福建省莆田第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

田一中 2024-2025学 上学 第一学段考试试卷 高一 数学必修一 题人： 毓琴 曾献峰 审 人： 霞 试卷共 4页 考试时间 120 钟 总 150 一、单 题： 题共 8 题,每 题 5 ,共 40 。 每 题给出的四个 项中,只 一项符 题意。 1.已知 A={x|x≤ 1},B={y|y≤ 0}, A∩ ∁RB= ( ) A. (0,1] B. [0,1) C. (0, +∞) D. ∅ 2.已知 题P：∃ x< 0,x+ 3> 2x, ¬P ( ) A. ∀ x< 0,x+ 3> 2x B. ∃ x≥ 0,x+ 3> 2x C. ∀ x< 0,x+ 3≤ 2x D. ∃ x≥ 0,x+ 3≤ 2x 3.已知 a= 30.8,b= 40.8,c= 30.7, ( ) A. a< b< c B. c< a< b C. c< b< a D. b< a< c 4.用 [x]表示不大于实数 x的整数， 如,[-3.5]=-4,[2.1]= 2, [x]> [y] x> y的 ( ) A. 充 不必要 件 B. 必要不充 件 C. 充 必要 件 D. 既不充 又不必要 5.函数 f(x) = |x| + 1x 的大致图 ( ) O x y x y O x y O x y O A. B. C. D. 6.给定数 A=R,B= (-∞,0),x,y满足方 x2+ y= 0,下 对 关系 f为函数的 ( ) A. f:A→B,x= f(y) B. f:B→A,x= f(y) C. f:A→B,y= f(x) D. f:B→A,y= f(x) ·1· 7.函数 f(x) = 2x 2, x≥a, (2-a)x+1,x<a  为R上的 函数， 实数 a的取 围 ( ) A. [0,2) B. [1,2) C. [0,1] D. [ 13 ,1] 8.若定义 R上的函数 f(x) = aex+ e-x的 为 2, 不等式 f(x)> f(2x- 1)的解 为 ( ) A. ( 13 ,1) B. (-∞, 1 3 ) ∪ (1, +∞) C. (- 13 , 1 3 ) D. (-∞,- 1 3 ) ∪ ( 1 3 , +∞) 二、多 题： 题共 3 题，每 题 6 ，共 18 。 每 题给出的 项中， 多项符 题目要 。全部 对的得 6 ，部 对的得部 ， 错的得 0 。 9.下 题中，正 的 ( ) A. 函数 f(x) = x 2+1 x (x≥ 2) 为 2 B. 函数 f(x) = ( 12 ) x2-2x [1, +∞)上单 减 C. 无论 a取 ，函数 f(x) = ax-2+ 1(a> 0且 a≠ 1)恒过定点 (2,2) D. 若函数 f(x)定义域为 [1,2], f(x+ 1)定义域为 [2,3] 10.已知函数 f(x)为R上的奇函数，且 x≥ 0时，f(x) =-x2+ 2x+m, ( ) A. f(1) = 1 B. 当 x< 0时,f(x) = x2+ 2x C. 0< x< 1时，f(x)> f( x ) D. 当 1< x< 2时,f(x)< f(-x- 2) 11.已知函数 f x 对任意实数 x 满足 2f x + f x2-1 = 1， ( ) A. f(x)为 函数 B. f 2 = 1 C. f -1 = 13 D. 函数 f x  区间 2, 3 上不单 三、 题： 题共 3 题，每 题 5 ，共 15 。 12.已知 函数 y= f(x)图 过 (2, 2 ), f(9) = . 13.已知 a,b> 0,且 ab= 4a+ b+ 5， ab的 为 . 14.函数 f:{1,2,3}→ {1,2,3}，满足 f( f(x)) = f(x)， 这 的函数个数共 . ·2· 四、解答题： 题共 5 题，共 77 。解答 写出文字说 、证 过 或 算步骤。 15. (13 ) (1) 式 a 3 a 4 a2 (a> 0)化简为 数式； (2) ：(1.5) - 13 × - 76  0+ 80.25× 4 2+ 5+2 -1- 23  2 3 ； (3)已知 a 1 2 - a - 12= 1， a 3 2+a - 32 a 1 2+a - 12 的 . 16. (15 )为 进消费，某电商 台 出 式 销活 ： 第一 ：若一次性购买商 金额不超过 300元， 不打折； 第二 ：若一次性购买商 金额超过 300元，不超过 500元， 超过 300元的部  打 8折； 第三 ：若一次性购买商 金额超过 500元， 超过 300元， 不超过 500元的部  打 8折， 超过 500元的部  打 7折. 若某顾客一次性购买商 金额为 x元，实 支付金额为 y元. (1) y关于 x的函数解 式； (2)若顾客甲、乙购买商 金额 为 a、b元，且 a、b满足关系式 b= a+ 450a-85 + 320(a ≥ 90)，为享受 大的折扣 ，甲、乙决定拼单一起支付，当甲、乙购买商 金额之 时，甲、乙实 共需要支付多 钱？ 17. (15 )已知函数 f(x) = 1- 2 2x+1 ． (1) 断 证 函数 f(x)的奇 性； (2)讨论 f(x)的单 性， 用单 性的定义证 ； (3)若对任意的实数 x,f(4x) + f(4-m× 2x)> 0恒成 ， 实数m的 围. ·3· 18. (17 )已知函数 f x = x2- ax+ 2a- 2,g x = 2 x-1 ，函数F x =min f x ,g x  ， 其中min p,q = p, p≤q, q, p≥q.  (1)若 f(x)≤ 0的解 为 {x|0≤ x≤ 1}, a的 ； (2)若 a≥ 6， (i) 得F x = f x 成 的 x的取 围； (ii) F x  区间 0,6 上的 大 M a ． 19. (17 )已知 f x  定义 R上的函数，若对任意的 x1，x2∈R，x1- x2∈S， f x1 - f x2 ∈S， 称 f x  S关联． (1) 断 证 f x = 2x+ 1 0，+∞ 关联？ 0，1 关联？ (2)若 f x  3 关联，当 x∈ 0,3 时，f x = x2- 2x，解不等式 2≤ f x ≤ 3； (3)证 ：“f x  1 关联，且 0，+∞ 关联”当且仅当“f x  1，2 关联”． ·4· 莆田一中2024-2025学年度上学期第一学段考试高一数学参考答案 1.A 【解析】CB={xx>0,所以A∩CnB=(0,1] 2.C 【解析】3x∈M,p(x)成立的否定为：Vx∈M,p(x)成立. 3.B 【解析】函数y=3↑→a>c:幂函数y=x在(0，+o)↑，则b>a,所以b>a>c 4.A 【解析】y=[x]的函数图象为阶梯型可知选项A成立 5.D 【解析】fx)=女+上 x+1 z>0 (+1 <0 6.D 【解析】结合图象以及函数的概念：对任意的x,有唯一的y与之对应，可知选D 7.B a≥0 【解析】分段函数为增函数，则其图象步步高，所以{2-a<0 →1≤a<2 2a2≥(2-a)a+1 8.A 【解析】显然a>0,所以ae+e≥2Wa=2→a=l,所以f(x)=e+e+,显然f(x)为偶函数， 且当x≥0时，令t=e>1,因为y=t+子在1，+o)上单调递增， 由复合函数的单调性可知，f(x)在[0，+o)上单调递增 所以f(>f02x-103r>2z-1P即(3x-)e-)<0→号<x<1 9.BC 【解析】选项A.x+1≥2，当且仅当x=1,而x≥2，所以A错： t=x2-2x1 选项B. =(兮门，根据复合函数同增异减可知选项B正确。 选项C.由a=1可知f(x)=a2+1恒过定点(2,2) 选项D.函数f(x)定义域为[1,2]，则由1≤x+1≤2可得f(x+1)定义域为[0,1] 10.ABD 【解析】fO)=0得m=0,所以fx)=-x2+2x,f1)=-1+2=1,选项A正确： Vx<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(-x2-2x)=x2+2c,选项B正确： f)在(0,1)上单调递增，0<x<√五<1，所以f)<f(W),选项C错误：或举特例：x=1 4 1<x<2,则-4<-x-2<-3,所以f(x)在(1,2)上单调递减，在(-4，-3)单调递减 f(x)>f(-3)=3>1=f1),选项D正确. 11.ACD 【解析】选项A,2f(x)+f(x2-1)=1中，用-x→x则2f(-x)+f(x2-1)=1, 两式相减得：2f(x)-2f(一x)=0,即可得：f(一x)=f(x),故A正确： 选项B,令x=√2，则2f(√2)+f1)=1,需求f1) 令x=1,则2f(1)+f(0)=1,需求f(0) 1… 令红=0，则20+-)=1品2对0+0=1 由上述两式可得：f四=f0)=3:所以f(W2)=3,故B错误： C项：由B知，f(-1)=f)=3,故C正确： 选项D,f2)=子注意到2f()+f(:2-1)=1两系数之和为3，若令f)=f2-1) 则有)=1曰f)=子令x=r-1,求得：x=15,取r=1+5∈W2V3, 2 2 则3(1+5)=1.即f+5)=言·则f2)=±5）=号 即函数f(回)在区间(W反③)上不单调，故D正确满足此函数方程的一个函数模型为f)=号 12.3 【解析1f)=,则f2)=2=反，则a=2,所以f)=V,所以f9)=3. 13.25 【解析】b=4a+b+5≥2√4ab+5=a画2-4t-5≥0.则t>5或t≤-1（舍去），√ab>5 14.10 【解折园么记P=L2引Q==feP.则若aeQ则f)=么即对于值城 中的数丛，都有f()=4,故讨论Q中元素个数 (1)若1Q1=3,即Q=P,则f1)=1,f(2)=2,f3)=3.这样的函数f有1个： (2)若1Q=2,这样的Q有3种情况，{1,2}，{1,3}，{2,3}，对于其中每一种情况，以Q={1,2}为例，则 f1)=1,(2)=2确定，且f3)=1或2，于是这样的函数f有2个，因此对于1Q1=2,总共有3×2=6个 (3)若Q=1,这样的Q有3种情况，{1}，{2，(3}，对于其中每一种情况，以Q={1}为例，则f1)=1确 定，且f(2)=1,f3)=1也确定，故此共有3种情况 综上，1+6+3=10个f 5.)@a- …4分 a a3 ②学+2+2-（侵-2+6-2=6 √5+2 …8分 )ta a'ta =a-1十a=(a2-a}+1=12+1=2…13分 16.(）由题意，当0<x≤300时，y=E:…1分 当300<x≤500时，y=300+0.8(x-300)=0.8x+60:… …3分 当x>500时，y=300+0.8(500-300)+0.7(c-500)=0.7g十110.…5分 x. 0<x≤300 综上所述，y=0.8x十60,300<E≤500.… …6分 0.7x+110,x>500 ②）甲乙购买商品的金额之和为a+6=2a+。4505+320a≥90，…7分 而a+b=2a+A6+320=2a-8)+,0+20+170 a-85 ≥2V2(a-85)a4585+490=550(元，…- …11分 当且仅当2a-5)=。0即a=100时，原式取得最小值， 此时b=550-a=450(元)，…13分 因为550>500，则拼单后实付总金额M=0.7×550+110=495(元)…14分 所以当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.…15分 17.(们)f(江）是奇函数：…1分 ·2 证明如下：f(x)的定义域为R,关于原点对称，… …2分 =品则到=异号=多=国， 所以f()为奇函数.…… …4分 (2)f(x)为(-00，十00)上的增函数.… …5分 证明：任取1,2∈(-00，十00），且<2,444…6分 222(2-2) 则f(x)-f)=2+1+1=2+102+ 因为x1,x2∈(-0，+00)，且x1<2,所以2-2<0,2+1>0,2+1>0， 所以f(x)-f()<0即f(x)<f(x), 所以f(工)在(-0，十0)上单调递增…9分 (3)由(1)(2)可知fx)为奇函数，且在R上为增函数 所以f(4)>-f(4-m×2）=f(m2-4)… …10分 所以4>n2-4… …11分 令6=2e>0.则t-mt+4>0,即m<生兰=t+告 t 因为t+>4当且仅当t=2即x=1取等 所以m<4…15分 18.(1)依题意得x=0,1为方程x2-ax+2a-2=0的两个根 则2a一2=0即a=1,此时不等式x2一x≤0的解集恰为[0,1】符合题意；…4分 (2)()①当x≥1时，x2-ax+2a-2≤2x-2,所以(x-2)(x-a)≤0，解得x∈[2，a]:…6分 ②当x<1时，x2-ax+2a-2≤2-2x,所以x2+(2-x)(a-2)≤0， 因为2-x>0,a-2>0,x2≥0，所以x2+(2-x)(a-2)>0, 所以x2-a十2a一2≤2一2红无解，…9分 综上所述：x的取值范围是[2，a]:…… …10分 ()由(i)可知：F(x)= gx),0≤x<2 f(x),2≤x≤6 [2-2x,0≤x<1 当0≤x<2时，g(x)= 2z-2,1<E<2所以g=90)）=2,所以F）s=2:…13分 当2≤x≤6时，f)的对称轴为x=号≥3，所以F(=maxf(2)f(6}, 且f(2)=2,f(6)=34-4a,所以F(x)mmx=max{2,34-4a, 令34-4如=2，a=8,所以F()m={2 4-4a,6≤a<8 …16分 a≥8 综上M(a)={ 34-4a,6≤a<8 4…7分 2,a≥8 19.(1)解：f(x)=2x-1在[0，+o)关联：在[0,1]不关联： 证明：任取x2-∈[0，+o),则f(x)-f(x1)=2(2-)∈[0，+o), ∴.f(x)=2x-1在[0，+o)关联： 取x=0,2=1,则x2-x1=1∈[0,1]， f()-f(a)=2(2-x)=2t[0,1], .f(x)=2x-1在[0,1]不关联：… …5分 (2)解：f(x)是在{3}关联的， .对于任意-西=3，都有f()-(x)=3, .对任意x,都有f(x十3)一f(x)=3,… …6分 3 x∈[0,3)时，f(x)=x2-2x, f(x)在x∈[0,3)的值域为[-1,3)， .f(x)在x∈[3,6)的值域为[2,6)，……8分 .2≤f(x)≤3仅在xe[0,3)或x∈[3,6)上有解， x∈[0,3)时，f(x)=x-2x,令2≤x2-2x≤3，解得V3+1≤x<3, x∈[3,6)时，f(x)=f(x-3)+3=x2-8x+18,令2≤x2-8x+18≤3，解得3≤x≤5， .2≤f(x)≤3的解为[√5十1,5]：…11分 y=3 w+13 (3)①先证明：f(x)是{1}关联的，且是在[0，+o)关联的→f(x)在[1,2]是关联的， ∈R且x1-2∈[1,2]，则x∈Rf(x+1)=f(x)+1, 又：f(x)是在[0，+o)关联的，所以a≥b,f八a)≥fb) 所以2+1≤x1≤2+2， ∴.f(x2+1)≤f()≤f(x2+2),即f(a)+1≤f(x)≤f(x2)+2, ∴.1≤f(x)-f(x2)≤2， .f(x)是[1,2]关联，… …13分 ②再证明：f(x)在[1,2]是关联的→f(x)是在{1}关联的，且是在[0，+∞)关联的， ,f(x)是[1,2]关联， .任取x4-∈[1,2]，都有f()-f()∈[1,2]成立， 即满足1≤x2-x≤2，都有1≤f(x)-f(x1)≤2， 下面用反证法证明f(x+1)一f(x)=1, 若f(x+1)-f(x)>1,则f(x+2)-f(x)=f(c+2)-f(x+1)+f(x+1)-f(x)>2, 与f(x)在[1,2]是关联的矛盾， 若f(x+1)-f(x)<1,而fx)在[1,2]是关联的，则f(x+1)-f(x)≥1，矛盾， .f(x+1)-f(x)=1成立，即f(x)是在{1}关联的， 进而f(x+n)=f(x)+n,n∈Z, 再证明f(x)是在[0，+o)关联的， 任取-x∈[0，+o)(n∈N),则存在n∈N,使得任取x2-x∈[n,n+1](n∈N), 1≤2-(n-1)-x≤2， ∴.f[x2-(n-1)]-f(x)=f(x2)-(n-1)-f(x)∈[1,2]， .f()-f(x)s[n,n+1]S[0,+o), .f(x)是在[0，+oo)关联的： 综上所述，f(x)是{1}关联的，且是在[0，+∞)关联的，当且仅当“f(x)在[1,2]是关联的”， 故得证. 17分 1≤f(x+1)-fx)≤2， 【另证】{1≤fx+2)-f(x+1)≤2， 1≤f(x+2)-f(x)≤2 前两个不等式相加结合最后一个不等式可得：f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)一f(x)=1 ·4