专题26.10 反比例函数（全章常考点分类专题）（培优练）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.10 反比例函数（全章常考点分类专题）（培优练） 【考点目录】 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】用反比例函数描述数量关系； 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【考点4】综合判断反比例函数和一次函数、二次函数图象； 【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【考点8】利用反比例函数增减性求参数或取值范围； 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【考点11】已知k值求三角形面积； 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【考点13】已知三角形面积求k值； 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】用反比例函数描述数量关系； 【1-1】（21-22九年级上·云南文山·期末）已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【1-2】（2020·湖南长沙·中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【1-3】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为 ． 【1-4】（22-23九年级上·四川成都·期末）从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是 ． 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【2-1】（2024·山东济南·模拟预测）从1，，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【2-2】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【2-3】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ． 【2-4】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）双曲线经过点，则代数式的值为 ． 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【3-1】（2024·广东广州·一模）已知一次函数经过点，正比例函数不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【3-2】（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）如图，正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图像不可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【3-3】（20-21八年级上·全国·单元测试）反比例函数的图像过点与点，若、同号，则此图像在第 象限，用含、的式子表示 ． 【3-4】（21-22九年级下·重庆·阶段练习）有四张完全相同且不透明的的卡片，正面分别标有数字－1，－2，1，2，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b，则函数与函数没有交点的概率是 ． 【考点4】综合判断反比例函数和一次函数、二次函数图象； 【4-1】（2024·全国·二模）如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A． B． C． D． 【4-2】（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【4-3】（22-23九年级下·福建南平·自主招生）若直线与函数的图像有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，设，则的取值范围是 ． 【4-4】（23-24九年级下·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为 ． 【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【5-1】（2022·江苏扬州·三模）运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图像如图所示（　　） A． B． C． D． 【5-2】（20-21八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【5-3】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数 过该菱形对角线的交点A，且与边交于点 F．若点 D 的坐标为 ，则点 A的坐标是 ． 【5-4】（21-22八年级下·浙江湖州·期末）如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则 ． 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【6-1】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【6-2】（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【6-3】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）从，，，，这五个数中任意取出一个数记作，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为 ． 【6-4】（2024九年级上·北京·专题练习）若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【7-1】（23-24九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【7-2】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【7-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【7-4】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【考点8】利用反比例函数增减性求参数或取值范围； 【8-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）反比例函数，当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（     ） A． B． C．或 D． 【8-2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知、两点在双曲线上，且，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【8-3】（2023八年级下·浙江·专题练习）已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【8-4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【9-1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）点双曲线上，若，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【9-2】（2024·天津和平·三模）若点，，都在反比例函数（为常数，）的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【9-3】（23-24九年级下·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则的大小关系为 （用号连接）． 【9-4】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是 ． 