福建省莆田第一中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

试卷第 1⻚，共 6⻚ 莆⽥⼀中 2024-2025学年度上学期第⼀学段考试试卷 ⼋年级 数学 ⼀、单选题（本题共 10⼩题，每⼩题 4分，共 40分。） 1．下列四个图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）. A B C D 2．△ABC的三条⾼如图所示， 边上的⾼是（ ）. A． B． C． D． 第（2）题 第（3）题 3．如图为商场某品牌椅⼦的侧⾯图， ， 与地⾯平⾏， ，则 （ ）. A．70° B．65° C．60° D．50° 4．如图，OB平分∠ AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重 合，连接 ED、EF若添加下列条件中的某⼀个．就能使△DOE △FOE，你认为要添加的那个条件是（ ）. A．OD=OE B．OE=OF C．∠ ODE =∠ OED D．∠ ODE=∠ OFE 第（4）题 第（5）题 5．四边形 的边⻓如图所示，对⻆线 的⻓度随四边形形状的改变⽽变化．当△ABC为等腰三⻆形 时，对⻆线 的⻓为（ ）. A．2 B．3 C．4 D．5 试卷第 2⻚，共 6⻚ 6．“三⻆形的内⻆和为 ”是《⼏何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践⼩组 的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三⻆形内⻆和是 ”的是（ ）. A． B． C． D． 7．如图，在棋盘中建⽴直⻆坐标系 xOy，三颗棋⼦A，O，B的位置分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．如 果在其他格点位置添加⼀颗棋⼦C，使A，O，B，C四颗棋⼦成为⼀个轴对称图形，请找出不满⾜条件的 棋⼦C的位置的坐标：（ ）. A（﹣1，2） B（0，﹣1） C（﹣1，﹣1） D（-1，0） 第（7）题 第（8）题 8．如图，将正五边形纸⽚ 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，展开后，再将纸⽚折叠，使边𝐴𝐵 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，则 的⼤⼩为（ ）. A．30° B．45° C．55° D．60° 9．如图，在△ABC中 ， ，E是 ⻆平分线 延⻓线上⼀动点（不与 F的重合）， 过 E点作 于D点，当 E点运动时 的度数（ ）. A．随 E点运动⽽变化，离 F点越近，度数越⼤ B．度数不变，为 C．随 E点运动⽽变化，离 F点越远，度数远⼤ D．度数不变，为 试卷第 3⻚，共 6⻚ 第（9）题 第（10）题 10．如图，△ABC中，D是 的中点， 交 于 F， ， ，则 的值为（ ）. A．11 B．12 C．13 D．14 ⼆、填空题（本题共 6⼩题，每⼩题 4分，共 24分。） 11．在△ABC中，∠ A=36°．当∠ C= °，△ABC为等腰三⻆形．（填⼀个即可）. 12．在平⾯直⻆坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是 ． 13．⼩芳⽤三个全等的正m边形硬纸⽚和⼀个正三⻆形硬纸⽚拼成了⼀个平⾯图形，这四个硬纸⽚的拼接 处⽆空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平⾯图形的⼀部分，则 ． 14．如图，D、E分别是 BC、AD的中点， 与 关于直线CE对称，若 ABC的⾯积是 8，则 ⾯积为 ． 第（14）题 第（16）题 15．等腰三⻆形⼀腰上的⾼与另⼀腰的夹⻆为 60°，则等腰三⻆形的底⻆度数为 ． 16．已知等边△ABC中， ， ，若点 P在线段 AD上运动，当 的值最⼩时，AP 的⻓为 ． 试卷第 4⻚，共 6⻚ 三、解答题（本题共 9⼩题，共 86分。） 17．（本题满分 8分）如图，在 的正⽅形⽹格中，每个⼩正⽅形的边⻓都为 1，⽹格中有⼀个格点 △ABC（即三⻆形的顶点都在格⼦上） (1)在图中作出△ABC关于直线 l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1对应）； (2)在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的⾯积． 18．（本题满分 8分）如图， 是△ABC的外⻆， ， （1）⽤直尺和圆规作 的中垂线（要求保留作图痕迹）； （2）求证：△ABC是等腰三⻆形。 19．（本题满分 8分）（1）如图 1，以四边形的各顶点为圆⼼画半径为 1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把 四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的⾯积之和记为 ，求 的值（结果保留π）． （2）如图 2，试探究其中∠ 1，∠ 2与∠ 3，∠ 4之间的关系，并证明． 图 1 图 2 试卷第 5⻚，共 6⻚ 20．（本题满分 8分）如图，已知：AD平分∠ BAC，点 F是 AD反向延⻓线上的⼀点，EF⊥BC，∠ 1＝40°， ∠ C＝60°．求：∠ B和∠ F的度数． 第（20）题 第（21）题 21．（本题满分 8分）如图，在 中， ，点D为 的中点，连接 的垂直平分线 交 𝐴𝐵于点 E，交𝐴𝐷于点O，交 于点 F，连接 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 22．（本题满分 10分）如图，公园有⼀条 形道路 ．其中 ，在 处各有⼀个⽯ 凳，且 为 的中点，连接 ． (1)⽯凳 到⽯凳 的距离 是否相等？请说明理由； (2) 三点是否共线？请说明理由． 第（22）题 第（23）题 23．（本题满分 10分）如图， 中， 平分 ，且DB=DC，DE⊥AB于 E． (1)求证： ； (2)如果 ， ，求 的⻓． 试卷第 6⻚，共 6⻚ 24．（本题满分 12分）如图 1，在四边形 中， ， ， ，点 E， F分别是 上的点，且 ，连接 ，探究线段 之间的数量关系． (1)探究发现：⼩明同学的⽅法是延⻓ 到点G．使 ．连结 ，先证明 ，再证 明 ，从⽽得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图 2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 上的点， 且 ，请问（1）中的结论是否仍然成⽴？若成⽴，请写出证明过程，若不成⽴，请说明理由． (3)尝试应⽤：如图 3，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 延⻓线上 的点，且 ，请探究线段 具有怎样的数量关系，并证明． 25．（本题满分 14分）如图 1，在平⾯直⻆坐标系中，点 A的坐标是 ，点 B在 x轴上，且 ， 点D是线段 上的⼀点，以 为边向下作等边△BDE． (1)如图 2，当 时，求证： 平分 ； (2)如图 3，当点 E落在 y轴上时，求点 E的坐标； (3)利⽤图 1探究并说理：点D在 y轴上从点 A向点O滑动的过程中，点 E也会在⼀条直线上滑动；并直 接写出点 E运动路径的⻓度． 答案第 1⻚，共 19⻚ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D B B D B D D 1．C 【分析】根据轴对称图形的概念进⾏判断即可； 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题关键是抓住轴对称图形是指将⼀个图形沿着某条 直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合． 2．C 【分析】根据三⻆形⾼的定义即可求解． 【详解】解：根据题意可得 边上的⾼是 ， 故选C． 【点睛】本题考查了三⻆形⾼的定义（从三⻆形⼀个端点向它的对边所在的直线作⼀条垂线， 三⻆形顶点和垂⾜之间的线段称三⻆形这条边上的⾼），灵活运⽤所学知识求解是解决本题 的关键． 3．A 【分析】根据平⾏得到 ，再利⽤外⻆的性质和对顶⻆相等，进⾏求解即 可． 【详解】解：由题意，得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 故选A． 【点睛】本题考查平⾏线的性质，三⻆形外⻆的性质，对顶⻆．熟练掌握相关性质，是解题 的关键． 答案第 2⻚，共 19⻚ 4．D 【分析】根据OB平分∠ AOC得∠ AOB=∠ BOC，⼜因为OE是公共边，根据全等三⻆形的判 断即可得出结果． 【详解】解：∵ OB平分∠ AOC ∴ ∠ AOB=∠ BOC 当△DOE≌ △FOE时，可得以下结论： OD=OF，DE=EF，∠ ODE=∠ OFE，∠ OED=∠ OEF． A答案中OD与OE不是△DOE≌ △FOE的对应边，A不正确； B答案中OE与OF不是△DOE≌ △FOE的对应边，B不正确； C答案中，∠ ODE与∠ OED不是△DOE≌ △FOE的对应⻆，C不正确； D答案中，若∠ ODE=∠ OFE， 在△DOE和△FOE中， ∴ △DOE≌ △FOE（AAS） ∴ D答案正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三⻆形全等的判断，理解全等图形中边和⻆的对应关系是解题的关键． 5．B 【分析】利⽤三⻆形三边关系求得 ，再利⽤等腰三⻆形的定义即可求解． 【详解】解：在 中， ， ∴ ，即 ， 当 时， 为等腰三⻆形，但不合题意，舍去； 若 时， 为等腰三⻆形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三⻆形三边关系以及等腰三⻆形的定义，解题的关键是灵活运⽤所学知 识解决问题． 6．B 【分析】本题考查三⻆形内⻆和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平⻆的定义是解决本 答案第 3⻚，共 19⻚ 题的关键．本题运⽤转化的思想作出相应的平⾏线，把三⻆形的内⻆进⾏转化，再根据平⻆ 的定义解决即可． 【详解】解：A．由 ，则 ， ．由 ， 得 ，故能证明“三⻆形内⻆和是 ”，不符合题意 B．由 于D，则 ，⽆法证得“三⻆形内⻆和是 ”，符合题意． C．由 ，得 ， ．由 ，得 ， ， 所以 ．由 ，得： ，故能证明 “三⻆形内⻆和是 ”，不符合题意 D．由 ，得 ， ．由 ，得 ，故能证明“三⻆形内⻆和是 ”，不符合题意． 故选B． 7．D 【分析】根据轴对称的定义分析即可． 【详解】解：如图所示，C点的位置为（﹣1，2），（2，1），A，O，B，C四颗棋⼦组成等腰 梯形为轴对称图形； C点的位置为（﹣1，﹣1），x轴是对称轴， C点的位置为（0，﹣1），直线AO为对称轴 满⾜的有：（﹣1，2），（2，1），（﹣1，﹣1），（0，﹣1）．选D 【点睛】此题考查的是添加⼀个点，使四点构成的图形为轴对称图形，掌握轴对称图形的定 义是解决此题的关键． 【点睛】本题主要考查⼏何图形周⻓的计算⽅法，垂直平分线的性质的运⽤，掌握垂直平分 线的性质是解题的关键． 答案第 4⻚，共 19⻚ 8．B 【分析】根据题意求得正五边形的每⼀个内⻆为 ，根据折叠的性质求得 在 中，根据三⻆形内⻆和定理即可求解． 【详解】解：∵ 正五边形的每⼀个内⻆为 ， 将正五边形纸⽚ 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ， 则 ， ∵ 将纸⽚折叠，使边𝐴𝐵落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ， ∴ ， ， 在 中， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内⻆和的应⽤，熟练掌握折叠的性质是解题的 关键． 9．D 【分析】本题考查三⻆形内⻆和定理，⻆平分线的定义，平⾏线的性质，先求出 ，根据⻆平分线的定义得出 ，得出 ，过点 作 ，得出 ，得出当 E点运动 时 的度数不变，为 ． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 过点 作 ， ∴ ， 答案第 5⻚，共 19⻚ ∴ ， ∴当 E点运动时 的度数不变，为 ； 故选：D． 10．D 【分析】连接 ，过点 E作 ，交 的延⻓线于点G，证明 即可． 【详解】解：连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 过点 E作 ，交 的延⻓线于点G， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 答案第 6⻚，共 19⻚ ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三⻆形的判定，三⻆形全等的判定和性质，⻆平分线的性质定理， 熟练掌握三⻆形全等的判定和性质是解题的关键． 11．36°、72°、108°（填⼀个即可） 12． 【分析】本题主要考查了关于 x轴、y轴对称的点的坐标规律，熟练掌握关于坐标轴对称的 点的坐标特点是解题关键． 关于 x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于 y 轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 根据关于 y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数求解即可． 【详解】解：点 关于 y轴的对称点的坐标是 ， 故答案为： ． 13． 【分析】本题考查了⽆缝拼接的条件，多边形的内⻆和，正多边形的定义；⽆缝拼接的条件 得 ，由多边形的内⻆和公式和正多边形的定义，即可求解；理解⽆缝拼接 的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内⻆和公式： 是解题的关键． 【详解】解：由题意得：正m边形的内⻆为 ， ， 解得： ， 故答案： ． 14. 2 【分析】根据D、E分别是 BC、AD的中点，可得 ， ， 再由对称即可求得 ． 【详解】解：∵ D别是 BC的中点，∴ ， ∵ E别是 AD的中点，∴ ， 答案第 7⻚，共 19⻚ ⼜∵ 与 关于直线CE对称，∴ 15． 或 【分析】本题考查了等腰三⻆形的性质，三⻆形内⻆和定理，注意等腰三⻆形的分类讨论． 在等腰 中， ， 为腰 上的⾼， ，讨论：当 在 内 部时，如图 1，先计算出 ，再根据等腰三⻆形的性质和三⻆形内⻆和可计算出 ；当 在 外部时，如图 2，先计算出 ，再根据等腰三⻆形的性质 和三⻆形外⻆性质可计算出 ． 【详解】解：在等腰 中， ， 为腰 上的⾼， ， 当 在 内部时，如图 1， 为⾼， ， ， ， ； 当 在 外部时，如图 2， 为⾼， ， ， ， ， 答案第 8⻚，共 19⻚ ⽽ ， ； 综上所述，这个等腰三⻆形底⻆的度数为 或 ． 故答案为： 或 ． 16．8 【分析】根据题意易得 ，则有 ，过点 P作 于点 E，进⽽可得 ，当 取最 ⼩时，即 为最⼩，则有当点 B、P、E三点共线时最⼩，进⽽可求解． 【详解】解：∵ 是等边三⻆形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 过点 P作 于点 E，如图所示： ∴ ， ∴ ， ∴当 取最⼩时，即 为最⼩， ∴当点 B、P、E三点共线时最⼩，如图所示： ∴ ， 答案第 9⻚，共 19⻚ ∴ ， ， ∵ ， ∴ ； 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查等边三⻆形的性质及含 30°⻆的直⻆三⻆形的性质，熟练掌握等边三 ⻆形的性质及含 30°⻆的直⻆三⻆形的性质是解题的关键． 17．【(1)⻅解析 (2)⻅解析 (3)12 【分析】本题考查轴对称作图，利⽤成轴对称的性质求解： （1）根据成轴对称的性质，作图即可； （2）根据梯形⾯积公式求解即可； 【详解】（1）解：如图， 是 关于直线 l的对称图形． （2）解：由图可知，四边形 是等腰梯形， ， ，⾼ ， ∴ ． 18．⼩问 1详解】 解：如图： 的中垂线即为所作， 答案第 10⻚，共 19⻚ ； 【⼩问 2详解】 证明：∵ ∴ （两直线平⾏，同位⻆相等） （两直线平⾏，内错⻆相等） ⽽已知 ∴ ∴ （等⻆对等边）． ∴△ABC是等腰三⻆形。 19．解：由图可知，四个阴影部分的圆⼼⻆的度数之和为四边形的四个内⻆之和，即为 ， ∴四个阴影部分的⾯积构成⼀个整圆的⾯积，即： ； （2）∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠ 4，理由如下： 由四边形的内⻆和是 360°可知：∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6=360°， ∵ ∠ 1+∠ 5=180°，∠ 2+∠ 6=180°， ∴ ∠ 1+∠ 2+∠ 5+∠ 6=360°， ∴ ∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠ 4； 【点睛】本题考查了四边形的内⻆和、⻆平分线的定义、三⻆形的内⻆和等，熟练掌握和灵 活应⽤相关知识是解题的关键. 20.∠ B＝40°； ∠ F＝10° 【分析】根据 AD平分∠ BAC，可得∠ BAC=80°，由三⻆形内⻆和定理可得∠ B＝40°，再根据 三⻆形外⻆的性质可得∠ EDF＝80°，然后根据 EF⊥BC，即可求解． 【详解】解：∵ AD平分∠ BAC， 答案第 11⻚，共 19⻚ ∴ ∠ 1＝∠ DAC， ∵ ∠ 1＝40°， ∴ ∠ DAC＝40°，即∠ BAC=80°， ∵ ∠ C＝60°， ∴ ∠ B＝180°﹣∠ BAC﹣∠ C＝180°﹣80°﹣60°＝40°， ∴ ∠ EDF＝∠ B+∠ 1=40°+40°＝80°， ∵ EF⊥BC， ∴在 Rt△EDF中，∠ F＝90°﹣∠ EDF＝90°﹣80°＝10°． 【点睛】本题主要考查了有关⻆平分线的计算，三⻆形的内⻆和定理，三⻆形外⻆的性质， 直⻆三⻆形的性质，熟练掌握有关⻆平分线的计算，三⻆形的内⻆和定理，三⻆形外⻆的性 质，直⻆三⻆形的性质是解题的关键． 21．(1)详⻅解析 (2)30° 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三⻆形的判定与性质，灵活运⽤线 段垂直平分线的性质和等腰三⻆形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得 ，再根据等腰三⻆形的性质可得 ， 进⽽说明𝐴𝐷是 的线段垂直平分线，可得 ，进⽽得到 ，即可证明结论； （2）先根据等腰三⻆形的性质及⻆的和差可得 ，再根据线段垂直平分线的性质 以及三⻆形的内⻆和可得 ；再根据等腰三⻆形的性质可得 ， 最后根据三⻆形外⻆的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵ 是𝐴𝐵的线段垂直平分线， ∴ ， ∵ ，D为 中点， ∴ （三线合⼀）， ∴ 𝐴𝐷是 的线段垂直平分线， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵ ，D为 中点， ∴ （三线合⼀）， ∴ ， 答案第 12⻚，共 19⻚ ∵ 是𝐴𝐵的线段垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 22．(1)⽯凳 到⽯凳 的距离 相等，⻅解析． (2) 三点共线，⻅解析． 【分析】（1）由 得到 ，由点M为 的中点得到 ，从⽽证明 ，得到 ； （2）由 得到 ，⼜ ，得到 ，因此 三点共线． 【详解】（1）⽯凳 到⽯凳 的距离 相等．理由如下： ∵ ， ∴ ． ∵ 点M为 的中点， ∴ ． 在 和 中， ． ， 即⽯凳 到⽯凳 的距离 ， 相等． （2） 三点共线． 理由如下： ， 答案第 13⻚，共 19⻚ ． ， ． 三点共线． 【点睛】本题考查三⻆形全等的判定与性质，熟练掌握三⻆形全等的判定与性质是解题的关 键． 23．(1)⻅解析 (2) 【分析】此题考查了⻆平分线的性质定理，全等三⻆形的性质和判定等知识，解题的关键是 熟练掌握以上知识点． （1）过点D作 交 延⻓线于 F， ⾸先根据⻆平分线的性质得到 ， ，然后证明出 ，进⽽求解即可； （2）⾸先根据⻆平分线的概念得到 ，然后证明出 ，得 到 ，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点D作 交 延⻓线于 F， ∵ 平分 ， ， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ； ∴ ， ∵ ， 答案第 14⻚，共 19⻚ ∴ （2）解：∵ 平分 ， ∴ 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ⼜∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 24．(1) (2)成⽴，理由⻅解析 (3) ，证明⻅解析 【分析】（1）延⻓ 到点G．使 ．连接 ，利⽤全等三⻆形的性质解决问题即 可； （2）延⻓ ⾄M，使 ，连接 ．证明 ，由全等三⻆形的性质 得出 ． ，由全等三⻆形的性质得出 ，即 ，则可得出结论； （3）在 上截取 ，使 ，连接 ．证明 ．由全等三⻆形的性 质得出 ．证明 ，由全等三⻆形的性质得出结论． 【详解】（1）解： ． 延⻓ 到点G．使 ．连接 ， 答案第 15⻚，共 19⻚ ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ⼜∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ． ∴ ． 故答案为： ； （2）解：（1）中的结论 仍然成⽴． 证明：如图②中，延⻓ ⾄M，使𝐵𝑀 = 𝐷𝐹，连接 ． ∵ ， ∴ ， 在 与 中， ， 答案第 16⻚，共 19⻚ ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ，即 ． 在 与 中， ， ∴ ． ∴ ，即 ， ∴ ； （3）解：结论： ． 证明：如图③中，在 上截取 ，使 ，连接 ． ∵ ， ∴ ． 在 与 中， ， ∴ ． ∴ ． 答案第 17⻚，共 19⻚ ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题是三⻆形综合题，考查了三⻆形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加 辅助线，构造全等三⻆形解决问题． 25．(1)证明⻅解析 (2) (3)当 在 上滑动时，点 总在与 轴夹⻆为 的直线 上滑动， 点 运动路径的⻓度为 6 【分析】（1）根据等边三⻆形的性质得到 ，证明 ，根据全等三⻆形 的性质证明； （2）设 ，根据直⻆三⻆形的性质求出 ，得到答案； （3）在 轴上取点 ，使 ，连接 ，证明 ，得到 ， 得到答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， 是等边三⻆形， ， 在 和 中， ， ， ，即 平分 ； 答案第 18⻚，共 19⻚ （2）解： 是等边三⻆形， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ； （3）如图 1，在 轴上取点 ，使 ，连接 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 当 在 上滑动时，点 总在与 轴夹⻆为 的直线 上滑动， ，点D在 y轴上从点 A向点O滑动， ， 当点D运动到终点O处时， ， ， 此时点 E 随之到达终点， ， 答案第 19⻚，共 19⻚ 点 运动路径的⻓度为 6． 【点睛】本题考查的是等边三⻆形的性质、直⻆三⻆形的性质、全等三⻆形的判定和性质， 掌握全等三⻆形的判定定理和性质定理是解题的关键． 莆田一中2024-2025学年度上学期第一学段考试试卷 八年级 数学 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分。） 1．下列四个图案中，可以看作轴对称图形的是（    ）. A B C D 2．△ABC的三条高如图所示，边上的高是（    ）. A． B． C． D． 第（2）题 第（3）题 3．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ）. A．70° B．65° C．60° D．50° 4．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使△DOE△FOE，你认为要添加的那个条件是（    ）. A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE 第（4）题 第（5）题 5．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线的长为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 6．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（    ）. A． B． C． D． 7．如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B的位置分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请找出不满足条件的棋子C的位置的坐标：（    ）. A（﹣1，2） B（0，﹣1） C（﹣1，﹣1） D（-1，0） 第（7）题 第（8）题 8．如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为（    ）. A．30° B．45° C．55° D．60°   9．如图，在△ABC中，，E是角平分线延长线上一动点（不与F的重合），过E点作于D点，当E点运动时的度数（    ）. A．随E点运动而变化，离F点越近，度数越大 B．度数不变，为 C．随E点运动而变化，离F点越远，度数远大 D．度数不变，为 第（9）题 第（10）题 10．如图，△ABC中，D是的中点，交于F，，，则的值为（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。） 11．在△ABC中，∠A=36°．当∠C= °，△ABC为等腰三角形．（填一个即可）. 12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 13．小芳用三个全等的正m边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼成了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则 ． 14．如图，D、E分别是BC、AD的中点，与关于直线CE对称，若ABC的面积是8，则面积为 ． 第（14）题 第（16）题 15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为 ． 16．已知等边△ABC中，，，若点P在线段AD上运动，当的值最小时，AP的长为 ． 三、解答题（本题共9小题，共86分。） 17．（本题满分8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点 △ABC（即三角形的顶点都在格子上） (1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1对应）； (2)在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积． 18．（本题满分8分）如图，是△ABC的外角，， （1）用直尺和圆规作的中垂线（要求保留作图痕迹）； （2）求证：△ABC是等腰三角形。 19．（本题满分8分）（1）如图1，以四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把四边形与各圆重叠部分（阴影部分）的面积之和记为，求的值（结果保留π）． （2）如图2，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的关系，并证明． 图1 图2 20．（本题满分8分）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°．求：∠B和∠F的度数． 第（20）题 第（21）题 21．（本题满分8分）如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（本题满分10分）如图，公园有一条形道路．其中，在处各有一个石凳，且为的中点，连接． (1)石凳到石凳的距离是否相等？请说明理由； (2)三点是否共线？请说明理由．    第（22）题 第（23）题 23．（本题满分10分）如图，中，平分，且DB=DC，DE⊥AB于E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 24．（本题满分12分）如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 25．（本题满分14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在x轴上，且，点D是线段上的一点，以为边向下作等边△BDE．    (1)如图2，当时，求证：平分； (2)如图3，当点E落在y轴上时，求点E的坐标； (3)利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D B B D B D D 1．C 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可； 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题关键是抓住轴对称图形是指将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合． 2．C 【分析】根据三角形高的定义即可求解． 【详解】解：根据题意可得边上的高是， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形高的定义（从三角形一个端点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 3．A 【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 4．D 【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果． 【详解】解：∵OB平分∠AOC ∴∠AOB=∠BOC 当△DOE≌△FOE时，可得以下结论： OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF． A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确； B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确； C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确； D答案中，若∠ODE=∠OFE， 在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS） ∴D答案正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键． 5．B 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 7．D 【分析】根据轴对称的定义分析即可． 【详解】解：如图所示，C点的位置为（﹣1，2），（2，1），A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形为轴对称图形； C点的位置为（﹣1，﹣1），x轴是对称轴， C点的位置为（0，﹣1），直线AO为对称轴 满足的有：（﹣1，2），（2，1），（﹣1，﹣1），（0，﹣1）．选D 【点睛】此题考查的是添加一个点，使四点构成的图形为轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键． 【点睛】本题主要考查几何图形周长的计算方法，垂直平分线的性质的运用，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 8．B 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9．D 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，先求出，根据角平分线的定义得出，得出，过点作，得出，得出当E点运动时的度数不变，为． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴当E点运动时的度数不变，为； 故选：D． 10．D 【分析】连接，过点E作，交的延长线于点G，证明即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 11．36°、72°、108°（填一个即可） 12． 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题关键． 关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 根据关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数求解即可． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义；无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，即可求解；理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键． 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案：． 14. 2 【分析】根据D、E分别是BC、AD的中点，可得，，再由对称即可求得． 【详解】解：∵D别是BC的中点，∴， ∵E别是AD的中点，∴， 又∵与关于直线CE对称，∴ 15．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论． 在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1，   为高， ， ， ， ； 当在外部时，如图2，   为高， ， ， ， ， 而， ； 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 16．8 【分析】根据题意易得，则有，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即为最小，则有当点B、P、E三点共线时最小，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过点P作于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时最小，如图所示： ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 17．【(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查轴对称作图，利用成轴对称的性质求解： （1）根据成轴对称的性质，作图即可； （2）根据梯形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：如图，是关于直线l的对称图形． （2）解：由图可知，四边形是等腰梯形，，，高， ∴． 18．小问1详解】 解：如图：的中垂线即为所作， ； 【小问2详解】 证明：∵ ∴（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 而已知 ∴ ∴（等角对等边）． ∴△ABC是等腰三角形。 19．解：由图可知，四个阴影部分的圆心角的度数之和为四边形的四个内角之和，即为， ∴四个阴影部分的面积构成一个整圆的面积，即：； （2）∠1+∠2=∠3+∠4，理由如下： 由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6=360°， ∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°， ∴∠1+∠2+∠5+∠6=360°， ∴∠1+∠2=∠3+∠4； 【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义、三角形的内角和等，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键. 20.∠B＝40°； ∠F＝10° 【分析】根据AD平分∠BAC，可得∠BAC=80°，由三角形内角和定理可得∠B＝40°，再根据三角形外角的性质可得∠EDF＝80°，然后根据EF⊥BC，即可求解． 【详解】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠DAC， ∵∠1＝40°， ∴∠DAC＝40°，即∠BAC=80°， ∵∠C＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°， ∴∠EDF＝∠B+∠1=40°+40°＝80°， ∵EF⊥BC， ∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣80°＝10°． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握有关角平分线的计算，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 21．(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，灵活运用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而说明是的线段垂直平分线，可得，进而得到，即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得，再根据线段垂直平分线的性质以及三角形的内角和可得；再根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的线段垂直平分线， ∴， ∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴是的线段垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴， ∵是的线段垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．(1)石凳到石凳的距离相等，见解析． (2)三点共线，见解析． 【分析】（1）由得到，由点M为的中点得到，从而证明，得到； （2）由得到，又，得到，因此三点共线． 【详解】（1）石凳到石凳的距离相等．理由如下： ∵， ∴． ∵点M为的中点， ∴． 在和中， ． ， 即石凳到石凳的距离，相等． （2）三点共线． 理由如下： ， ． ， ． 三点共线． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． 23．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）过点D作交延长线于F， 首先根据角平分线的性质得到，，然后证明出，进而求解即可； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点D作交延长线于F， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴ （2）解：∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 24．(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．(1)证明见解析 (2) (3)当在上滑动时，点总在与轴夹角为的直线上滑动， 点运动路径的长度为6 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）设，根据直角三角形的性质求出，得到答案； （3）在轴上取点，使，连接，证明，得到，得到答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ，即平分；    （2）解：是等边三角形， ， ， 设，则， ，， ， ，， ， 解得，， ； （3）如图1，在轴上取点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， 当在上滑动时，点总在与轴夹角为的直线上滑动， ，点D在y轴上从点A向点O滑动，， 当点D运动到终点O处时，，， 此时点E 随之到达终点，， 点运动路径的长度为6．    【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$