第2章 圆 单元测试 2024-2025学年湘教版数学九年级下册

第2章圆 综合素质评价 限时: 120分钟 满分: 120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是(　　) A．点P在⊙O内　 B．点P在⊙O上　　 C．点P在⊙O外　　 D．不能确定 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠BAC＝28°，则∠D的度数是(　　) A．56°　 　 B．58°　　　 C．60°　　　 D．62° 3．下列说法正确的是(　　) A．经过圆心的线段是直径　　 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧　 D．弧分为优弧和劣弧 4．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F.若∠E＝54°41′，∠F＝43°19′，则∠A的度数为(　　) A．42°　 B．41°20′　 C．41° D．40°20′ 5．如图，圆内接四边形ABCD的对角线BD平分∠ABC，且∠BAC＝∠ADB，过点C作CE∥AD，若AC＝AD，BE＝，则圆的半径为(　　) A．　 B．2 C．1 D．2 6．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°.①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP，则∠ABP＝(　　) A．40° B．25° C．20° D．15° 7．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是(　　) A．60° B．90° C．180° D．360° 8．如图所示，扇形OAB的半径OB的长为3，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA长为半径作弧，交弧AB于点C，则阴影部分的面积是(　　) A． B．－3π C． D．－3π 9．如图，在△ABC中，以BC边为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E.若D为AC的中点，BE＝3DE，则tan A的值为(　　) A．　　 B．2　　 C．3　　　 D．2 10．如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值为(　　) A．3　 B． C． D．4 二、填空题(每题3分，共24分) 11．如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝________°. 12．如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线AB绕点A顺时针旋转，使得点B落在数轴上的点C处，则点C表示的数是________． 13．如图，点C是半圆O同侧的一点，AB为直径，若AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝50°，线段AC，BC分别交半圆于点E，D，则弧DE的长为________cm. 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交⊙O于点E，连接BE，若∠A＝100°，∠E＝60°，则∠OCD的度数为________． 15．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率．如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A1OA2的度数为α，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S.以下推断：①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足函数关系α＝；②无论n，r为何值，总有nS＝πr2；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足二次函数关系．其中正确的是________．(填序号) 16．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为________． 17．为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60 cm和180 cm，如图，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度约为________cm. 18．如图，在等边三角形ABC中，AC＝4，点D为AC边的中点，将△ABC绕点D顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，是点A的旋转路径，连接CC′，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分) 19．图①、图②、图③均由圆和正方形组成，图中点A，B，C，D，E，F，G是正方形的顶点且在圆上，仅用无刻度的直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O(保留适当的作图痕迹)． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E. (1)求证：＝； (2)连接OE，若∠BAC＝50°，求∠AOE的度数． 21．缝纫机是用一根或多根缝纫线，在缝料上形成一种或多种线迹，使一层或多层缝料交织或缝合起来的机器．如图是手摇式缝纫机工作示意图，连接PB交⊙O于点A.摇动手柄至点D，连接PD，PD恰好过圆心O，交⊙O于点C. (1)求证：PA·PB＝PC·PD； (2)若测得PD＝24 cm，PA＝8 cm，AB＝10 cm，求⊙O的半径． 22．如图所示的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，GD与AB的延长线交于点E. (1)求证：∠1＝∠2； (2)已知OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求DE的长； (3)在(2)的条件下，求AG的长． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D.E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F. (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)若tan B＝，DB＝8，求线段AD的长． 24．如图①，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F. (1)求证：AB与⊙O相切； (2)若正方形ABCD的边长为＋1，求⊙O的半径； (3)如图②，在(2)的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交于点N.当CM∶FM＝1∶4时，求CN的长． 答案 1．C　2．D　3．B　4．C　5．B　6．C　7．B　8．C 9．C 【点拨】如图，连接BD，OD， 则OD＝OB，∴∠ODB＝∠CBD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， 又∵D为AC的中点，∴BD垂直平分AC， ∴BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ODB，∴AB∥OD， ∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD， ∴∠AED＝∠ODE＝90°，∴∠DEB＝90°， ∴∠A＝90°－∠ABD＝∠BDE，∵BE＝3DE， ∴tan A＝tan∠BDE＝＝3. 10．C 【点拨】连接BP，如图，当y＝0时，x2－4＝0，解得x1＝4，x2＝－4， ∴A(－4，0)，B(4，0)，∴O是AB的中点， 又∵Q是线段PA的中点，∴OQ为△ABP的中位线， ∴OQ＝BP，∴当BP最大时，OQ最大， 易知BP过圆心C时，BP最大， ∴点P运动到点P′的位置时，BP最大， ∵BC＝＝5， ∴BP′＝5＋2＝7，即BP的最大值为7， ∴线段OQ的最大值为.故选C. 二、11．75　12．　13．π　14．50°　15．①③ 16． 【点拨】如图，连接OC. ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠OAP＝90°. ∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB， ∴△OAC≌△OBC， ∴∠OAP＝∠OBC＝90°.∴∠PBC＝90°. 在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12， ∴OP＝＝＝13，CP＝12－CA＝12－BC. ∵OB＝OA＝5，∴BP＝8. 在Rt△PBC中，BP2＋BC2＝CP2， ∴82＋BC2＝(12－BC)2.∴BC＝.∴CA＝. 17．240 18．2＋＋ 【点拨】如图，设交A′B′于点E，连接DE， 在等边三角形ABC中，AC＝4，点D为AC边的中点， ∴CD＝AD＝2，∠BAC＝60°， 由题意可知∠CDC′＝∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝CD＝C′D＝2，∠BAC＝ ∠B′A′C′＝60°， 又∵A′D＝DE，∴DE＝2，△A′DE是等边三角形， ∴∠A′DE＝60°，∴∠ADE＝30°， ∴S阴影＝S△CDC′＋S△A′DE＋S扇形DAE＝×2×2＋×2×2×＋＝2＋＋. 三、19．【解】如图所示． 20．(1)【证明】连接AD，如图所示． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝. (2)【解】∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠BAC＝50°， ∴∠AOE＝180°－50°－50°＝80°. 21．(1)【证明】如图，连接AD，BC. ∵∠B＝∠D，∠P＝∠P， ∴△PCB∽△PAD， ∴＝，∴PA·PB＝PC·PD. (2)【解】∵PA＝8 cm，AB＝10 cm，∴PB＝18 cm， ∵PA·PB＝PC·PD，PD＝24 cm， ∴PC＝＝6(cm)， ∴CD＝PD－PC＝24－6＝18(cm)，∴OD＝OC＝CD＝9 cm，即⊙O的半径为9 cm. 22．(1)【证明】如图，连接OD， ∵DE为⊙O的切线，D在⊙O上， ∴OD⊥DE， ∴∠ODE＝90°，即∠2＋∠ODC＝90°， ∵OC＝OD， ∴∠C＝∠ODC，∴∠2＋∠C＝90°， ∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°， ∴∠C＋∠OFC＝90°，∴∠2＝∠OFC， ∵∠1＝∠OFC，∴∠1＝∠2. (2)【解】∵⊙O的半径为3，∴OA＝OB＝OC＝OD＝3. ∵OF∶OB＝1∶3，∴OF＝1. ∵∠1＝∠2，∴EF＝ED， 设DE＝x，则EF＝x，∴OE＝1＋x， 在Rt△ODE中，OD2＋DE2＝OE2，∴32＋x2＝(1＋x)2， 解得x＝4，∴DE＝4. (3)【解】∵AG为⊙O的切线，A在⊙O上，∴AG⊥AE， ∴∠GAE＝90°，∴∠GAE＝∠ODE＝90°. ∵∠OED＝∠GEA，∴△EOD∽△EGA， ∴＝，由(2)得DE＝EF＝4， ∵AE＝AO＋EF＋OF＝3＋4＋1＝8，∴＝， ∴AG＝6. 23．(1)【证明】如图，连接OD，CD. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC. ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°. ∵E是AC的中点，∴EC＝ED＝CA， ∴∠ECD＝∠EDC. ∵∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°， ∴∠EDC＋∠ODC＝∠ODE＝90°，即OD⊥DE， 又∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线． (2)【解】由(1)知∠BDC＝90°， ∴在Rt△BCD中，tan B＝＝，∴DB＝8， ∴CD＝8×＝6，∴BC＝＝10. 在Rt△ABC中，tan B＝＝， ∴AC＝10×＝，∴AB＝＝， ∴AD＝AB－DB＝. 24．(1)【证明】如图①，连接OE，过点O作OG⊥AB于点G， ∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD， ∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴OE＝OG， ∵OE为⊙O的半径，∴OG为⊙O的半径． ∴AB与⊙O相切． (2)【解】由(1)知OE⊥AD，∴∠AEO＝90°， 又∵∠DAC＝45°，∴易得AE＝OE， 设AE＝OE＝OC＝OF＝R， 在Rt△AEO中，AE2＋EO2＝AO2， ∴AO2＝R2＋R2＝2R2. ∴AO＝R. ∵正方形ABCD的边长为＋1， ∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝(＋1)． ∵OA＋OC＝AC，∴R＋R＝(＋1)， ∴R＝，即⊙O的半径为. (3)【解】如图②，连接ON，设CM＝k， ∵CM∶FM＝1∶4，∴易得CF＝5k， ∴OC＝ON＝CF＝2.5k， ∴OM＝OC－CM＝1.5k， ∴在Rt△OMN中，由勾股定理得MN＝＝2k， ∴在Rt△CMN中，由勾股定理得CN＝＝k， ∵FC＝5k＝2R＝2， ∴k＝，∴CN＝×＝. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$