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【10-1】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）对于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．它的图像分布在一、三象限 B．它的图象与坐标轴可以相交 C．它的图像经过点 D．当时，y的值随x的增大而增大 【10-2】（23-24九年级上·广东深圳·期末）关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【10-3】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数的图象经过两点，下列结论：①若则；②若，则；③过点A作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若，则四边形的面积为17．其中正确的结论是 ． 【10-4】（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【点11】已知k值求三角形面积； 【11-1】（2024·贵州六盘水·二模）如图，点在反比例函数 的图象上，点 B的坐标是，点C的坐标是，则的面积是（   ）    A．30 B．3 C．60 D．6 【11-2】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 【11-3】（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ． 【11-4】（2024·山东青岛·模拟预测）如图，A、B是函数上两点，P为一动点，作轴，轴．若，则 ． 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【12-1】（21-22八年级下·河南南阳·期末）两个反比例函数：和：在第一象限内的图象如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【12-2】（2022·陕西西安·模拟预测）在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为，现分别过点、、、、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则 ， （用的代数式表示） 【12-3】（2024·广东惠州·三模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【12-4】（23-24九年级上·山东东营·期中）如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ． 【考点13】已知三角形面积求k值； 【13-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为 ． 【13-2】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为2和3，的面积为4，则k的值为 ． 【13-3】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （         ）．    A．10 B．8 C．5 D．4 【13-4】（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在边上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连结、、．若的面积为2，则k的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【14-1】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【14-2】（2024·山东潍坊·模拟预测）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为3．则k的值是（ ） A．3或 B．3或1 C．1或 D．或 【14-3】（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【14-4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，点在函数的图像上，过作轴于点，交直线于点，作轴于点，交直线于点，分别在矩形的外侧构造矩形，．若是的中点，图中阴影部分的面积为7，则的值为 ． 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【15-1】（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A、B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（  ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 【15-2】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【15-3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若函数与的图象的交点坐标为，则的值是 ． 【15-4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A， C两点，轴于B ， 轴于 D ，则四边形的面积为 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【16-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与轴平行，、两点的纵坐标分别为10，6，且，点，点在反比例函数上，平行四边形的面积为12，则的值为（   ） A．27 B．36 C．45 D．56 【16-2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 【16-3】（2024·河北·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若将一次函数的图象向上平移个单位长度，与反比例函数图象的一个交点为M，已知点M的纵坐标为． （1）k的值为 ． （2）连接，，则的面积为 ． （3）当时，x的取值范围是 ． 【16-4】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点． （1）点的坐标为 ； （2）与的面积之差 ． 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【17-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【17-2】（2024·山西大同·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（    ）      A． B． C． D． 【17-3】（2024·广东东莞·模拟预测）如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流I(单位：) 与电阻R(单位：) 是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过， 那么用电器可变电阻 R 应控制的范围是 【17-4】（23-24八年级下·吉林长春·期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度）是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【18-1】（20-21八年级下·江苏苏州·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【18-2】（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【18-3】（2022·江苏南京·模拟预测）如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 【18-4】（22-23九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.10 反比例函数（全章常考点分类专题）（培优练） 【考点目录】 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】用反比例函数描述数量关系； 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【考点4】综合判断反比例函数和一次函数、二次函数图象； 【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【考点8】利用反比例函数增减性求参数或取值范围； 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【考点11】已知k值求三角形面积； 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【考点13】已知三角形面积求k值； 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】用反比例函数描述数量关系； 【1-1】（21-22九年级上·云南文山·期末）已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可． 解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点， ∴ k =3×1=3， A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确， 故选： D． 【点拨】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 【1-2】（2020·湖南长沙·中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由总量=vt，求出v即可． 解（1）∵vt=106， ∴v=， 故选：A． 【点拨】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【1-3】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为 ． 【答案】-2 【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解． 解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上， ∴设方程的两个根分别为， ∴＝，即， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2． 【点拨】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数． 【1-4】（22-23九年级上·四川成都·期末）从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数与概率结合，解题的关键是掌握反比例函数的性质，以及画树状图求概率的方法．首先利用树状图法求出所有可能的结果，然后求出点落在反比例函数图象上的结果，最后根据概率公式求解即可． 解：画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中点P在反比例函数图象上的有4种结果：， ∴点落在反比例函数图象上的概率是． 故答案为：． 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【2-1】（2024·山东济南·模拟预测）从1，，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数的性质． 根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，在根据概率公式即可解答． 解：根据题意列出表格如下： 1 3 1 3 、在双曲线图象上， 由表可知，一共有6种情况，点在双曲线上的情况有2种， ∴点在双曲线上的概率， 故选：A． 【2-2】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 解：当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 【2-3】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 【2-4】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）双曲线经过点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，整体代入计算即可得解． 解：∵双曲线经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【3-1】（2024·广东广州·一模）已知一次函数经过点，正比例函数不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数、一次函数、反比例函数图象．熟练掌握正比例函数、一次函数、反比例函数的图象是解题的关键． 由正比例函数不经过第三象限，可得，由一次函数经过点，可知一次函数经过第二、三、四象限，即，进而可判断反比例函数的图象位于第二、四象限． 解：∵正比例函数不经过第三象限， ∴， 又∵一次函数经过点， ∴一次函数经过第二、三、四象限， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， 故选：D． 【3-2】（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）如图，正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图像不可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像和正比例函数的图像，解题的关键是了解其图像的性质，结合图像利用排除法逐一分析即可作出判断． 解：A．∵正比例函数位于二四象限， ∴，即， ∴， ∴反比例函数的图像经过二、四象限，故此选项不符合题意； B．∵反比例函数的图像位于一三象限， ∴，即， ∴， ∴正比例函数的图像位于一三现象，故此选项不符合题意； C．∵反比例函数的图像位于二四象限， ∴，即， 当时，得， 此时正比例函数的图像位于一三象限，故此选项不符合题意； D．∵反比例函数的图像位于一三象限， ∴，即， ∴， ∴正比例函数的图像位于一三现象，故此选项符合题意． 故选：D． 【3-3】（20-21八年级上·全国·单元测试）反比例函数的图像过点与点，若、同号，则此图像在第 象限，用含、的式子表示 ． 【答案】 一、三 【分析】设反比例函数解析式为，可得>0，故反比例函数的图像在第一、三象限；由反比例函数的图像过点与点可得，于是. 解：设反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图像过点， ∴， ∵、同号， ∴， ∴反比例函数的图像在第一、三象限； ∵反比例函数的图像过点与点 ∴， ∴. 故答案是：一、三；. 【点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟悉性质是解题关键. 【3-4】（21-22九年级下·重庆·阶段练习）有四张完全相同且不透明的的卡片，正面分别标有数字－1，－2，1，2，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b，则函数与函数没有交点的概率是 ． 【答案】/0.25 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中a，b使得函数与函数的交点在第一，三象限的结果有4种，再由概率公式求解即可． 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中a，b使得函数与函数的交点在第一，三象限的有(a=1，b=1；a=1，b=2；a=2，b=1；a=2，b=2)4种， ∴函数与函数的交点在第一，三象限的概率为， 故答案为：． 【点拨】此题考查的是树状图法求概率；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 【考点4】综合判断反比例函数和一次函数、二次函数图象； 【4-1】（2024·全国·二模）如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，掌握一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质是解题关键．由抛物线图象可知，，，进而判断一次函数和反比例函数的图象即可． 解：抛物线的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在正半轴， ，，， 函数的图象经过第一、三、四象限，函数在第一、三象限， 故选：B． 【4-2】（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图象，根据二次函数的图象确定，，，再去判断一次函数与反比例函数的图象即可． 解：∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点， ∴，， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C； 由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限， 据此可知，符合题意的是B， 故选：B． 【4-3】（22-23九年级下·福建南平·自主招生）若直线与函数的图像有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先作出分段函数的图象，根据函数的图象即可确定的取值范围． 解：分段函数的图象如图：    故要使直线为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，常数的取值范围为， 根据三个不同的交点，从左到右，其横坐标分别为，，， 由图可知， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一． 【4-4】（23-24九年级下·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【5-1】（2022·江苏扬州·三模）运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图像如图所示（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可知x无论取任何数y始终大于0，且在时有最大值，再逐项判断即可． 解：A．当时，，故与题干中图象不符，该选项不合题意； B．当时，无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意； C．当自变量x取其相反数时，，且当时，为最大值，与题干中图象相符，该选项符合题意； D．当时，无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意． 故选C． 【点拨】本题考查识别函数图象，解题的关键是根据图象得出该函数的性质． 【5-2】（20-21八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点C的坐标为（c,0），根据已知写出P的坐标，再代入反比例函数解析式，根据ｃ的取值范围即可求解． 解：设点C的坐标为（c,0） ∵点的坐标为，轴于点， ∴P（） ∵函数的图象经过点 ∴ ∴c=2k-4 ∵0≤c≤4 ∴0≤2k-4≤4 ∴ 故选：C 【点拨】考核知识点：反比例函数．理解反比例函数的意义是关键． 【5-3】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数 过该菱形对角线的交点A，且与边交于点 F．若点 D 的坐标为 ，则点 A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用．求得中点A的坐标是解题的关键． 由点D的坐标为，可求得菱形的边长，得到，由点中点性质即得． 解：∵点 D 的坐标为 ， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵点A是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【5-4】（21-22八年级下·浙江湖州·期末）如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则 ． 【答案】4 【分析】设，由，，则，，，，然后根据建立方程，得出C的横坐标和纵坐标的关系，再根据C在反比例函数，即可求出C的坐标，代入即可求得k的值． 解：设， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵C在反比例函数，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的特征，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标之积为常数，列出方程是解答本题的关键． 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【6-1】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，由图象分布的位置可得，再由时，由图象可得，进而可得，即可求解． 解：反比例函数的图象分布在第二象限，反比例函数和的图象分布在第一象限， ， 当时，由图象可得， ， 故选：B． 【6-2】（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出k的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解． 解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选C． 【6-3】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）从，，，，这五个数中任意取出一个数记作，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的应用，确定使函数的图像经过第二、四象限的的取值范围，然后确定使方程根的判别式小于零的的取值范围，找到同时满足两个条件的的值，解题的关键是掌握：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件概率为． 解：∵函数的图像经过第二、四象限， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程的根的判别式小于零， ∴， ∴， ∴使函数的图像经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的的值有为、， ∴此事件的概率为． 故答案为：． 【6-4】（2024九年级上·北京·专题练习）若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 点，在反比例函数的图象上，且， 点、不在同一象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ， 解得． 故答案为：． 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【7-1】（23-24九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】B 【分析】①由平移变函数关系式的规律“左加右减”，即可判断；②由的图象关于对称，即可判断；③由的图象关于直线对称，即可判断；④画出图象，结合图象，即可求解． 解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误； ②的图象关于对称，当时，，的图象关于点对称；结论正确； ③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确； ④如图， 根据图象可知，的解集是；结论错误； 正确的有②③； 故选：B． 【点拨】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键． 【7-2】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积． 解： P在反比例函数图象上， 设， 点A，点B在反比例函数图象上， 过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B， ， ， ． 故选C． 【7-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 【7-4】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点是反比例函数的图象上的一点，连接并延长，交双曲线的另一支于点，点是轴上一动点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，勾股定理的应用，判断出只有或两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用． 由对称性可知为的中点，则当为等腰三角形时只能有或，设点坐标为，可分别表示出和，从而可得到关与的方程，可求得，可求得点坐标． 解：反比例函数图象关于原点对称， 、两点关于对称， 为的中点，且， 当为等腰三角形时有或， 设点坐标为， ，， ，，， 当时，则有，解得或10，此时点坐标为或； 当时，则有，解得或，此时点坐标为或； 综上可知点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【考点8】利用反比例函数增减性求参数或取值范围； 【8-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）反比例函数，当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握当时，在每一象限内，y随x的增大而减小，反之，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，进行分类讨论：当时，当时，即可解答． 解：当时，则， ∴在每一象限内，随x的增大而减小，在每一象限内，随x的增大而增大， ∵，， ∴时，的最小值为，当时，的最大值为， ∴， 当时，则， ∴在每一象限内，随x的增大而增大，在每一象限内，随x的增大而减小， ∵，， ∴时，的最小值为，当时，的最大值为， ∴， 综上：的值为， 故选：B． 【8-2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知、两点在双曲线上，且，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 先判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的符号，进而可得出结论． 解：、两点在双曲线上，且， ∴双曲线分居在第一、第三象限， ，解得． 故选：C． 【8-3】（2023八年级下·浙江·专题练习）已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 故答案为：2． 【8-4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【9-1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）点双曲线上，若，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．根据的图象和性质进行解答即可． 解：∵， ∴当时，图象在第一象限内，y随着x的增大而减小，且；当时，图象在第三象限内，y随着x的增大而减小，且， ∵ ∴ 则， 故选：C. 【9-2】（2024·天津和平·三模）若点，，都在反比例函数（为常数，）的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图象与性质判断自变量的大小是解题的关键． 根据在第一或第三象限中，随着的增大而减小，且在第一象限中，在第三象限中，进行判断作答即可． 解：∵，， ∴在第一或第三象限中，随着的增大而减小，且在第一象限中，在第三象限中， ∵，，， ∴在第三象限，，在第一象限， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【9-3】（23-24九年级下·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则的大小关系为 （用号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，函数值的比较；根据反比例函数经过点求出其解析式，然后把分别代入解析式，求出函数值，进行比较即可得出答案． 解：设反比例函数的解析式为， ∵它的图象经过点， ， ∴反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 【9-4】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，进行判断即可． 解：∵，， ∴双曲线两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内随着的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点A在第三象限，在第一象限， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【10-1】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）对于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．它的图像分布在一、三象限 B．它的图象与坐标轴可以相交 C．它的图像经过点 D．当时，y的值随x的增大而增大 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质进行逐项判断即可． 解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数的图象分布在二、四象限； 故选项A错误； 反比例函数的图象与坐标轴不可以相交，故选项B错误； ∵， ∴反比例函数的图象不经过点，故选项C错误； ∵， ∴反比例函数的图象分布在二、四象限；在每个象限内随着x的增大而增大， ∴当时，y的值随x的增大而增大， 故选项D正确； 故选：D． 【10-2】（23-24九年级上·广东深圳·期末）关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【10-3】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数的图象经过两点，下列结论：①若则；②若，则；③过点A作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若，则四边形的面积为17．其中正确的结论是 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查反比例函数的性质以及比例系数的几何意义．利用反比例函数的增减性、对称性、反比例函数比例系数的几何意义分别回答即可． 解：①，比例系数， 图象分别位于第一、三象限，在所在的每一个象限随着的增大而减小， 当时，，故①错误； ②当、两点关于原点对称时，，则，故②正确； ③若，则．过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，则四边形的面积为，故③是正确； 故答案为：②③． 【10-4】（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据分式有意义的条件即可判断；②把代入即可；③当时，判断是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可．本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围及对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 解：①， ， 故①正确； ②当时，， 该函数与轴交于点， 故②正确； ③，， ∴当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 该函数图象不经过第四象限； 故③正确； ④若该函数图象关于轴对称， 则函数图象的每一个点都关于轴对称， 当时，， 当时，， ∵， 而与不关于轴对称， 故④错误； ⑤当时，取，时， ∴，， 则， 故⑤错误，故答案为：①②③． 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【点11】已知k值求三角形面积； 【11-1】（2024·贵州六盘水·二模）如图，点在反比例函数 的图象上，点 B的坐标是，点C的坐标是，则的面积是（   ）    A．30 B．3 C．60 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值的几何意义是解题的关键．根据反比例函数值的几何意义计算即可． 解：连接， 点，点 B的坐标是， 轴， ． 故选B．    【11-2】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质． 过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E，推出为反比例函数图象的对称轴，通过证明，得出，的面积，即可解答． 解：过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E， 由旋转可知， ∵， ∴点A和点B关于对称，， ∴为反比例函数图象的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴的面积， 故选：D． 【11-3】（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据题意先求出反比例函数解析式，利用解析式得到，，再根据即可求解，熟练掌握反比例函数值几何意义是解题的关键． 解：∵对角线的中点，且点， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【11-4】（2024·山东青岛·模拟预测）如图，A、B是函数上两点，P为一动点，作轴，轴．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：延长，交x轴于点C，先说明、轴，设点，则有；再根据可得，然后运用三角形的面积公式求解即可． 解：如图：延长，交x轴于点C， ∵轴，轴， ∴，轴， 设点，则有， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：． 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【12-1】（21-22八年级下·河南南阳·期末）两个反比例函数：和：在第一象限内的图象如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 解：∵轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【12-2】（2022·陕西西安·模拟预测）在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为，现分别过点、、、、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则 ， （用的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，即 ，根据，得出即可． 解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、、、、， ∴， ， ， … ， ∵， ∴ ． 故答案为：；． 【12-3】（2024·广东惠州·三模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】// 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 【12-4】（23-24九年级上·山东东营·期中）如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键． 解：如图，延长交轴于， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 【考点13】已知三角形面积求k值； 【13-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案． 解：如图，过点C作轴于D， ∴， ∵点B是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 【13-2】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为2和3，的面积为4，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，作轴于，轴于，由题意得到，，根据，得到，解得即可． 解：反比例函数的图象上有、两点，它们的横坐标分别为2和3， ，， 作轴于，轴于，则， ∴， ， 解得， 故答案为：． 【13-3】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （         ）．    A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的的值，解题的关键是根据进行计算． 设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 解：四边形是矩形， ，， 设点的坐标为， ， ∴， 点，在反比例函数的图象上， ， ∴， ， ， ， 故选：C． 【13-4】（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在边上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连结、、．若的面积为2，则k的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和矩形的性质，连接，根据题意得点在一条直线上，则，那么，，根据线段的比例可得，设点，则，结合三角形面积即可求得答案． 解：矩形的对称中心是， 连接，则点在一条直线上， 则， ∵的面积为2， ∴， ， ， ， 设点，则， ∴， ． 故选：D． 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【14-1】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键． 设D的坐标是，则B的坐标是，根据矩形的面积即可求得的值，把D的坐标代入函数解析式，即可求得k的值． 解：设D的坐标是，则B的坐标是． ∵矩形的面积为，， 把D的坐标代入函数解析式得： ， 故选：D． 【14-2】（2024·山东潍坊·模拟预测）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为3．则k的值是（ ） A．3或 B．3或1 C．1或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，通过矩形的面积求出k的值，是解决本题的关键． 解：∵轴于点M，轴于直N，， 四边形是矩形，四边形的面积为3， ， ， 故选：A． 【14-3】（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键． 根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案． 解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 【14-4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，点在函数的图像上，过作轴于点，交直线于点，作轴于点，交直线于点，分别在矩形的外侧构造矩形，．若是的中点，图中阴影部分的面积为7，则的值为 ． 【答案】6 【分析】设，则，，根据阴影部分的面积为7，列出方程求出值，从而计算出值，即可得值． 解：设，则，， 阴影部分的面积为7， ， 解得（舍去）或， 当时，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：6． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合、反比例函数与一次函数的综合，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【15-1】（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A、B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（  ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，二次根式的混合计算，解一元二次方程，先联立两函数解析式求出，则，再根据矩形面积公式和周长公式求解即可． 解：联立，解得 或， 经检验，这两组解都是方程组的解， ∴， ∴， ∴长为，宽为的矩形面积为，周长为， 故选：A． 【15-2】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出正比例函数，反比例函数，画出函数图象，结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴正比例函数，反比例函数， 画出函数图象如图所示：    由图象可得：不等式的解集为或， 故选：B． 【15-3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若函数与的图象的交点坐标为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题关键，由题意可得，，再将代数式通分后计算求值即可． 解：函数与的图象的交点坐标为， ，， ，， ， 故答案为：． 【15-4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A， C两点，轴于B ， 轴于 D ，则四边形的面积为 【答案】6 【分析】主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合和准确计算是解题的关键．联立方程组，求出A、C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可． 解：联立方程组， 解得或， ∴，， ∵轴于B ， 轴  于  D ， ∴，， ∴ ， 故答案为：6． 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【16-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与轴平行，、两点的纵坐标分别为10，6，且，点，点在反比例函数上，平行四边形的面积为12，则的值为（   ） A．27 B．36 C．45 D．56 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，通过平行四边形的面积得出点C和点E重合是解题的关键． 过点作的垂线于点，根据题意得出，利用勾股定理得出，，再由平行四边形的面积得出点C和点E重合，设点A的横坐标为x，则点B的横坐标为，确定，然后代入反比例函数解析式求解即可 解：过点作的垂线交于点， ∵、两点的纵坐标分别为10，6， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形的面积为12， ∴， ∴， ∴点C和点E重合， 设点A的横坐标为x，则点B的横坐标为， ∴， ∵点，点在反比例函数上， ∴， 解得：， ∴， 故选：C 【16-2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，， ∴，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：B． 【16-3】（2024·河北·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若将一次函数的图象向上平移个单位长度，与反比例函数图象的一个交点为M，已知点M的纵坐标为． （1）k的值为 ． （2）连接，，则的面积为 ． （3）当时，x的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、函数与不等式的关系． （1）先求出平移后的一次函数解析式，然后把M的纵坐标代入，求出M的坐标，最后由待定系数法即可求解； （2）联立方程组，求出A、B的坐标，由，即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 解：（1）一次函数的图象向上平移个单位长度，新函数解析式为， 将代入，解得， ∴， 把代入，得， 解得， 故答案为：； （2）由（1）知， 设直线与y轴相交于点C， 当时，， ∴， ∴， 联立方程组，解得或， ∴，， ∴ ， 故答案为：8； （3）由图象知，当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 【16-4】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点． （1）点的坐标为 ； （2）与的面积之差 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，求正比例函数解析式，坐标与图形，数形结合，熟练掌握待定系数法求出正比例函数解析式，是解题的关键． （1）设点A的坐标为，设直线的解析式为：，把代入得：，求出，得出直线的解析式为：，令，求出，得出点E的坐标为； （2）设点，则，得出，，根据得出m、n的关系，得出，表示出，，再求出结果即可． 解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴轴，， ∴点A的横纵坐标相同， 设点A的坐标为，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ∵点E在第一象限， ∴舍去， ∴点E的坐标为； 故答案为：； （2）设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ∴ ． 故答案为：8． 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【17-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，然后比较，，，与的大小即可得出答案． 解：设反比例函数的表达式为， 过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，    设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为， 由图象可知：，， 依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数． 1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上， ， ，， ，， ， 即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数， 2班的优秀人数为最多． 故选：B． 【17-2】（2024·山西大同·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用——火电厂的双曲线型冷却塔．熟练掌握矩形性质，冷却塔的对称性，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键． 设的解析式为，根据y轴垂直平分，，得到，根据，得到，得到，，根据和冷却塔的对称性得到点F的横坐标为8，得到，即得整个冷却塔高度为． 解：设的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵y轴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F的横坐标为8， ∴， ∴整个冷却塔高度为． 故选：A． 【17-3】（2024·广东东莞·模拟预测）如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流I(单位：) 与电阻R(单位：) 是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过， 那么用电器可变电阻 R 应控制的范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出是解题的关键．设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为，利用待定系数求出，再求出当，，最后根据反比例函数的增减性进行求解即可． 解：设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为， 把点代入中得，， ∴， ∴， 当时，，解得， ∵， ∴电流I随电阻R的增大而减小， ∴限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是， 故答案为：． 【17-4】（23-24八年级下·吉林长春·期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度）是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【18-1】（20-21八年级下·江苏苏州·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 【18-2】（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点拨】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 【18-3】（2022·江苏南京·模拟预测）如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 【答案】-2 【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案． 解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键． 【18-4】（22-23九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点拨】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$