专题07 圆心角、圆周角、垂径定理压轴题（压轴题专项训练）数学湘教版九年级下册

专题07 圆心角、圆周角、垂径定理压轴题 目录 1 类型一、利用圆心角和圆周角定理求解 1 类型二、利用圆心角和圆周角定理证明 9 类型三、利用垂径定理求平行弦问题 20 类型四、利用垂径定理求同心圆问题 25 类型五、垂径定理的实际应用 32 37 类型一、利用圆心角和圆周角定理求解 核心思路：利用圆心角（=弧的度数）与圆周角（=½同弧圆心角）的倍数关系，结合圆内接四边形对角互补（180°）求解。 解题步骤： 1. 定关系： · 同弧所对圆周角相等（如∠APB=∠AQB）。 · 直径所对圆周角=90°（半圆弧180°）。 2. 列方程： · 圆心角∠AOB=弧AB度数，圆周角∠ACB=½∠AOB。 · 圆内接四边形对角互补（∠A+∠C=180°）。 3. 辅助线： · 遇圆周角补圆心角（连OA、OB）。 · 遇弦构造同弧圆周角（如作弦AD得∠ABD=∠ACD）。 关键点： · 圆周角定理优先用于角度转换，避免直接计算弧长。 · 隐藏条件：等弦→等弧→等角。 例1．如图，是半圆的直径，点在半圆上，弧、是等弧，连接，过点作 ，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 过点作于点，根据相等的弧，得出相等的角，利用面积比得出设，利用勾股定理表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数比即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ∴ ， 设， ， ， ， ， 故选：A． 变式1-1．如图，已知正方形的边长是4，点H是边的中点，是等腰直角三角形，．连接和，交于点G．若绕着点D在平面内自由旋转，的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】由正方形的性质得到，解直角三角形得到，再由等腰直角三角形的性质得到，据此可证明，得到，结合和的内角和，可证明；连接交于O，连接，则，则点G在以O为圆心，的长为半径的圆上，根据，得到当H、O、G三点共线时，有最大值，最大值为的值，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，连接交于O，以点为圆心作正方形的外接圆，连接，则， ∵， ∴点G在以O为圆心，的长为半径的圆上， ∵， ∴当H、O、G三点共线时，有最大值，最大值为的值， ∵正方形的边长是4， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上性质，得到点的轨迹是解题的关键． 变式1-2．如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，点，则长度的最大值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记圆内一点到圆上的最长距离是该点到圆心的距离加上半径是解题的关键． 以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最大，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M、N的坐标，进而可得出的长度及点E的坐标，结合点C的坐标可求出的长，再利用，即可求出长度的最大值． 【详解】解：如图， 以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最大， 由得，时，；时，； ，， ，， ， ∵点E为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴长度的最大值是9． 故答案为：9． 变式1-3 问题背景： （1）如图1，，，，求证：． 尝试应用： （2）如图2，为等边三角形，为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于，若，，试求线段的长； 拓展创新： （3）如图3，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点C作，交的延长线于点，若，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3） 【分析】（1）先证明，进而根据证明，即可求解； （2）如图2中，延长至，使，连接，，证明，，可得结论； （3）将逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点，连接，得出，是等腰直角三角形，分别表示出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在△与△中， ， △△， ； （2）解：如图2中，延长至，使，连接，， ，， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 点、、、共圆， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，都是等边三角形， 同法可证， ， ； （3）解：如图所示，将逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点，连接， ， ，， 是等腰直角三角形，， 又，， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 又，则， ， 又， ， 又， 即， 解得：， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例性质及四点共圆，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 类型二、利用圆心角和圆周角定理证明 核心思路：通过圆心角（顶点在圆心）与圆周角（顶点在圆上）的数量关系建立证明路径。 解题步骤： 1. 定理应用： · 圆心角定理：圆心角∠AOB=弧AB度数 · 圆周角定理：圆周角∠ACB=½弧AB度数（同弧所对） 2. 关键证明方法： (1) 等弧证等角：由弧AB=弧CD→∠AOB=∠COD（圆心角）/∠APB=∠CQD（圆周角） (2) 直径条件：直径所对圆周角=90°（半圆180°÷2） (3) 共圆证角等：若四点共圆→外角等于内对角 3. 辅助线策略： · 补全圆心角：连接圆心与圆周角顶点形成圆心角 · 构造同弧圆周角：作弦AD形成∠ABD=∠ACD 示例：证明圆内接四边形对角互补→连接OA、OC，∠B+∠D=½(弧ADC+弧ABC)=180° 例2．如图，是的直径，点A在上且． (1)如图1，点D为直径上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点D为外一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)若点D为上一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）圆周角定理得到，证明，得，证明，最后根据勾股定理可得结论； （2）如图2，延长交于E，连接，证明，得，最后根据勾股定理可得结论； （3）如图3，过点A作交的延长线于点E，连接，证明，最后根据勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图2，延长交于E，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，过点A作，交的延长线于点E，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形是解题的关键． 变式2-1．如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 变式2-2．如图，四边形内接于，，为延长线上一点，连接，． (1)求证； (2)如图，连接并延长至点，连接，若平分，求证； (3)如图，在的条件下，若，，，延长交于点，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． （1）连接，利用平行线的性质定理，圆周角定理和等腰三角形的性质解答即可； （2）利用等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用圆周角定理和等腰三角形的判定定理解答即可； （3）过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质得到，，，利用平行线的性质定理和直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，，利用三角形的面积公式列出方程求得值，则，，利用勾股定理求得；过点作交的延长线于点，利用相似三角形的判定与性质得到，设，则，，再利用勾股定理列出方程求得值，则结论可求． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，于点，如图， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ， ． ， ， ， ， 设，则，，， ， ， ， 或不合题意，舍去， ，， ． 过点作交的延长线于点， ， ， ， ． ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 或不合题意，舍去， ． 变式2-3．如图，为⊙的直径，P为延长线上的点，，垂足为E，连接，，，F是线段上一点，若平分，与线段交于点H． (1)若，求的度数； (2)求证：为⊙的切线； (3)若，，看一看，想一想，证一证：以下与线段、有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)正确，见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，进而求解； （2）由题易得∽，进而可证，据此得证； （3）过作于点，易证∽，得，，所以，可得，进而利用勾股定理可得的长，解直角三角形可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，为的直径， ， ， ，， ； （2）解： ，，， ∽， ， ， ， ， 又 为半径， 与相切； （3）解：正确结论为：． 理由如下： 过作于点， ， ， ， 又 ， ， 又 平分， ∴∽， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 类型三、利用垂径定理求平行弦问题 核心思路：利用垂径定理得出平行弦的弦心距相等或存在特定关系，结合勾股定理建立方程。 解题步骤： 1. 条件识别：确认圆内两条平行弦AB∥CD，明确是否位于圆心同侧或异侧 2. 垂径应用：作公垂线OE⊥AB且OF⊥CD（OE=OF当弦长相等时） 3. 勾股定理： · 同侧：|√(R²-d₁²)-√(R²-d₂²)|=弦距 · 异侧：√(R²-d₁²)+√(R²-d₂²)=弦距 （d₁,d₂为弦心距） 4. 特殊情形：等长平行弦→弦心距相等且对称分布 关键技巧： · 优先求弦心距而非半径，可减少变量 · 当已知弦长差时，利用平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)简化运算 · 图形未明确时需分类讨论同侧/异侧情况 示例：半径5cm圆中，相距1cm的两平行弦长8cm和6cm→由5²-4²=9，5²-3²=16，验证弦心距差√16-√9=1（成立） 例3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN=DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE． 【详解】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC， ∵DE∥BC， ∴MN⊥BC，DG⊥DE， ∴四边形DMNG是矩形， ∴DG=MN， ∵OM⊥DE，ON⊥BC， ∴DM=EM=DE，BN=CN， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB． ∴CH=DH=CD=3， ∴OH==4， ∴BH=9， ∴BC==3， ∴BN=BC=， ∴ON=， ∵sin∠BCH=，即， ∴DG=， ∴MN=DG=， ∴OM=MN-ON=， ∴DM==， ∴DE=2DM=． 故选A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 变式3-1．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】7或1． 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，    过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA， ∵AB∥CD，∴OE⊥AB， ∴E、F分别为CD、AB的中点， ∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm， 在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm， 根据勾股定理得：OF=3cm， 在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm， 根据勾股定理得：OE═4cm， 则EF=OEOF=4cm3cm=1cm； 当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示， 同理可得EF=4cm+3cm=7cm， 综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm． 故答案为：7或1． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 变式3-2 已知⊙O的直径长为10，弦AB长为8，弦长CD为6，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为 . 【答案】1或7 【分析】连接OA，OC，作直线EF⊥AB于E，交CD于F，由AB∥CD，根据垂径定理得到AE= AB=3，CF=CD=4，再根据勾股定理可计算出OF=4，OE=3，然后分类讨论：当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF-OE；②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF=OE+OF． 【详解】解：如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F， ∵AB∥CD， ∴EF⊥CD． ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE=AB=3，CF=CD=4， ①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF-OE=1； ②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF=OE+OF=7． 则AB与CD间的距离为1或7． 故答案为1或7. 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 变式3-3 已知的半径长为，弦与弦平行，，，求间的距离． 【答案】1或7 【分析】先根据勾股定理求出OF=4，OE=3，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、CD在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可. 【详解】如图，过点O作OE⊥CD于E，交AB于点F， ∵， ∴OE⊥AB， 在Rt△AOF中，OA=5，AF=AB=3，∴OF=4， 在Rt△COE中，OC=5，CE=CD=4，∴OE=3， 当AB、CD在点O的同侧时，、间的距离EF=OF-OE=4-3=1； 当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=3+4=7， 故答案为：1或7.    【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量. 类型四、利用垂径定理求同心圆问题 核心思路：通过垂径定理建立弦长与弦心距的关系，结合同心圆半径差求解。 解题步骤： 1. 识别条件：明确同心圆的公共圆心O，以及与大圆、小圆相交的弦AB（需AB⊥直径CD）。 2. 应用垂径定理：由AB⊥CD得CD平分AB（AM=MB），同时AB在大圆和小圆中弦心距相同（设为d）。 3. 勾股定理列式：对大圆和小圆分别列方程： · 大圆： · 小圆：（若弦AB与小圆相切，则） 4. 求差或和：若已知两圆半径差（）或弦长差，联立方程求解。 关键点： · 当弦AB与小圆相切时，弦心距d即为小圆半径r。 · 隐藏条件：同心圆中，平行弦的弦心距相等。 示例：已知大圆弦长16，小圆弦长12，求半径差→由，得。 例4．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式4-1．在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 (1)利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： (2)图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； (3)填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图与应用，线段的垂直平分线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先作出两条不平行的弦，再作出的垂直平分线，其交点即为所求的点． （2）设切点为，连接，．利用勾股定理即可解决问题； （3）连接，，过点O作，由垂径定理得由勾股定理得，，从而得出，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图点即为所求； （2）解：如图，设切点为，连接，． 是切线， ， ， ， ． （3）解：如图，连接，，过点O作， ， 中，， 中，， ， ， 故答案为： 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 【答案】(1)见解析， (2)的半径为，点在上 【分析】本题考查了垂径定理的推论、点与圆的位置关系、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，结合图形即可得出圆心的坐标； （2）求出的半径和的长，即可得解． 【详解】（1）解：如图，圆心即为所作， ， 圆心的坐标为； （2）解：∵， ∴的半径为， ∵， ∴点在上． 变式4-3．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴ ，即小圆的半径r为 类型五、垂径定理的实际应用 核心思路：利用垂径定理（垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧）解决几何问题，常结合勾股定理计算线段长度。 解题步骤： 1. 识别条件：确认是否存在直径垂直于弦，或需构造垂直关系。 2. 应用定理：由垂直得平分（弦、弧），建立等量关系（如AM=MB）。 3. 勾股定理：在由半径、弦心距和弦的一半构成的直角三角形中列方程。 4. 实际问题转化：如拱桥问题，将桥拱抽象为圆弧，水位变化对应弦长变化。 关键点： · 若未直接给出垂直，可添加辅助线（过圆心作垂线）。 · 计算时统一设未知数为半径或弦心距，避免多变量混淆 例5．已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度为，过O作于点D，．    (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？ 【答案】(1) (2)可以顺利通过，见解析 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，利用半弦，半径和弦心距构造直角三角形，根据直角三角形中的勾股定理作为相等关系解方程求线段的长度是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 连接，设， 得： 解得：， ∴ 圆弧形拱桥的半径为； （2）∵， ， ∴，且，   ∴，. 连接，则，    ∴，即：， ∴该货船可以顺利通过． 变式5-1．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 变式5-2．“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键． （1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可； 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）连接， ， 设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D， 点D即为拱门为最高点， ， ，， ，， 在中， ， 点D到地面的距离为． 变式5-3．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案； （2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中， ， ， 的长为； （2）过作，连接， 由题得，， 在中，， ， ， 水面截线减少了． 一、单选题 1．如图，在正方形中，点H在边上（不与点A、D重合），，交正方形外角的平分线于点F，连接交于点M，连接交于点G，交于点N，连接．则下列结论：①；②点G是的中点，且是的三等分点；③若点H是的中点，则，；④；⑤若，则，其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】连接，可得，垂直平分，先证明点B、H、D、F四点共圆，即可判断①；根据垂直平分，结合互余可证明，即有，则可判断②正确；证明，即有，可判断④；根据相似有，根据可得，再证明，可得，即可判断⑤；根据点H是的中点，设，即求出，同理可证明，可得，即可得，进而可判断③． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，，垂直平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴点B、H、D、F四点共圆， ∴，， ∴，故①正确， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G是的中点， 若点G是的三等分点， ∴， ∵， ∴，即， ∴点N是的中点， ∵点H是动点， ∴点N也是动点， ∴点G不一定是的三等分点，故②错误， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴， 若，则， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤错误， 如图，③若点H是的中点，设，即， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ，故③错误， 则正确的有：①④， 故选：B． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B、H、D、F四点共圆，，是解答本题的关键． 2．如图，在中，，作的外接圆，D为上的动点且在的上方，F为线段的中点，P为线段上一点，Q为线段的延长线上一点，，则下列结论正确的有（    ） ①    ②的最小值为 ③     的最大值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理；根据，，进而求得，根据三角函数的定义，即可求解；②连接，取的中点，连接，，过点作，垂足为，得出在为圆心为半径的圆上运动，进而求得的最小值，即可判定②；根据已知求得，结合，证明即可判断③，根据是直径，得出，即可判断④，即可求解． 【详解】解：① 是的外接圆， ，， 在中， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，连接，取的中点，连接，，过点作，垂足为， ∵是的中点，是的中点 ∴ ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴的最小值为，故②错误； ∵ 设，则，， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，故③正确； ∵是直径， ∴， ∴ ∵ 即 ∴，故④正确， 故正确的有①③④， 故选：C． 3．如图，中，直径于点，为上一点，交于点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过B作于点F，连接，由题易得，设，则，然后解直角三角形可得、易得，在中运用勾股定理了可得，进而求出直径为，延长交于点D，连接，利用勾股定理求出，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：如图，过B作于点F，连接， ∵， ∴由垂径定理可知， ∵为直径， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴， 在中，， ∴ 如图：延长交于点D，连接， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题 4．如图，是等腰直角三角形，，．点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，点与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，构造辅助圆，证明点在上运动，利用点与圆的位置关系求出线段的最小值是解决问题的难点． 以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，证明点在弧上运动，得当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后求出线段的长即可 【详解】解：以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形，，， ，， 由勾股定理得：， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 点在上运动， ∵等腰，， ∴ 当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， ，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值是， 故答案为：． 5．如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的． ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题 6．（1）如图，是的弦，点是上的一点，点是外一点，则______（填“”“”或“”），请说明理由． （2）如图，五边形是一块小型湿地，，，，米，米，米为了进一步满足当地市民和游客的观景需求，计划在该湿地修建观景步道和相关设施，部分设计方案如下：①点为入口，点为出口，在湿地边缘的中点修建观景台，在湿地边缘上修建洗手间；②修建观景步道，即线段、、，为了尽可能保护生态，要使所修观景步道的长度最短；③在湿地边缘上选一点安装监控装置，用来监控步道，为了保证监控效果最佳，要使监控视角最大， 请问：是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出此时的长及最大视角的正弦值即；若不存在，请说明理由步道的宽忽略不计 【答案】（1），见解析；（2）米，存在， 【分析】（1）设与的交点是，连接，； （2）延长至，使米，连接，交于，则最小，过，作，且与相切于，则最大，根据可求得米，米，从而得出，米，可求得，从而，设，可表示出，，在中根据勾股定理得出，求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图， 设与的交点是，连接， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 延长至，使米，连接，交于， 则最小， 过，作，且与相切于， 则最大， ， ， ， 米， 米，米， ，米， ， 垂直平分， ， ， 设， ，， 在中，由勾股定理得， ， ， ，舍去， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 7．【问题提出】 （1）如图1，在中，点D、E分别在上，若，，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点D在边上，且，点E是内距离点B为2的一个动点，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某植物园有一块矩形空地，E、F分别在边上，且，沿铺设一条观赏通道，再从A向铺设一条小路，要求，在点M处修一个观景台（大小忽略不计），点C处是游客休息中心，为方便游客去休息中心，需要沿铺设公路，要求尽可能的短，已知．请问是否存在最小值，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）的最小值为；（3）存在，的最小值为 【分析】（1）证明，利用相似三角形性质求出，再根据求解，即可解题； （2）根据题意可得以点为圆心，为半径作，则点在内部的上运动，连接交于点，当三点共线时，最小，的最小值为的长，利用勾股定理推出，结合求出，证明，利用相似三角形性质求出，再根据求解，即可解题； （3）延长交的延长线于点，连接，以为直径作，则点在上，连接，交于点，过点作于点，由易得点在矩形内部的上移动，当点与点重合时，取得最小值，最小为，证明，利用相似三角形性质求出，再结合三角形中位线性质和判定，以及勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：（1） ， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）以点为圆心，为半径作，则点在内部的上运动，连接交于点，当三点共线时，最小，的最小值为的长， ， ， ，， 解得， ， ， ， ，即， 解得， ， 的最小值为； （3）延长交的延长线于点，连接，以为直径作，则点在上，连接，交于点，过点作于点， 由易得点在矩形内部的上移动，当点与点重合时，取得最小值，最小为， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ，， ，则是的中点，， ， 点是的中点，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形性质和判定，动点最值问题，勾股定理，垂径定理，三角形中位线性质和判定，解题的关键在于作辅助线找出最值情况求解． 8．【定义】若点到多边形各个顶点的距离均相等，则称点为“等距点”． 【问题探究】 （1）圆心是中任意内接多边形的“等距点”，该结论是否正确？______（填“正确”或“错误”） （2）如图1，在内部有一个“等距点”，已知，“等距点”到线段的距离为，求的最大面积． 【问题解决】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点在轴上，以为边作四边形，满足，在边上有一点，若点为四边形的“等距点”，设，请用含的代数式表示四边形的周长． 【答案】（1）正确 （2）的最大面积为 （3）四边形的周长为 【分析】（1）根据“等距点”的概念判定即可； （2）如图所示，由题意得到，在以点为圆心的圆上，作于点，则，延长交于点，连接，当点重合时，的面积最大，根据解直角三角形的计算得到，由此即可求解； （3）如图所示，连接，交于点，则，，可证，运用相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，圆心到内接多边形各顶点的距离相等， ∴圆心是中任意内接多边形的“等距点”， 故答案为：正确； （2）如图所示，由题意得到，在以点为圆心的圆上，作于点，则，延长交于点，连接， ∴当点重合时，的面积最大， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大面积为； （3）∵点为四边形的“等距点”， ∴点在以点为圆心，以为直径的圆上， ∵， ∴， 如图所示，连接，交于点，则，， ∴，， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，则， 在中，， ∴，则， 在中，， ∴，则， ∴， 解得，， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题主要考查定义新运算，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，勾股定理的计算，圆的基础知识的综合，理解新定义，掌握解直角三角形，相似三角形的判定和性质，数形结合分析是关键． 9．我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图，是的弦，，点分别是优弧和劣弧上的点，则_________，________． （2）如图，是的弦，圆心角，点是上不与重合的一点，求弦所对的圆周角的度数________．（用含的代数式表示） 【操作实践】 （3）如图，在四边形中，若点是边上任意一点，且满足． 用直尺和圆规在边上作出满足条件的所有点，保留作图痕迹，不写作法； 若，，且，，求的长度． 【灵活应用】 （4）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，且，连接，则的最小值为_______． 【答案】（），；（）或；（）见解析； 或；（）． 【分析】（）根据圆周角定理和圆内接四边形即可求解； （）根据圆周角定理和圆内接四边形即可求解； （）用尺规作图即可； 连接并延长交于点，由三点都在以点为圆心，为半径的圆上，则，可得四边形是矩形，则，，，又点在以点为圆心，为半径作圆上，连接，所以，由勾股定理得，，则有当点在点左侧时，，当点在点右侧时，； （）由，则作使，连接，，由四边形是矩形，则，，过作于点，延长交于点，所以，，可知四边形是矩形，则有，，由勾股定理得，，当三点共线时，有最小值，为． 【详解】解：（）如图，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：，； （）如图， 由圆周角定理可得：， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数或， 故答案为：或； （）如图， ∴点和即为所求； 如图，连接并延长交于点， ∵三点都在以点为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点在以点为圆心，为半径作圆上，连接， ∴， 在中，，，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴当点在点左侧时，，当点在点右侧时，； （）如图，由，则作使，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， 过作于点，延长交于点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， 如图，当三点共线时，有最小值，为． ． 【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角定理，圆内接四边形，勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，垂径定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．如图，为的弦，点C在弧上，平分，过点C作于点E，交于点F，连接． (1)求证：． (2)求的值． (3)当时，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等边对等角可得，进而得到，最后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）连接．过点O作于点D，利用垂径定理得到，再利用矩形的判定与性质得到即可解答； （3）利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理得，通过计算得到，利用相似三角形的判定与性质得到，如图2，过点O分别作的垂线，垂足分别为M，N，设，则，．，；利用相似三角形的判定与性质和垂径定理得到，利用全等三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，即进而证明结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图1：连接．过点O作于点D． ， ， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即． （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴． ∵， ， ∴． ∴． ． 由（1）可知，， ∴， ∵ ∴， ∴． 如图2，过点O分别作的垂线，垂足分别为M，N． ， ， 设，则，．，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点，正确添加的辅助线成为解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆心角、圆周角、垂径定理压轴题 目录 1 类型一、利用圆心角和圆周角定理求解 1 类型二、利用圆心角和圆周角定理证明 4 类型三、利用垂径定理求平行弦问题 6 类型四、利用垂径定理求同心圆问题 8 类型五、垂径定理的实际应用 11 13 类型一、利用圆心角和圆周角定理求解 核心思路：利用圆心角（=弧的度数）与圆周角（=½同弧圆心角）的倍数关系，结合圆内接四边形对角互补（180°）求解。 解题步骤： 1. 定关系： · 同弧所对圆周角相等（如∠APB=∠AQB）。 · 直径所对圆周角=90°（半圆弧180°）。 2. 列方程： · 圆心角∠AOB=弧AB度数，圆周角∠ACB=½∠AOB。 · 圆内接四边形对角互补（∠A+∠C=180°）。 3. 辅助线： · 遇圆周角补圆心角（连OA、OB）。 · 遇弦构造同弧圆周角（如作弦AD得∠ABD=∠ACD）。 关键点： · 圆周角定理优先用于角度转换，避免直接计算弧长。 · 隐藏条件：等弦→等弧→等角。 例1．如图，是半圆的直径，点在半圆上，弧、是等弧，连接，过点作 ，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，已知正方形的边长是4，点H是边的中点，是等腰直角三角形，．连接和，交于点G．若绕着点D在平面内自由旋转，的最大值是 ． 变式1-2．如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，点，则长度的最大值是 ． 变式1-3 问题背景： （1）如图1，，，，求证：． 尝试应用： （2）如图2，为等边三角形，为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于，若，，试求线段的长； 拓展创新： （3）如图3，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点C作，交的延长线于点，若，直接写出线段的长． 类型二、利用圆心角和圆周角定理证明 核心思路：通过圆心角（顶点在圆心）与圆周角（顶点在圆上）的数量关系建立证明路径。 解题步骤： 1. 定理应用： · 圆心角定理：圆心角∠AOB=弧AB度数 · 圆周角定理：圆周角∠ACB=½弧AB度数（同弧所对） 2. 关键证明方法： (1) 等弧证等角：由弧AB=弧CD→∠AOB=∠COD（圆心角）/∠APB=∠CQD（圆周角） (2) 直径条件：直径所对圆周角=90°（半圆180°÷2） (3) 共圆证角等：若四点共圆→外角等于内对角 3. 辅助线策略： · 补全圆心角：连接圆心与圆周角顶点形成圆心角 · 构造同弧圆周角：作弦AD形成∠ABD=∠ACD 示例：证明圆内接四边形对角互补→连接OA、OC，∠B+∠D=½(弧ADC+弧ABC)=180° 例2．如图，是的直径，点A在上且． (1)如图1，点D为直径上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点D为外一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)若点D为上一点且，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论． 变式2-1．如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 变式2-2．如图，四边形内接于，，为延长线上一点，连接，． (1)求证； (2)如图，连接并延长至点，连接，若平分，求证； (3)如图，在的条件下，若，，，延长交于点，求的长． 变式2-3．如图，为⊙的直径，P为延长线上的点，，垂足为E，连接，，，F是线段上一点，若平分，与线段交于点H． (1)若，求的度数； (2)求证：为⊙的切线； (3)若，，看一看，想一想，证一证：以下与线段、有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 类型三、利用垂径定理求平行弦问题 核心思路：利用垂径定理得出平行弦的弦心距相等或存在特定关系，结合勾股定理建立方程。 解题步骤： 1. 条件识别：确认圆内两条平行弦AB∥CD，明确是否位于圆心同侧或异侧 2. 垂径应用：作公垂线OE⊥AB且OF⊥CD（OE=OF当弦长相等时） 3. 勾股定理： · 同侧：|√(R²-d₁²)-√(R²-d₂²)|=弦距 · 异侧：√(R²-d₁²)+√(R²-d₂²)=弦距 （d₁,d₂为弦心距） 4. 特殊情形：等长平行弦→弦心距相等且对称分布 关键技巧： · 优先求弦心距而非半径，可减少变量 · 当已知弦长差时，利用平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)简化运算 · 图形未明确时需分类讨论同侧/异侧情况 示例：半径5cm圆中，相距1cm的两平行弦长8cm和6cm→由5²-4²=9，5²-3²=16，验证弦心距差√16-√9=1（成立） 例3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （   ） A． B． C．6 D． 变式3-1．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 变式3-2 已知⊙O的直径长为10，弦AB长为8，弦长CD为6，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为 . 变式3-3 已知的半径长为，弦与弦平行，，，求间的距离． 类型四、利用垂径定理求同心圆问题 核心思路：通过垂径定理建立弦长与弦心距的关系，结合同心圆半径差求解。 解题步骤： 1. 识别条件：明确同心圆的公共圆心O，以及与大圆、小圆相交的弦AB（需AB⊥直径CD）。 2. 应用垂径定理：由AB⊥CD得CD平分AB（AM=MB），同时AB在大圆和小圆中弦心距相同（设为d）。 3. 勾股定理列式：对大圆和小圆分别列方程： · 大圆： · 小圆：（若弦AB与小圆相切，则） 4. 求差或和：若已知两圆半径差（）或弦长差，联立方程求解。 关键点： · 当弦AB与小圆相切时，弦心距d即为小圆半径r。 · 隐藏条件：同心圆中，平行弦的弦心距相等。 示例：已知大圆弦长16，小圆弦长12，求半径差→由，得。 例4．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 变式4-1．在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 (1)利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： (2)图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； (3)填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 变式4-3．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 类型五、垂径定理的实际应用 核心思路：利用垂径定理（垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧）解决几何问题，常结合勾股定理计算线段长度。 解题步骤： 1. 识别条件：确认是否存在直径垂直于弦，或需构造垂直关系。 2. 应用定理：由垂直得平分（弦、弧），建立等量关系（如AM=MB）。 3. 勾股定理：在由半径、弦心距和弦的一半构成的直角三角形中列方程。 4. 实际问题转化：如拱桥问题，将桥拱抽象为圆弧，水位变化对应弦长变化。 关键点： · 若未直接给出垂直，可添加辅助线（过圆心作垂线）。 · 计算时统一设未知数为半径或弦心距，避免多变量混淆 例5．已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度为，过O作于点D，．    (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？ 变式5-1．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 变式5-2．“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 变式5-3．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 一、单选题 1．如图，在正方形中，点H在边上（不与点A、D重合），，交正方形外角的平分线于点F，连接交于点M，连接交于点G，交于点N，连接．则下列结论：①；②点G是的中点，且是的三等分点；③若点H是的中点，则，；④；⑤若，则，其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 2．如图，在中，，作的外接圆，D为上的动点且在的上方，F为线段的中点，P为线段上一点，Q为线段的延长线上一点，，则下列结论正确的有（    ） ①    ②的最小值为 ③     的最大值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，中，直径于点，为上一点，交于点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，是等腰直角三角形，，．点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则的最小值是 ． 5．如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 三、解答题 6．（1）如图，是的弦，点是上的一点，点是外一点，则______（填“”“”或“”），请说明理由． （2）如图，五边形是一块小型湿地，，，，米，米，米为了进一步满足当地市民和游客的观景需求，计划在该湿地修建观景步道和相关设施，部分设计方案如下：①点为入口，点为出口，在湿地边缘的中点修建观景台，在湿地边缘上修建洗手间；②修建观景步道，即线段、、，为了尽可能保护生态，要使所修观景步道的长度最短；③在湿地边缘上选一点安装监控装置，用来监控步道，为了保证监控效果最佳，要使监控视角最大， 请问：是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出此时的长及最大视角的正弦值即；若不存在，请说明理由步道的宽忽略不计 7．【问题提出】 （1）如图1，在中，点D、E分别在上，若，，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点D在边上，且，点E是内距离点B为2的一个动点，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某植物园有一块矩形空地，E、F分别在边上，且，沿铺设一条观赏通道，再从A向铺设一条小路，要求，在点M处修一个观景台（大小忽略不计），点C处是游客休息中心，为方便游客去休息中心，需要沿铺设公路，要求尽可能的短，已知．请问是否存在最小值，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由． 8．【定义】若点到多边形各个顶点的距离均相等，则称点为“等距点”． 【问题探究】 （1）圆心是中任意内接多边形的“等距点”，该结论是否正确？______（填“正确”或“错误”） （2）如图1，在内部有一个“等距点”，已知，“等距点”到线段的距离为，求的最大面积． 【问题解决】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点在轴上，以为边作四边形，满足，在边上有一点，若点为四边形的“等距点”，设，请用含的代数式表示四边形的周长． 9．我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图，是的弦，，点分别是优弧和劣弧上的点，则_________，________． （2）如图，是的弦，圆心角，点是上不与重合的一点，求弦所对的圆周角的度数________．（用含的代数式表示） 【操作实践】 （3）如图，在四边形中，若点是边上任意一点，且满足． 用直尺和圆规在边上作出满足条件的所有点，保留作图痕迹，不写作法； 若，，且，，求的长度． 【灵活应用】 （4）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，且，连接，则的最小值为_______． 10．如图，为的弦，点C在弧上，平分，过点C作于点E，交于点F，连接． (1)求证：． (2)求的值． (3)当时，判断的形状，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $