：，任意多边形的外角和为360°，该正多边形的一个外角为40°，且正多边形的每个外角相 等， ∴.这个正多边形的边数为360°÷40°=9 12.一个等腰三角形两边的长分别为2m、5cm.则它的周长为 cIm】 【答案】12 【解析】 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm, 当腰长是5cm时， 则三角形的三边是5cm,5cm,2cm,5cm+2cm>5cm, 满足三角形的三边关系，三角形的周长是12cm: 当腰长是2cm时， 三角形的三边是2cm,2cm,5cm,2cm+2cm<5cm, 不满足三角形的三边关系. 故答案为12. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系： I3.如图，桌面上放置一个等腰直角△ABC,直角顶点C顶着桌面，若另外两个项点与桌面的距离分别为 3cm 5cm DE cm 和 过另外两个项点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离 的长度为 【答案】8 第9页/共32页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定及性质的应用；通过三角形全等，对应线段相等，对线段长度进行转 化.本题的关键是证明△ACD≌△CBE,利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找 对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而AD=CE,CD=BE,得到DE的长. 【详解】解：，∠CDA=∠ACB=∠CEB=90°. .∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90°， ∠ACD=∠CBE,∠DAC=∠ECB 在△ACD△CBE 和 中 ∠DAC=∠ECB CA=BC ∠ACD=∠CBE :.△ACD≌ACBE(ASA) .AD=CE,CD=BE, :DE=DC+CE=BE+AD=3+5=8(cm) 故答案为：8. 14.如图，△ABC中AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,若AB+BC=I0cm,则△DBC 的周长为 cm 第10页/共32页 命学科网 命组卷网 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据线段垂直平分线性 质知，DA=DB,△DBC的周长=BC+BD+DC=BC+DA+DC=BC+AC. 【详解】解：，AB的垂直平分线交AC于点D, :DA=DB. :.△DBC的周长=BC+BD+DC=BC+DA+DC=BC+AC=BC+AB=1Ocm, 故答案为：10 15.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上 用力一蹬，妈妈在距地面lm高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水 平距离BD、CE分别为l.4m和l.8m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 777777777777777 【答案】1.4m 【解析】 ∠COE=∠OBD AASn△COE≌△OBD 【分析】由直角三角形的性质得出 根据 可证明 由全等三角 形的性质得出CE=OD、OE=BD,求出DE的长即可解答，证明△COE≌aOBD(AAS)是解题的关 第11页/共32页 6学科网命组卷网 键。 ∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC 【详解】解：由题意可知： .∠B0C=90°， :.∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90° .∠COE=∠OBD. △COE△OBD 在 和1 中， ∠COE=∠OBD ∠CEO=∠ODB OC=OB :△COE2aOBD(AAS) CE=OD,OE=BD .BD、CE分别为1.4m和1.8m, .DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4m. AD=Im, .AE AD+DE=1.4m 故答案为：1.4m. 16.如图，在△ABC中，∠BAC=76°，AD平分∠BAC交BC于点D,P为线段AD上一动点，卫为边 BP+PO AB上一动点，当 的值最小时， ∠APB= 第12页/供32页 6学科网组卷网 【答案】128 【解析】 【分析】本题考查的角平分线的性质，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，如图，过B作 BG LAC于G,交AD于P,此时 BP+PO=BP+PG=BG ，此时最短，再结合角平分线与三角形 的内角和定理可得答案。 【详解】解：如图，过B作BG⊥AC于G,交AD于P, P9⊥AB 当 时，而D平分 BAC PO-PG BP+PQ=BP+PG-BG 此时最短， :∠BAC=76°，AD平分∠BAC, ∠ABG=90°-76°=14，∠ABP=)∠BAC=380 .∠APB=180°-14°-38°=128°， 故答案为：128 第13页/共32页 6学科网 命组卷网 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17如图，点A,B,D,E在同一直线上，点C,F在E两侧，ACEF,AB=DE, ∠ABC=∠EDF AC=EF ,求证： 【答案】 证明：AC∥EF, ∴.∠A=∠E, AB=DE .:∠ABC=∠EDF ∴△ABC≌△EDF(ASA) ∴.AC=EF 【解析】 【分析】根据ACEF,AB=DE可得∠A=∠E,进而证明△ABC≌EDF(4SM), 即可证明结论： 本题考查全等三角形的判定与性质，关键是掌握判定方法. 【详解】略 18.己知，如图，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°， 第14页/共32页 6学科网6组卷网 求∠DAE的度数. E D 【答案】10° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理为180度，得∠BAC,根据三角形角平分线平分∠BAC，三角形高为直 角，即可求出∠DAE的度数 【详解】：∠B+∠C+∠BAC=180°且∠B=30°，∠C=50° .∠BAC=100° :AE是△ABC的角平分线 .∠BAC=2∠EAC .∠EAC=50° 又.AD是△ABC的高 .∠ADC=90° ∴.在△ADC中，∠ADC+∠C+∠CAD=180° .90°+50+∠CAD=180° :.∠CAD=40° .∠EAC=∠CAD+∠DAE=50° 第15页/供32页 6学科网 命组卷网 .40°+∠DAE=50° .∠DAE=10° 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质等知识；解题的关键是掌握，三角 形内角和为180°，角平分线平分角。 19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° (1)作∠BAC的平分线交BC于点D(不写作法，保留作图痕迹)· (2)在(1)的条件下，若CD=3,AB=10,则△ABD的面积为」 B 【答案】 (1)如图所示： A B (2)15 【解析】 【分析】(1)根据基本作图-作角平分线的方法作出图形即可. (2)过点D作DE⊥AB于E.证明DE=DC-3,再利用三角形的面积公式可得结论. 【详解】解：(1)略 (2)过点D作DE⊥AB于E. 第16页/供32页 命学科网命组卷网 :∠ACB=90°，AD平分∠BAC,CD=3,AB=10, ∴.DE=DC=3, 5m740-DE=x10x3=15 2 E B 【点睛】本题考查作图基本作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型， 20.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他的测量步骤如 下： ①选取塔的顶端作为参照点A: ②地面直线1上取测量点C,在C处用工具测得∠ACB=15°： ③沿射线CB的方向行走至测量点D,点D和点C在塔的同测，并在点D处用工具测得∠ADB=30°： ④测得行走距离CD=a. 请你根据小明的测量步骤，求出塔高AB的长度. 30 150 B D a C e 【答案】2. 【解析】 第17页/供32页 6学科网6组卷网 AB=AD 【分析】在Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得 2 ，再根据三角形外角性质可得 ∠ACB=∠DAC=15 AD=CD=a ,则有 【详解】在Rt△ABD中，∠ADB=30°， 2 .∠ADB=∠ACB+∠DAC,∠ACB=15o .∠ACB=∠DAC=15°， .'AD=CD=a, AB=a 【点睛】此题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质与判定，30°角所对的直角边是斜边的一半，解 题的关键是熟练掌握以上知识的应用， 21.如图在正方形网格中，直线1与网格线重合，点A,C,A,B均在网格点上 (1)已知 △AB'C和AMB 关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A'BC 和 补充完整； 第18页/共32页 6学科网 组卷网 (2)在以直线1为y轴的坐标系中，若点A的坐标为 a,b ,则点A的坐标为 【答案】(1) △AB'C" 由轴对称的性质作图如下， 即为所作； (B) B (2) (-a,b) 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，关于’轴对称的点坐标的性质.熟练掌握作轴对称图形，关于'轴对 称的点坐标的性质是解题的关键， (1)利用轴对称的性质作图即可： (2)根据关于y轴对称的点坐标横坐标互为相反数，纵坐标相等作答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由轴对称的性质可知，点A的坐标为（一a,b) 故答案为： （-a,b) 22.如图，AD是△ABC的BC边上的中线，E是AD上一点，延长AD到点F,使DF=DE.连接 BE,CF G DA BG 是 延长线上一点，连接 第19页/共32页 6学科网组卷网 G E (1)求证：BE=CF: (2)若BG=CA,AG=2DF,求证：∠G=∠CAF. 【答案】(1) 证明：：AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD 在△BED和△CFD中， DE=DF ∠BDE=∠CDF BD=CD ∴.△BED≌ACFD(SAS) ..BE=CF (2) 解：由(1)知DE=DF. ∴.AG=2DF=EF ∴.GE=AF 在△BGE和△CMF 和 中， 第20页/供32页 命学科网 组卷网 BG=AC BE=CF GE=AF ∴.△BGE≌△CAF(SSS), ∴.∠G=∠CAF. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键， (I)先由中点得出BD=CD,再运用SAS证明△BED≌△CFD,即可作答. (2)由(I)知DE=DF.运用线段关系得GE=AF,再SSS证明△BGE≌aCAF,即可作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23.已知，如图在等边△ABC中，点D为AB边上一点，点E为BC边上一点，连接DE并延长DE交 AC 延长线于点F,DE=FE,过点E作EGLBC交MC于点G 于点 (1)求证：BD=CF: (2)当DF⊥AB时，试判断以D、E、G为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1) 第21页/供32页 6学科网 组卷网 证明：过点D作DH∥AC交BC于H, D B H ∠DHB=∠ACB :△ABC 是等边三角形， ∴.AB=AC∠B=∠ACB=60° ∴.∠B=∠DHB=60° .DB=DH, .DH∥AC .∠HDE=∠F∠DHE=∠FCE DE=FE. :∴ADEH≌aFEC(AAS) .DH=FC. :.BD=CF (2) 以D、E、G为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由： 连结DG, 第22页/供32页 6学科网组卷网 ED⊥AB于D, ∴.∠B+∠DEB=90°∠B=60° ∴.∠DEB=90°-∠B=30° 又：EG⊥BC,∠ACB=60°， ∴.∠DEB+∠GED=90°∠EGC+∠GCE=90° ∴.∠GED=90°-∠DEB=60°∠EGC=90°-∠GCE=30° 由(1)知DH=BD.∠B=60 .△BHD为等边三角形， .∠BDH=60° ∴.∠HDE=90°-∠BDH=30° ∠F=∠HDE=30° ∴.∠F=∠EGC=30° ∴.GE=EF=DE ∴△DEG 为等边三角形： 【解析】 第23页/供32页 6学科网 命组卷网 【分析】(I)过点D作DH∥AC交BC于H,证明△DEH≌aFEC(AAS),根据全等三角形的性质得 出结论： (2)连结DG,根据补角的概念得到∠DEG=60°，根据等腰三角形的判定定理得到EG=EF,进而 得到EG=ED,根据等边三角形的判定定理证明即可： 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题 的关键 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24.请根据以下素材，完成探究任务 探究等角三角形 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角 形互为“等角三角形”、 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点 之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一 个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫 做这个三角形的“等角分割线”， 任 务 D D D 图 图1 图2 备用图 探 如图1， Rt△ABC电，∠ACB=90,CD⊥AB,ABCD和△ACD 中， 究 等角三角形（填“是”或者“不是”）· 第24页/供32页 学科网组卷网 如图2，在ABC CD ∠A=40°∠B=6 ,求： CD 中， 为角平分线， $ 为△ABC的等角分割线. .△ABC ∠A=42°CD。△ABC 中， 是 的等角分割线，若△1CD 等腰三角 形，请求出∠ACB的度数. 【答案】任务1：是： 任务2：证明：在△1BC中，∠A=40、∠B=60 则∠ACB=80 .CD 为角平分线， ·∠ACD=∠DCB=1∠ACB=40 .∠ACD=∠A, 则CD=DA, :∠DCB=∠A∠B=60° ∴.∠BDC=80° 则∠BDC=∠ACB, .CD=DA∠BDC=∠ACB∠DCB=∠A∠B=∠B CD为△MBC 等角分割线. 任务3：84或111 第25页/供32页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】任务1：推出∠ADC=∠BDC=90°∠A=∠BCD,∠ACD=∠B,从而得出结论； 任务2：可计算得出∠ACD=∠A,得出△ACD是等腰三角形，再结合 ∠BCD=∠A=60°，∠B=∠B,∠BDC=∠ACB=80° 从而得出结论： 任务3：当aACD AC=AD,AD=CD,AC=CD 是等腰三角形时，分为： 三种情形讨论即可： 本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类讨论 【详解】解：任务1：是 CD⊥AB ∴.∠ADC=∠BDC=90° ∴.∠A+∠ACD=90° .∠ACB=90° .∠ACD+∠BCD=90° ∴.∠A=∠BCD ∴.∠ACD=∠B ∴.△BCD△ACD 和 是等角三角形： 任务2：略 任务3： ①当DA=DC时，如图1， D B 图1 ∠ACD=∠A=42° 第26页/供32页 6学科网命组卷网 .CD△ABC 是 的等角分割线， .∠ACB=84° ②当DA=AC时，如图2， D 图2 ∠ACD=∠ADC=69° CD△ABC 是 的等角分割线， ∴.∠BCD=∠A=42° 则∠4ACB=69+42°=11r ③当4C=DC时，∠MDC=∠A=42 则∠BDC=180-42°=138=∠4CB 那么∠B=180-42-138=0（合去)， 放∠ACB的度数为84或11T 25.(1)情境观察： ①△ABC∠MAC=45°CB⊥AMAF⊥MC 如图 中， 垂足分别为B、F,CB与F交于点 E,△ABE与△CBM全等吗？请说明理由； (2)问题探究： 图②，AMBC中，∠B1C=45°，B=BC,MF平分∠BAC,CF⊥MF,AF与BC交于点E. 如图， 第27页/共32页 6学科网 命组卷网 猜想AE与CF之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ③△ABC ② 如图 中，∠B1C=45°，4B=BC,受因②结论的启发，小聪在1C上取了一点D,作 ∠FDC=22.5°CF⊥DE DF BC DE 交 C于点E,若FC=2 ,请你帮小聪求出 的长 BA E 图① 图② 图③ 【答案】(I)全等，理由如下： .CB⊥AM,AF⊥MC, B M F 图① :.∠ABC=∠MBC=∠AFM=90°， .·∠BAC=45°， .∠ACB=90°-45°=45°， .∠BAC=∠ACB, .AB=BC, .∠M+∠BCM=∠M+∠BAE=90° 第28页/共32页 6学科网列组卷网 .∠BCM=∠BAE, :△ABE≌ACBM(ASA) (2)AE=2CF;理由如下： 延长AB,CF交于点G,如图所示： B G .∠BAC=45°，AB=BC, ∠ACB=∠BAC=45°， .∠ABC=180°-45°-45°=90°， .∠CBG=180°-90°=90°， ∴.∠ABC=∠CBG :AF平分∠BAC, .∠GAF=∠CAF」 AF⊥CF, .∠AFG=∠AFC=90° AF=AF, :aAFG≌aAFC(ASA) 第29页/供32页 6学科网6组卷网 CF-GF=LCG 2 .∠G+∠BCG=∠G+∠GAF=90°， .∠BCG=∠GAF .AB=BC,∠ABE=∠CBG. :.△ABE≌ACGB(ASA) .AE=CG=2CF (3)4. 【解析】 【分析】(I)由∠ABC=∠MBC=∠AFM=90°，得∠BAC=∠ACB,则AB=BC,即可证明 △ABE≌ACBM (2)延长4B,CF交于点G,先证明△AFG空△FC(ASA)得CF=GI=亏CG ,再证明 AABE2aCGB(ASA),根据性质即可求证： (3)过点D作DG∥AB交CF的延长线于点G,交BC于点H,先证明△CGH≌aDEH(AAS),得 DE=CG,再由等腰三角形的判定得∠CDE=∠GDF,再证明△DFG≌aDFC(ASA ,根据全等三角 形的性质和线段和差即可求解. 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，同角的余角相等， 直角三角形的两个锐角互余等知识，熟练掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键. 【详解】(1)略 第30页/共32页 6学科网列组卷网 (2)略 (3)过点D作DG∥AB交CF的延长线于点G,交BC于点H,如图所示： :∠BAC=45°，AB=BC, H .∠ACB=∠BAC=45°， :DG∥AB, .∠CDH=∠BAC=45°， ∴.∠DHC=180°-45°-45°=90°. ∠CHG=180°-90°=90°， .∠DHE=∠CHG. ,∠CDH=∠DCH, .CH=DH, DF⊥CF, .∠DFC=∠DFG=90° .∠G+∠GCH=∠G+∠HDE=90°， 第31页/供32页 6学科网 命组卷网 .∠GCH=∠HDE, :.△CGHI≌aDEH(AAS) .DE=CG .∠CDH=45°，∠CDE=22.5° .∠GDF=45°-22.5°=22.5°， .∠CDE=∠GDF. .∠DFC=∠DFG=90°，DF=DF, :.△DFG≌aDFC(ASA) .CF=GF=2. .DE=CG=CF+FG=4」 第32页/供32页 2024-2025年第一学期期中质量监测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列2024年巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 点 A (2，-1)关于 y 轴对称的点 B 的坐标为（ ） A. (2, 1) B. (-2，1) C. (2，-1) D. (-2，- 1) 3. 在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. 3cm B. 5cm C. 7cm D. 12cm 4. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个三角形三个内角度数之比是，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 6. 如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 7. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（） A. ，， B. ， C. ，， D. ，， 9. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（ ） A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5° 10. 如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 12. 一个等腰三角形两边的长分别为2m、5cm．则它的周长为________cm． 13. 如图，桌面上放置一个等腰直角，直角顶点C顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为和，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离的长度为_____ 14. 如图，中，的垂直平分线交于点D．若，则的周长为___________． 15. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 16. 如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 如图，点，，，在同一直线上，点，在两侧，，，，求证：． 18. 已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． 19. 如图，在中，． （1）作的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，则的面积为_________． 20. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他的测量步骤如下： ①选取塔的顶端作为参照点； ②地面直线上取测量点，在处用工具测得； ③沿射线的方向行走至测量点，点和点在塔的同测，并在点处用工具测得； ④测得行走距离． 请你根据小明的测量步骤，求出塔高的长度． 21. 如图在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，均在网格点上． （1）已知 和关于直线l对称，请在图上把和补充完整； （2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为 ___________． 22. 如图，是的边上的中线，是上一点，延长到点，使．连接．是延长线上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 23. 已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 24. 请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 25. （1）情境观察： 如图，中，，，，垂足分别为、，与交于点，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图，中，，，平分，，与交于点．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图，中，，，受图结论的启发，小聪在上取了一点，作，，交于点，若，请你帮小聪求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $